资源简介
山东省2020-2021年二次函数中考大题
1、(2021淄博)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=(m>0)与x轴交于A
(﹣1,0),B(m,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.
(1)若OC=2OA,求抛物线对应的函数表达式;
(2)在(1)的条件下,点P位于直线BC上方的抛物线上,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;
(3)设直线y=x+b与抛物线交于B,G两点,问是否存在点E(在抛物线上),点F(在抛物线的对称轴上),使得以B,G,E,F为顶点的四边形成为矩形?若存在,求出点E,F的坐标;若不存在,说明理由.
2、(2021枣庄)如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过坐标原点和点,顶点为点.
(1)求抛物线的关系式及点的坐标;
(2)点是直线下方的抛物线上一动点,连接,,当的面积等于时,求点的坐标;
(3)将直线向下平移,得到过点的直线,且与轴负半轴交于点,取点,连接,求证:.
3、(2021烟台)如图,抛物线经过点,,与y轴正半轴交于点C,且.抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E.直线经过B,C两点.
(1)求抛物线及直线的函数表达式;
(2)点F是抛物线对称轴上一点,当的值最小时,求出点F的坐标及的最小值;
(3)连接,若点P是抛物线上对称轴右侧一点,点Q是直线上一点,试探究是否存在以点E为直角顶点的,且满足.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
4、(2021泰安)二次函数的图象经过点,,与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点,连接、,交于点Q,过点P作轴于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接,当时,求直线的表达式;
(3)请判断:是否有最大值,如有请求出有最大值时点P的坐标,如没有请说明理由.
5、(2021日照)已知:抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点P为直线BC上方抛物线上任意一点,连PC、PB、PO,PO交直线BC于点E,设=k,求当k取最大值时点P的坐标,并求此时k的值.
(3)如图2,点Q为抛物线对称轴与x轴的交点,点C关于x轴的对称点为点D.
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值;
②点M是y轴负半轴上的点,且满足tan∠BMQ=(为大于0的常数),求点M的坐标.
6、(2021临沂)公路上正在行驶的甲车,发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程s(单位:m)、速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,其图象如图所示.
(1)当甲车减速至9m/s时,它行驶的路程是多少?
(2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶,两车何时相距最近,最近距离是多少?
7、(2021聊城)如图,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知A,C两点坐标分别是A(1,0),C(0,﹣2),连接AC,BC.
(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式;
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠,得到△DBC,点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上,若点D在对称轴上,请求出点D的坐标;若点D不在对称轴上,请说明理由;
(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点,连接AP交BC于点Q,连接BP,△BPQ的面积记为S1,△ABQ的面积记为S2,求的值最大时点P的坐标.
8、(2021济宁)如图,直线分别交轴、轴于点A,B,过点A的抛物线与轴的另一交点为C,与轴交于点,抛物线的对称轴交于E,连接交于点F.
(1)求抛物线解析式;
(2)求证:;
(3)P为抛物线上的一动点,直线交于点M,是否存在这样的点P,使以A,O,M为顶点的三角形与相似?若存在,求点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
9、(2021菏泽)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交轴于,两点,交轴于点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点为第四象限内抛物线上一点,连接,过点作交轴于点,连接,求面积的最大值及此时点的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线向右平移经过点时,得到新抛物线,点在新抛物线的对称轴上,在坐标平面内是否存在一点,使得以、、、为顶点的四边形为矩形,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
10、(2021东营)如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,直线过B、C两点,连接AC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:;
(3)点是抛物线上的一点,点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点D作轴交直线BC于点E,点P为抛物线对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时,求的最小值.
11、(2021滨州)如下列图形所示,在平面直角坐标系中,一个三角板的直角顶点与原点O重合,在其绕原点O旋转的过程中,两直角边所在直线分别与抛物线y=x2相交于点A、B(点A在点B的左侧).
