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专题2.1 命题、定理、定义
一、考情分析
二、考点梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
三、题型突破
重难点题型突破1 命题的定义
例1．（2021·江苏·高一课时练习）写出下列命题的条件与结论.
（1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；
（2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等；
（4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.
【答案】答案见详解
【分析】
根据命题的“若，则”形式，依次分析得到条件，结论即可
【详解】
（1）由题意，根据命题的“若，则”形式
条件：两个三角形全等
结论：这两个三角形的对应高相等
（2）由题意，根据命题的“若，则”形式
条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等
结论：这两个三角形全等
（3）由题意，根据命题的“若，则”形式
条件：一个四边形是菱形
结论：这个四边形的四边相等
（4）由题意，根据命题的“若，则”形式
条件：两条直线被一组平行线所截
结论：所得的对应线段成比例
例2．（2021·江苏·高一课前预习）下列语句不是命题的是（ ）
A． B．是整数 C． D．4是3的约数
【答案】C
【分析】
根据命题的定义依次判断选项即可得到答案.
【详解】
由题知：A，B，D都是可以判断真假的陈述句或式子，
C选项无法判断真假。
故选：C
【点睛】
本题主要考查命题的判断，属于简单题.
【变式训练2-1】、（2021·江苏·高一专题练习）下列语句中是命题的为（ ）
①空集是任何集合的子集；②若，则；③3比1大吗？④若平面上两条直线不相交，则它们平行；⑤；⑥.
A．①②⑥ B．①②④
C．①④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【分析】
根据命题的定义直接判断即可.
【详解】
根据命题的定义可知，
③是疑问句，故不是命题，
对于⑥，由于x是未知数，故无法判断“”是否成立，因此不是命题，
所以①②④⑤是命题.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
例3．（2020·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】
根据不等式的性质判断各个命题．
【详解】
A中若，则得不出，错误；B中，若，则有，错误；C中若，则仍然是，错误；由不等式的性质知D正确．
故选：D.
【点睛】
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础．
【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）下列命题中，真命题有（　　）
A．是关于的一元二次方程 B．抛物线与轴至少有一个交点
C．互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的子集
【答案】CD
【分析】
对A，由时不满足可判断；对B，由时不满足可判断；由集合的性质可判断CD.
【详解】
对A，当时，方程是关于的一元一次方程，故A错误；
对B，可知，若，即时，抛物线与轴没有交点，故B错误；
对C，互相包含的两个集合相等，故C正确；
对D，空集是任何集合的子集，故D正确.
故选：CD.
重难点题型突破2 命题的四种形式
例4．（2020·江苏·高一课时练习）命题“若，则”的逆否命题是（　　）
A．若，则或 B．若，则
C．若或，则 D．若或，则
【答案】D
【分析】
根据逆否命题的定义解答即可
【详解】
命题“若，则”的逆否命题是
“若或，则”．
故选：D．
【变式训练4-1】、（2015·江苏如东·高三月考（理））命题“若，则”的否命题为_______.
【答案】若，则.
【解析】
试题分析：根据否命题的概念，应把原命题的条件和结论分别否定.
考点：否命题的概念.
例5．（2020·江苏·高一课时练习）已知，写出命题“若，则函数的定义域为”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
【答案】答案见解析．
【分析】
先判断原命题的真假，可以令，判断定义域；然后根据四种命题的形式改写出逆命题、否命题和逆否命题；判断逆命题的真假性，然后根据互为逆否命题的真假性一致的原则写出否命题与逆否命题的真假性.
【详解】
解：若函数的定义域为，则恒成立，
则，解得；
原命题为假命题，当时，函数的定义域不为；
逆命题：若函数的定义域为，则，为真命题；
否命题：若，则函数的定义域不为，为真命题；
逆否命题：若函数的定义域不为，则，为假命题．
【变式训练5-1】、（2020·江苏·高一课时练习）命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为．
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】
根据原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,只需判断原命题和逆命题的真假就可以得到真命题的个数了..
【详解】
因为原命题”若，则”是假命题;所以其逆否命题也是假命题,
因为逆命题”若,则”是真命题.所以否命题也是真命题.
所以命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为2个.
故选B.
【点睛】
本题考查了四种命题,属基础题.
