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专题3.3 从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式
一、考情分析
二、考点梳理
二、考点梳理
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5写解集.根据图象写出不等式的解集.
2. 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3．已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
1根据解集来判断二次项系数的符号；
2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
4.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
5．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
6.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立 ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立 ymin≥k
三、题型突破
(一) 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
不等式解集 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} R
y＜0 {x|x1＜x＜x2}
例1．（1）、（2021·浙江南湖·高一期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2021·江苏·高一课时练习）解下列不等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【变式训练1-1】．（2020·江苏）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】．求下列不等式的解集.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）.
(二) 含有参数的一元二次不等式的解法
1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。
例2．（1）、（2020·江苏省震泽中学高二月考）已知不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2020·江苏·如皋市第一中学高一月考）已知，关于x的不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
（3）、（多选题）当，若不等式恒城立，则a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
（4）、（2021·江苏·南京外国语学校高一月考）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为或
D．的最小值为6
【变式训练2-1】、（2021·浙江高一单元测试）（多选题）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【变式训练2-2】、（2021·浙江·高一单元测试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．{或} C． D．或
【变式训练2-3】、（2020·江苏省南京市第十二中学高一月考）设为实数，若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是___________.
【变式训练2-4】、（2020·江苏省震泽中学高一月考）（多选题）已知关于的方程，则下列结论中正确的是 （ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的必要条件是
D．当时，方程的两个实数根之和为
(三) 分式不等式的解法
1.分式不等式：形如＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
例3．（1）、不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
(2)、（2020·江苏省高邮中学高二月考）不等式的解集为________．
【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）不等式的解是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】、（2020·江苏·高二月考）不等式的解集为________．
(四)二次不等式综合问题
例4．(1)（2020·上饶中学高二期末（文））已知，若，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
(2)．（2020·江苏省南京市第十二中学高一月考）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】．（2020·宁阳县第四中学高二期末）不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）已知函数，（），若任意，且都有，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
例5、（2021·江苏·苏州大学附属中学高一月考）已知不等式的解集为或.
（1）求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式（其中c为实数）.
【变式训练5-1】．（2020·鸡泽县第一中学高一月考）设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
例6、（2020·浙江·台州市启超中学高一月考）设.
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【变式训练6-1】．（2022·浙江·高三专题练习）已知关于的不等式，
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题3.3 从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式
一、考情分析
二、考点梳理
二、考点梳理
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5写解集.根据图象写出不等式的解集.
2. 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3．已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
1根据解集来判断二次项系数的符号；
2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
4.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
5．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
6.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立 ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立 ymin≥k
三、题型突破
(一) 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
不等式解集 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} R
y＜0 {x|x1＜x＜x2}
例1．（1）、（2021·浙江南湖·高一期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由一元二次不等式的解法求出解集．
【详解】
由得，
即，解得，
所以不等式的解集是，
故选：A．
（2）、（2021·江苏·高一课时练习）解下列不等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】
根据一元二次不等式的解法求解.
【详解】
（1）由可得，
即，
解得或，
所以不等式的解集为
（2）由，
知，
（3）由可得，
即，
解得，
所以不等式的解集为.
（4）由可得，
即，
解得或，
所以不等式的解集为.
【变式训练1-1】．（2020·江苏）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】
，
故选：A.
【变式训练1-2】．求下列不等式的解集.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）.
【解析】（1）因为，所以原不等式等价于，
解得，所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为,配方得 ,
又,所以,解得，所以原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为.∵，∴原不等式的解集是.
（4）∵，又∵的两个实数根为，
∴原不等式的解集是
（5）原不等式可化为，且，∴，或.
∴原不等式的解集是或.
(二) 含有参数的一元二次不等式的解法
1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。
例2．（1）、（2020·江苏省震泽中学高二月考）已知不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可知，不等式的解集为，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由题意可知，不等式的解集为，则，解得.
故选：C.
（2）、（2020·江苏·如皋市第一中学高一月考）已知，关于x的不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】
分解因式得，由可得，即可得出解集.
【详解】
不等式化为，
，，故不等式的解集为或.
故选：A.
（3）、（多选题）当，若不等式恒城立，则a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
分离参数可得，求出在区间上的最大值即可求解.
【详解】
当，若不等式恒城立，
等价于在区间上恒成立，
设，
由对勾函数的性质可得在单调递增，
所以.
所以，
故选：ABC
（4）、（2021·江苏·南京外国语学校高一月考）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为或
D．的最小值为6
【答案】BCD
【分析】
根据含参的一元二次不等式的解法，分析可得a的正负，即可判断A的正误；根据二次函数性质，可判断B的正误；根据根与系数的关系，可得且，代入所求，化简计算，即可判断C的正误；将代入，根据基本不等式，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
A选项，依题可得函数开口向下与轴交点横坐标为2，3，故A错误；
B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确；
C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，
所以，即，且，
所以不等式可化为，即，
解集为或，故C正确；
D选项，，
当且仅当时，即时取等，故D正确.
故选：BCD.