(1)如图1,若点A、B的横坐标分别为﹣3、,求线段AB中点P的坐标;
(2)如图2,若点B的横坐标为4,求线段AB中点P的坐标;
(3)如图3,若线段AB中点P的坐标为(x,y),求y关于x的函数解析式;
(4)若线段AB中点P的纵坐标为6,求线段AB的长.
12、(2020济南)如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0),点B(3,0)与y轴交于点C.在x轴上有一动点E(m,0)(0m3),过点E作直线l⊥x轴,交抛物线于点M.
(1)求抛物线的解析式及C点坐标;
(2)当m=1时,D是直线l上的点且在第一象限内,若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形,求点D的坐标;
(3)如图2,连接BM并延长交y轴于点N,连接AM,OM,设△AEM的面积为S1,△MON的面积为S2,若S1=2S2,求m的值.
13、(2020日照)如图,函数=的图象经过点,两点,,分别是方程=的两个实数根,且.
Ⅰ求,的值以及函数的解析式;
Ⅱ设抛物线=与轴的另一个交点为,抛物线的顶点为,连接,,,.求证:;
Ⅲ对于Ⅰ中所求的函数=,
(1)当时,求函数的最大值和最小值;
(2)设函数在内的最大值为,最小值为,若=,求的值.
14、(2020淄博)如图,在直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形,经过A(﹣2,0),B,C三点的抛物线y=ax2+bx(a<0)与x轴的另一个交点为D,其顶点为M,对称轴与x轴交于点E.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)已知R是抛物线上的点,使得△ADR的面积是 OABC的面积的,求点R的坐标;
(3)已知P是抛物线对称轴上的点,满足在直线MD上存在唯一的点Q,使得∠PQE=45°,求点P的坐标.
15、(2020烟台)如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA=2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当线段DF的长度最大时,求D点的坐标;
(3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
16、如图,抛物线的顶点为A(h,-1),与y轴交于点B,点F(2,1)为其对称轴上的一个定点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)已知直线l是过点C(0,-3)且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P(m,n)到直线l的距离为d,求证:PF=d;
(3)已知坐标平面内的点D(4,3),请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标.
1、解:(1)∵A的坐标为(﹣1,0),
∴OA=1,
∵OC=2OA,
∴OC=2,
∴C的坐标为(0,2),····················································2分
将点C代入抛物线y=(m>0),·
得=2,
即m=4,
∴抛物线对应的函数表达式为y=;····························4分
(2)由(1)知,抛物线对应的函数表达式为y=﹣,m=4,
∴B、C坐标分别为B(4,0)、C(0,2),
设直线BC解析式为y=kx+n,则,解得,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+2,·········································6分
如图,过P作PH∥y轴,交BC于E,
(第24题(2)答案图)
设点P的坐标为(m,)(0<m<4),则E(m,﹣m+2),
∴PE=﹣(﹣m+2)
=﹣m2+2m
=﹣(m2﹣4m)
=﹣(m﹣2)2+2,···················································7分
∵S△PBC=S△CPE+S△BPE,
∴S△PBC =PE |xB﹣xC|
= [﹣(m﹣2)2+2]×4
=﹣(m﹣2)2+4,
∴当m=2时,△PBC的面积最大,此时点P(2,3);··························8分
(3)存在,理由如下:
由题意可把点B(m,0)的坐标代入直线y=x+b,得:b=
∴直线BG的解析式为y=x﹣m ①,
∵抛物线的表达式为y=﹣x2+ x+ ②,
联立①②解得,或,
∴G的坐标为(﹣2,﹣m﹣1),
∵抛物线y=﹣x2+ x+的对称轴为直线x=,
∴点F的横坐标为,··················································9分
①当以BG为矩形的对角线时,如图所示,
(第24题(3)答案图)
∴根据中点坐标公式可得点E的横坐标为,即为,
∴E的坐标为(,),
根据中点坐标公式可知,即,
∴,
∴F的坐标为(,),····································10分
∵m>0,且四边形BEGF是矩形,
∴ 点E、F分别落在x轴的两侧才能构成矩形,
即
分别作EH⊥x轴于点H,过点G、B作过点F与x轴平行的直线的垂线,分别交于点M、N,如上图,
∴ ∠EHB=∠GMF=∠BNF=90°,
∵四边形BEGF是矩形,∴BE=FG,∠GFB=∠EBF=90°,
∴∠GFM+∠BFN=∠BFN+∠FBN=∠FBN+∠OBF=∠OBF+∠EBH = 90°,
∴ ∠GFM=∠EBH,
∴ △GFM ≌△EBH(AAS),···············································11分
∴EH=GM=,
∴,,,
∵∠GMF=∠BNF,∠GFM=∠FBN,∴ △GFM ∽△FBN,
∴ ,即GM·BN=FN·FM,∴,
解得:m=3(负值舍去),∴E的坐标为(0,),F的坐标为(1,-4),
②当以GB为矩形的边时,不存在以点E、F、G、B顶点的四边形为矩形;
综上所述:当以B、G、E、F为顶点的四边形成为矩形时,点E的坐标为(0,),F的坐标为(1,-4).
