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专题4.1 指数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
考点二 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
考点三 指数幂的运算性质
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
三、题型突破
(一) 根式化简
例1、（1）、（2019·江苏·南通一中高一月考）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用同底数幂运算法则完成计算.
【详解】
因为，
故选C
【点睛】
本题考查同底数幂的计算，难度较易.一般有：，.
（2）．（2021·上海高一专题练习）若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题知,进而根据指数幂化简即可.
【详解】
因为，所以，所以.
故选:B.
【变式训练1-1】．（2021·上海高一专题练习）下列各式中成立的一项（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用指数幂的运算性质、根式与分数指数幂的互化可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
【变式训练1-2】．（2020·浙江杭州·高一期末）根式（式中）的分数指数幂形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由根式和分数指数幂的意义，先将根式中的部分化为分数指数幂，再化整体即可.
【详解】
解：.
故选：A.
【点睛】
本题考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则，属基础题.
(二) 根式与分数指数幂互化
例2、（1）、（2021·江苏·高一专题练习）的分数指数幂表示为（　　）
A． B． C． D．a
【答案】A
【分析】
利用根式运算进行化简求值.
【详解】
依题意.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根式运算，属于基础题.
（2）．（2021·江苏省如东高级中学高一月考）已知，，化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据根式和实数指数幂的运算法则，即得解
【详解】
由题意：，
故选：B
【变式训练2-1】．（2020·台州市实验中学高一期中）求值①=___________；②=___________.
【答案】
【分析】
由指数运算的运算法则细心计算即可得解.
【详解】
由题意，；
.
故答案为：；.
【变式训练2-2】．（2021·福建高二月考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件利用指数幂的运算法则计算即得.
【详解】
.
故选：C
(三) 多重根式化简
例3、（1）（2020·上海高一专题练习）的分数指数幂表示为____________
【答案】
【分析】
本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.
【详解】
，
故答案为：.
（2）．（2021·全国高一课时练习）将 化为分数指数幂为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算公式即可求出结果.
【详解】
＝＝＝＝＝.
故选：D
【变式训练3-1】．（2021·全国高一专题练习）可以化简成（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数幂和根式的运算性质转化即可．
【详解】
解：，
故选：B．
【变式训练3-2】．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知，则___________.
【答案】
【分析】
利用根式与指数幂的运算可求得的值.
【详解】
，则，因此，.
故答案为：.
【变式训练3-3】．（2020·上海市洋泾中学高一期中）化简______.
【答案】
【分析】
将根式化为分数指数幂后，利用指数幂的运算性质可得结果.
【详解】
.
故答案为：
(四) 根式与分数指数幂互化
例4、（2021·江苏·高一课时练习）化简求值:
（1）；
（2）-2-4π0÷.
【答案】（1）81；（2）.
【分析】
（1）根据分数指数幂与根式的运算，化简可得答案；
（2）由分数指数幂及根式的运算，化简可得答案.
【详解】
（1）
=
=2-1+8+
=2-1+8+89
=81.
（2）-2-4π0÷
=+10-2-4
=+10-2-3
=+10-6-3
=.
【点睛】
本题考查了分数指数幂与根式的运算，属于基础题.
【变式训练4-1】．（2020·浙江高一期末）化简或求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用指数的运算性质即可求解.
（2）利用指数的运算性质即可求解.
【详解】
（1）；
（2）原式.
(五) 利用整体代换思想求值
例5、．（2021·全国高一课时练习）已知，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）18；（2）．
【分析】
(1)将条件等式平方即可求解；(2)将问题平方，然后借助第一问的结果即可求解.
【详解】
（1）因为，所以，
即，所以；
（2）由（1）知，因为，所以，
所以．
【变式训练5-1】．（2020·浙江）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3）3.
【分析】
（1）将两边平方求解.
（2）由（1）知，两边平方求解.
（3）根据，然后将和的值代入求解.
【详解】
（1）将两边平方，
得，
即.
（2）由（1）知，两边平方得，
∴.
（3）∵，
，
而，
∴原式.
【点睛】
本题主要考查指数运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.
【变式训练5-2】．（2021·江苏·高一课时练习）已知(a>0)，求下列各式的值:
（1）a+a-1；（2） a2+a-2；（3）a2-a-2.
【答案】（1）3；（2）7；（3）.
【分析】
（1）将两边平方求解.
（2）由（1）知a+a-1=3，再两边平方求解.
（3）设y=a2-a-2，两边平方，结合（2）求解.
【详解】
（1）将两边平方，
得a+a-1+2=5，即a+a-1=3.
（2）由a+a-1=3，两边平方，
得a2+a-2+2=9，即a2+a-2=7.
（3）设y=a2-a-2，两边平方，
得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
所以y=±3，即a2-a-2=±3.
【点睛】
本题主要考查完全平方公式的应用和指数幂的运算，属于基础题.
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专题4.1 指数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
考点二 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
考点三 指数幂的运算性质
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
三、题型突破
(一) 根式化简
例1、（1）、（2019·江苏·南通一中高一月考）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
（2）．（2021·上海高一专题练习）若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】．（2021·上海高一专题练习）下列各式中成立的一项（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】．（2020·浙江杭州·高一期末）根式（式中）的分数指数幂形式为（ ）
A． B． C． D．
(二) 根式与分数指数幂互化
例2、（1）、（2021·江苏·高一专题练习）的分数指数幂表示为（　　）
A． B． C． D．a
（2）．（2021·江苏省如东高级中学高一月考）已知，，化简得（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】．（2020·台州市实验中学高一期中）求值①=___________；②=___________.
【变式训练2-2】．（2021·福建高二月考）（ ）
A． B． C． D．
(三) 多重根式化简
例3、（1）（2020·上海高一专题练习）的分数指数幂表示为____________
（2）．（2021·全国高一课时练习）将 化为分数指数幂为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】．（2021·全国高一专题练习）可以化简成（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知，则___________.
【变式训练3-3】．（2020·上海市洋泾中学高一期中）化简______.
(四) 根式与分数指数幂互化
例4、（2021·江苏·高一课时练习）化简求值:
（1）；
（2）-2-4π0÷.
【变式训练4-1】．（2020·浙江高一期末）化简或求值：
（1）；
（2）.
(五) 利用整体代换思想求值
例5、．（2021·全国高一课时练习）已知，求：
（1）；
（2）．
．
【变式训练5-1】．（2020·浙江）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【变式训练5-2】．（2021·江苏·高一课时练习）已知(a>0)，求下列各式的值:
（1）a+a-1；（2） a2+a-2；（3）a2-a-2.
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