【变式训练2-1】、（2021·浙江高一单元测试）（多选题）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AC
【分析】
根据一元二次不等式的解集可判断A正确；根据不等式的解集，可得方程的两根为、，利用韦达定理可得，代入相应不等式，结合的符号，化简后（求解），可判断BCD.
【详解】
关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
方程的两根为、，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，由的分析过程可知，所以
或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
【变式训练2-2】、（2021·浙江·高一单元测试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．{或} C． D．或
【答案】A
【分析】
根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不等式的解集．
【详解】
不等式的解集为，
的两根为，2，且，即，，解得，，
则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．
故选：A
【变式训练2-3】、（2020·江苏省南京市第十二中学高一月考）设为实数，若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
依题意可得，再解一元二次不等式即可；
【详解】
解：因为关于的一元二次方程没有实数根，
所以，即，解得，即
故答案为：
【变式训练2-4】、（2020·江苏省震泽中学高一月考）（多选题）已知关于的方程，则下列结论中正确的是 （ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的必要条件是
D．当时，方程的两个实数根之和为
【答案】ABC
【分析】
根据一元二次方程的性质，结合判别式和韦达定理，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，方程有一个正一个负根的充要条件是，解得，所以A正确；
对于B中，方程有两个正实数根的充要条件是，解得，所以B正确；
对于C中，方程无实数根，则，解得，
又由，所以C正确；
对于D中，当时，方程无实数根，所以D错误.
故选：ABC.
(三) 分式不等式的解法
1.分式不等式：形如＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
例3．（1）、不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D．
(2)、（2020·江苏省高邮中学高二月考）不等式的解集为________．
【答案】
【分析】
首先写出分式不等式的等价不等式，再解一元二次不等式即可；
【详解】
解：因为，所以，等价于解得或，故原不等式的解集为
故答案为：
【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）不等式的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据分式不等式的解法，将其等价转化为一元二次不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】
解：∵，∴，
∴，即，等价于，解得：，
故不等式的解集是，
故选：C.
【变式训练3-2】、（2020·江苏·高二月考）不等式的解集为________．
【答案】
【分析】
把分式不等式转化为整式不等式，即可解得.
【详解】
不等式可化为：，
解得：，
故不等式的解集为：.
故答案为：.
(四)二次不等式综合问题
例4．(1)（2020·上饶中学高二期末（文））已知，若，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，根据二次函数的性质，
可得函数图象开口向下，且以为对称轴，
即，解得.故选：C.
(2)．（2020·江苏省南京市第十二中学高一月考）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据不等式的解集求出a、b和c的关系，代入不等式中化简，即可求出该不等式的解集．
【详解】
不等式的解集是，所以方程的解是和，且，
则，解得，，
所以不等式化为，即，解得，
所以，所求不等式的解集是．
故选：A．
【变式训练4-1】．（2020·宁阳县第四中学高二期末）不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，不等式对恒成立，即恒成立，
设，由可得，
所以，只需，即的取值范围为.故选：B.
【变式训练4-2】．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）已知函数，（），若任意，且都有，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，因为对任意的，且都有，
故可得，可得函数在上单调递增，
的对称轴为，
，解之得.故a的取值范围是.故选：A.
例5、（2021·江苏·苏州大学附属中学高一月考）已知不等式的解集为或.
（1）求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式（其中c为实数）.
【答案】
（1），，
（2）答案见解析
【分析】
（1）根据不等式的解集得出对应方程的解，由此求出、的值；
（2）不等式化为，然后分，和讨论即可求出不等式的解集．
（1）
不等式的解集为，或，
所以1和是方程的解，
所以，解得；
由根与系数的关系知，解得；
所以，；.
（2）
由（1）知，不等式为，
即，
当时，不等式化为，解得；
当时，解不等式得；
当时，若，即时，解不等式得或，若，即时，解不等式得，若，即，解不等式得或，
综上知，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或．
【变式训练5-1】．（2020·鸡泽县第一中学高一月考）设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）由得，然后分、、三种情况来解不等式；
（2）由恒成立，由参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1），，.
当时，不等式的解集为；
当时，原不等式为，该不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）由题意，当时，恒成立，
即时，恒成立.
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
例6、（2020·浙江·台州市启超中学高一月考）设.
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
(1)不等式转化为对一切实数成立,列不等式即可求解;
(2)不等式转化为,对a进行分类讨论求解即可.
【详解】
（1）由题意可得对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，可得.
所以实数a的取值范围为.
（2）由题意可得，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为,
当时，,
当时，,
①当，解集为,
②当，解集为或,
③当，解集为或.
综上所述,
当，不等式的解集为或,
当，不等式的解集为,
当，不等式的解集为或,
当时, 不等式的解集为,
当时, 不等式的解集为.
【变式训练6-1】．（2022·浙江·高三专题练习）已知关于的不等式，
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）将代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解.
（2）根据关于的不等式的解集为．又因为 ，利用判别式法求解.
【详解】
（1）将代入不等式，可得，即
所以和1是方程的两个实数根，
所以不等式的解集为
即不等式的解集为．
（2）因为关于的不等式的解集为．
因为
所以，解得，
故的取值范围为．
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