·······································································12分
2、解:(1)对于y=﹣x+3,令y=﹣x+3=0,解得x=6,令x=0,则y=3,
故点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,3),
∵抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,故c=0,
将点A的坐标代入抛物线表达式得:0=×36+6b,解得b=﹣2,
故抛物线的表达式为y=x2﹣2x;
则抛物线的对称轴为x=3,当x=3时,y=x2﹣2x=﹣3,
则点M的坐标为(3,﹣3);
(2)如图1,过点E作EH∥y轴交AB于点H,
设点E的坐标为(x,x2﹣2x),则点H(x,﹣x+3),
则△EAB的面积=S△EHB+S△EHA=×EH×OA=6×(﹣x+3﹣x2+2x)=,
解得x=1或,
故点E的坐标为(1,﹣)或(,﹣);
(3)∵直线AB向下平移后过点M(3,﹣3),
故直线CM的表达式为y=﹣(x﹣3)﹣3=﹣x﹣,
令y=﹣x﹣=0,解得x=﹣3,
故点C(﹣3,0);
故点D作DH⊥CM于点H,
∵直线CM的表达式为y=﹣x﹣,故tan∠MCD=,则sin∠MCD=,
则DM=CDsin∠MCD=(2+3)×=,
由点D、M的坐标得,DM==,
则sin∠HMD==,
故∠HMD=45°=∠DCM=∠ADM﹣∠ACM=45°,
∴∠ADM﹣∠ACM=45°.
3、解:(1)由点A的坐标知,OA=2,
∵OC=2OA=4,故点C的坐标为(0,4),
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得:,解得,
故抛物线的表达式为y=﹣x+x+4;
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得:,解得,
故直线BC的表达式为y=﹣x+4;
(2)∵点A、B关于抛物线的对称轴对称,
设抛物线的对称轴交BC于点F,则点F为所求点,此时,当FA+FC的值最小,
理由:由函数的对称性知,AF=BF,
则AF+FC=BF+FC=BC为最小,
当x=1时,y=﹣x+4=3,故点F(1,3),
由点B、C的坐标知,OB=OC=4,
则BC=BO=4,
即点F的坐标为(1,3)、FA+FC的最小值为4;
(3)存在,理由:
设点P的坐标为(m,﹣m2+m+4)、点Q的坐标为(t,﹣t+4),
①当点Q在点P的左侧时,
如图2,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为N、M,
由题意得:∠PEQ=90°,
∴∠PEN+∠QEM=90°,
∵∠EQM+∠QEM=90°,
∴∠PEN=∠EQM,
∴∠QME=∠ENP=90°,
∴△QME∽△ENP,
∴=tan∠EQP=tan∠OCA===,
则PN=﹣m2+m+4,ME=1﹣t,EN=m﹣1,QM=﹣t+4,
∴==,
解得m=±(舍去负值),
当m=时,﹣m2+m+4=,
故点P的坐标为(,).
