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极坐标与参数方程
一、知识梳理
1、极坐标系
1）定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
3）直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
4）圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
5、极坐标与直角坐标互化公式：
二、参数方程
曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
（二）常见曲线的参数方程如下：
1、过定点（x0，y0），倾斜角为的直线：
其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．
根据t的几何意义，有以下结论．
．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝．
．线段AB的中点所对应的参数值等于．
2、中心在（x0，y0），半径等于r的圆：
　　（为参数）
3、中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：
　　　　（为参数）　　（或　）
4、中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程
二、经典例题
题型一：极坐标与直角坐标的互化
1）直线方程：
例1、写出直线，，和的直角坐标方程；
写出直线的极坐标方程。
圆的方程
例2、写出，，的直角坐标方程。
写出，的极坐标方程。
题型二：参数方程与普通方程的互化
1）直线方程
例3、写出直线为参数)，和的普通方程。
写出经过点,倾斜角的参数方程；
圆的方程
例4、写出和为参数)的普通方程。
写出和的参数方程
3）椭圆方程
例5、写出和的普通方程
写出和的参数方程。
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求C和l的直角坐标方程；
题型三：交点问题
在极坐标系下，已知圆和直线。
(1)求圆和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线于圆公共点的极坐标。
例6、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是， 求曲线与交点的极坐标.
例7、在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(为参数,).
(Ⅰ)求C1的直角坐标方程;
(Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数的取值范围.
题型四：轨迹问题
例7、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos (θ－)＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程
例8、已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos(θ－)＝2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
例9、以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.
（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.
题型五：弦长问题
例1、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)若点P坐标为(3，)，圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|＋|PB|的值．
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
例3、已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
例4、已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
例5、在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P( ，1)，倾斜角α＝.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－).
(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
例6、已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C2的极坐标方程为θ＝，曲线C1，C2相交于A，B两点．
(1)求A，B两点的极坐标；
(2)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．
例7、极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求＋的值．
例8、在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；
(Ⅱ) 设直线与直线的两个交点为、，求的值.
例9、直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),是上的动点,点满足=,点的轨迹为. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.
例10、已知曲线 (t为参数) ， (为参数)（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;
（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.
例11、过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，
求的最小值及相应的的值。
例12、在平面直角坐标系中, 以为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为, 直线l的参数方程为: (为参数) ，两曲线相交于, 两点.
（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若, 求的值．
例13、在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．
例14、已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是(t是参数) ．
(I) 将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；
(Ⅱ) 若直线与曲线C相交于A，B两点，且，试求实数m的值
题型六：范围与最值问题
例1、在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为. 由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.
例2、已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.
例3、以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.
（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.
例4、已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．
例5、已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
例6、在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求圆C的参数方程；
(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上一动点，试求x＋y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
例7、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为．
（1）求与交点的直角坐标；
（2）过原点作直线，使与， 分别相交于点， （， 与点均不重合），求的最大值．
例8、已知直线的参数方程为 (其中为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）．
(1)若点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；
(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围．
例9、在直角坐标系中，圆，圆,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求的极坐标方程；
(2)设曲线（为参数且）,与圆交于，求的最大值．
例10、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4．
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
例11、在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆＋＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，2)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．
题型七：面积问题
例1、在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
例2、在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
例3、直线的极坐标方程为,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线的参数方程为为参数)．
(1)将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线,写出的极坐标方程；
(2)射线与交点为，射线与交点为，求四边形的面积．
例4、在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为
（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），
定点，求的面积．
例5、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为，直线的极坐标方程为．
(I )写出的极坐标方程和的平面直角坐标方程;
(Ⅱ) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为求的面积．
例6、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程为，若与的公共点为，且是曲线的中心，求的面积．
例7、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4．
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
题型八：综合类型
例1、已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，
且依逆时针次序排列，点的极坐标为
求点的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围。
例2、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
例3、（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为(为参数)．
(1)若，求与的交点坐标；
(2)若上的点到距离的最大值为，求．
例4、在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：
，为与的交点，求的极径．

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