【变式训练5-2】、（2021·江苏·高一专题练习）有下列几个命题：①“若，则”的否命题；②“若，则互为相反数”的逆命题；③“若，则”的逆否命题．其中真命题的序号是______．
【答案】②③
【详解】
①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误；
②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确；
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确；
故答案为②③．
重难点题型突破3 求参数的取值范围
例6．（2020·江苏·泗洪县洪翔中学高二月考）已知 ，：关于的方程有实数根.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案；
（2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案.
【详解】
（1）∵关于的方程有实数根，∴，即，
∴若q为真命题，实数a的取值范围为：.
（2）∵为真命题，为假命题，
∴，解得.
∴.
【变式训练6-1】、（2021·江苏·高一课时练习）判断并证明下列命题的真假．
（1）如果一个整数n的平方是偶数，那么这个整数n本身也是偶数；
（2）不存在实数k，使二次函数y＝kx2＋3x－1的图象与x轴只有一个交点．
【答案】（1）真，证明见解析；（2）假，证明见解析.
【分析】
（1）真命题，利用反证法证明即可；
（2）假命题，由可解出的值.
【详解】
（1）真命题，假设整数n不是偶数，那么n可写成n＝2k＋1(k∈Z)，
则n2＝(2k＋1)2＝4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1.因为k∈Z，所以2k2＋2k∈Z，
则2(2k2＋2k)为偶数，故2(2k2＋2k)＋1为奇数，这与已知“n的平方是偶数”矛盾，从而该命题为真．
（2）假命题，
若二次函数y＝kx2＋3x－1的图象与x轴只有一个交点
则，解得
【变式训练6-2】、（2020·江苏·如皋市第一中学高一月考）（多选题）下列命题是假命题的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数的零点是(-2，0)和(4，0)
C．若，则函数的最小值为2
D．是成立的充分不必要条件
【答案】ABC
【分析】
取特殊值可判断A，由函数零点的概念知B错误，根据均值不等式等号成立条件可判断C，解出不等式，根据集合的包含关系可判断D.
【详解】
对于A，取，显然不等式不成立，故解集为错误；
对于B，由函数的零点是和知选项B错误；
对于C，由均值不等式等号成立的条件知，即时等号成立，显然不成立，故函数的最小值为2错误；
对于D，由解得，因为，，
所以是成立的充分不必要条件，正确.
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判定，考查了分式不等式，函数零点，均值不等式，充分不必要条件，属于中档题.
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一、考情分析
二、考点梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
三、题型突破
重难点题型突破1 命题的定义
例1．（2021·江苏·高一课时练习）写出下列命题的条件与结论.
（1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；
（2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等；
（4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.
例2．（2021·江苏·高一课前预习）下列语句不是命题的是（ ）
A． B．是整数 C． D．4是3的约数
【变式训练2-1】、（2021·江苏·高一专题练习）下列语句中是命题的为（ ）
①空集是任何集合的子集；②若，则；③3比1大吗？④若平面上两条直线不相交，则它们平行；⑤；⑥.
A．①②⑥ B．①②④
C．①④⑤ D．①②④⑤
例3．（2020·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）下列命题中，真命题有（　　）
A．是关于的一元二次方程 B．抛物线与轴至少有一个交点
C．互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的子集
重难点题型突破2 命题的四种形式
例4．（2020·江苏·高一课时练习）命题“若，则”的逆否命题是（　　）
A．若，则或 B．若，则
C．若或，则 D．若或，则
【变式训练4-1】、（2015·江苏如东·高三月考（理））命题“若，则”的否命题为_______.
例5．（2020·江苏·高一课时练习）已知，写出命题“若，则函数的定义域为”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
【变式训练5-1】、（2020·江苏·高一课时练习）命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为．
A． B． C． D．0
【变式训练5-2】、（2021·江苏·高一专题练习）有下列几个命题：①“若，则”的否命题；②“若，则互为相反数”的逆命题；③“若，则”的逆否命题．其中真命题的序号是______．
重难点题型突破3 求参数的取值范围
例6．（2020·江苏·泗洪县洪翔中学高二月考）已知 ，：关于的方程有实数根.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围.
【变式训练6-1】、（2021·江苏·高一课时练习）判断并证明下列命题的真假．
（1）如果一个整数n的平方是偶数，那么这个整数n本身也是偶数；
（2）不存在实数k，使二次函数y＝kx2＋3x－1的图象与x轴只有一个交点．
【变式训练6-2】、（2020·江苏·如皋市第一中学高一月考）（多选题）下列命题是假命题的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数的零点是(-2，0)和(4，0)
C．若，则函数的最小值为2
D．是成立的充分不必要条件
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