②当点Q在点P的右侧时,
分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线,垂足分别为N、M,
则MQ=t﹣1,ME=t﹣4,NE=﹣m2+m+4、PN=m﹣1,
同理可得:△QME∽△ENP,
∴=tan∠PQE=2,
即,
解得m=(舍去负值),
故m=,
故点P的坐标为(,),
故点P的坐标为(,)或(,).
4、解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(﹣4,0),B(1,0),
∴,
解得:,
∴该二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4;
(2)如图,设BP与y轴交于点E,
∵PD∥y轴,
∴∠DPB=∠OEB,
∵∠DPB=2∠BCO,
∴∠OEB=2∠BCO,
∴∠ECB=∠EBC,
∴BE=CE,
设OE=a,则CE=4﹣a,
∴BE=4﹣a,
在Rt△BOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,
∴(4﹣a)2=a2+12,
解得:a=,
∴E(0,),
设BE所在直线表达式为y=kx+e(k≠0),
∴,
解得:,
∴直线BP的表达式为y=﹣x+;
(3)有最大值.
如图,设PD与AC交于点N,
过点B作y轴的平行线与AC相交于点M,
设直线AC表达式为y=mx+n,
∵A(﹣4,0),C(0,4),
∴,
解得:,
∴直线AC表达式为y=x+4,
∴M点的坐标为(1,5),
∴BM=5,
∵BM∥PN,
∴△PNQ∽△BMQ,
∴==,
设P(a0,﹣a02﹣3a0+4)(﹣4<a0<0),则N(a0,a0+4),
∴===,
∴当a0=﹣2时,有最大值,
此时,点P的坐标为(﹣2,6).
5、解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),
∴设y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,3)代入,得a(0+1)(0﹣3)=3,
解得:a=﹣1,
∴y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)如图1,过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,
∴△PEH∽△OEC,
∴=,
∵=k,OC=3,
∴k=PH,
设直线BC的解析式为y=kx+n,
∵B(3,0),C(0,3),
∴,
解得:,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
设点P(t,﹣t2+2t+3),则H(t,﹣t+3),
∴PH=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,
∴k=(﹣t2+3t)=(t﹣)2+,
∵<0,
∴当t=时,k取得最大值,此时,P(,);
(3)①如图2,过点Q作QT⊥BD于点T,则∠BTQ=∠DTQ=90°,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线对称轴为直线x=1,
∴Q(1,0),
∴OQ=1,BQ=OB﹣OQ=3﹣1=2,
∵点C关于x轴的对称点为点D,
∴D(0,﹣3),
∵B(3,0),
∴OB=OD=3,
∵∠BOD=90°,
∴DQ===,
BD===3,
∴△BDQ的周长=BQ+DQ+BD=2++3;
在Rt△OBD中,∵∠BOD=90°,OB=OD,
∴∠DBO=∠BDO=45°,
∵∠BTQ=90°,
∴△BQT是等腰直角三角形,
∴QT=BT=BQ cos∠DBO=2 cos45°=,
∴DT=BD﹣BT=3﹣=2,
∴tan∠BDQ===;
②设M(0,﹣m),则OM=m,
BM===,
MQ==,
∵tan∠BMQ=,
∴=,
∴MT=t QT,
∵QT2+MT2=MQ2,
∴QT2+(t QT)2=()2,
∴QT=,MT=,
∵cos∠QBT=cos∠MBO,
∴=,即=,
∴BT=,
∵BT+MT=BM,
∴+=,
整理得,(m2+3)2=4t2m2,
∵t>0,m>0,
∴m2+3=2tm,即m2﹣2tm+3=0,
当Δ=(﹣2t)2﹣4×1×3=4t2﹣12≥0,即t≥时,
m==t±,
∴M(0,﹣t)或(0,﹣﹣t).
6、解:(1)由图可知:二次函数图像经过原点,
设二次函数表达式为s=at2+bt,一次函数表达式为v=kt+c,
∵一次函数经过(0,16),(8,8),
则,解得:,
∴一次函数表达式为v=﹣t+16,
令v=9,则t=7,
∴当t=7时,速度为9m/s,
∵二次函数经过(2,30),(4,56),
则,解得:,
∴二次函数表达式为,
令t=7,则s==87.5,
∴当甲车减速至9m/s时,它行驶的路程是87.5m;
(2)∵当t=0时,甲车的速度为16m/s,
∴当10<v<16时,两车之间的距离逐渐变小,
当0<v<10时,两车之间的距离逐渐变大,
∴当v=10m/s时,两车之间距离最小,
将v=10代入v=﹣t+16中,得t=6,
将t=6代入中,得s=78,
此时两车之间的距离为:10×6+20﹣78=2m,
∴6秒时两车相距最近,最近距离是2米.
8、解:(1)∵直线y=﹣x+分别交x轴、y轴于点A,B,
∴A(3,0),B(0,),
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(3,0),D(0,3),
∴,
解得:,
∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
设直线AD的解析式为y=kx+a,将A(3,0),D(0,3)代入,
得:,
解得:,
∴直线AD的解析式为y=﹣x+3,
∴E(1,2),
∵G(1,0),∠EGO=90°,
∴tan∠OEG==,
∵OA=3,OB=,∠AOB=90°,
∴tan∠OAB===,
∴tan∠OAB=tan∠OEG,
∴∠OAB=∠OEG,
∵∠OEG+∠EOG=90°,
∴∠OAB+∠EOG=90°,
∴∠AFO=90°,
∴OE⊥AB;
(3)存在.
∵A(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1,
∴C(﹣1,0),
∴AC=3﹣(﹣1)=4,
∵OA=OD=3,∠AOD=90°,
∴AD=OA=3,
设直线CD解析式为y=mx+n,
∵C(﹣1,0),D(0,3),
∴,
解得:,
∴直线CD解析式为y=3x+3,
①当△AOM∽△ACD时,∠AOM=∠ACD,如图2,
∴OM∥CD,
∴直线OM的解析式为y=3x,
结合抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,得:3x=﹣x2+2x+3,
解得:x1=,x2=,
②当△AMO∽△ACD时,如图3,
∴=,
∴AM===2,
过点M作MG⊥x轴于点G,则∠AGM=90°,
∵∠OAD=45°,
∴AG=MG=AM sin45°=2×=2,
∴OG=OA﹣AG=3﹣2=1,
∴M(1,2),
设直线OM解析式为y=m1x,将M(1,2)代入,
得:m1=2,
∴直线OM解析式为y=2x,
结合抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,得:2x=﹣x2+2x+3,
解得:x=±,
综上所述,点P的横坐标为±或.
9、(1)该抛物线的表达式为:;(2)面积最大值为8,此时P点的坐标为:P(2,-6);(3)或
10、解:(1)∵直线y=﹣x+2过B、C两点,
当x=0时,代入y=﹣x+2,得y=2,即C(0,2),
当y=0时,代入y=﹣x+2,得x=4,即B(4,0),
把B(4,0),C(0,2)分别代入y=﹣x2+bx+c,
得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)∵抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A,
∴﹣x2+x+2=0,
解得x1=﹣1,x2=4,
∴点A的坐标为(﹣1,0),
∴AO=1,AB=5,
在Rt△AOC中,AO=1,OC=2,
∴AC=,
∴==,
∵=,
∴=,
又∵∠OAC=∠CAB,
∴△AOC∽△ACB;
(3)设点D的坐标为(x,﹣x2+x+2),
则点E的坐标为(x,﹣x+2),
∴DE=﹣x2+x+2﹣(﹣x+2)
=﹣x2+x+2+x﹣2
=﹣x2+2x,
∵﹣<0,
∴当x=2时,线段DE的长度最大,
此时,点D的坐标为(2,3),
∵C(0,2),M(3,2),
∴点C和点M关于对称轴对称,
连接CD交对称轴于点P,此时PD+PM最小,
连接CM交直线DE于点F,则∠DFC=90°,点F的坐标为(2,2),
∴CD==,
∵PD+PM=PC+PD=CD,
∴PD+PM的最小值为.
11、解:(1)∵点A、B在抛物线y=x2上,点A、B的横坐标分别为﹣3、,
∴当x=﹣3时,y=×(﹣3)2=×9=,当x=时,y=×()2=×=,
即点A的坐标为(﹣3,),点B的坐标为(,),
作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x轴于点D,作PE⊥x轴于点E,如右图1所示,
则AC∥BD∥PE,
∵点P为线段AB的中点,
∴PA=PB,
由平行线分线段成比例,可得EC=ED,
设点P的坐标为(x,y),
则x﹣(﹣3)=﹣x,
∴x==﹣,
同理可得,y==,
∴点P的坐标为(﹣,);
(2)∵点B在抛物线y=x2上,点B的横坐标为4,
∴点B的纵坐标为:y=×42=8,
∴点B的坐标为(4,8),
∴OD=4,DB=8,
作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x轴于点D,如右图2所示,
∵∠AOB=90°,∠ACO=90°,∠ODB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,∠BOD+∠OBD=90°,∠ACO=∠ODB,
∴∠AOC=∠OBD,
∴△AOC∽△OBD,
∴,
设点A的坐标为(a,a2),
∴CO=﹣a,AC=a2,
∴,
解得a1=0(舍去),a2=﹣1,
∴点A的坐标为(﹣1,),
∴中点P的横坐标为:=,纵坐标为=,
∴线段AB中点P的坐标为(,);
(3)作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x轴于点D,如右图3所示,
由(2)知,△AOC∽△OBD,
∴,
设点A的坐标为(a,a2),点B的坐标为(b,b2),
∴,
解得,ab=﹣4,
∵点P(x,y)是线段AB的中点,
∴x=,y===,
∴a+b=2x,
∴y==x2+2,
即y关于x的函数解析式是y=x2+2;
(4)当y=6时,6=x2+2,
∴x2=4,
∵OP===2,△AOB是直角三角形,点P时斜边AB的中点,
∴AB=2OP=4,
即线段AB的长是4.
12、解:(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得,
解得,
故抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3,
当x=0时,y=3,故点C(0,3);
(2)当m=1时,点E(1,0),设点D的坐标为(1,a),
由点A、C、D的坐标得,AC=,
同理可得:AD=,CD=,
①当CD=AD时,即=,解得a=1;
②当AC=AD时,同理可得a=(舍去负值);
故点D的坐标为(1,1)或(1,);
(3)∵E(m,0),则设点M(m,﹣m2+2m+3),
设直线BM的表达式为y=sx+t,则,
解得:,
故直线BM的表达式为y=﹣x+,
当x=0时,y=,故点N(0,),则ON=;
S1=AE×yM=×(m+1)×(﹣m2+2m+3),
2S2=ON xM=×m=S1=×(m+1)×(﹣m2+2m+3),
解得m=﹣2±(舍去负值),
经检验m=﹣2是方程的根,
故m=﹣2.
13、在范围内,
当=时,=;当=时,=;
①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧,当=时取得最小值=,最大值=,
令==,即=,解得=.
②当=时,此时=,=,不合题意,舍去;
③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧,
此时=,令==,即=解得:=(舍),=;
或者==,即(不合题意,舍去);
④当=时,此时=,=,不合题意,舍去;
⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧,当=时取得最大值=,最小值=,
令==,解得=.
综上,=或=或=.
14、(1)OA=2=BC,故函数的对称轴为x=1,则x1①,
将点A的坐标代入抛物线表达式得:0=4a﹣2b②,
联立①②并解得,
故抛物线的表达式为:yx2x③;
(2)由抛物线的表达式 yx2x 得,点M为抛物线顶点,顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b )/4a],则代入得点M为(1,3);点A点D为抛物线的两个根,已知点A坐标,带入求根公式可得点D为(4,0);
∵△ADR的面积是 OABC的面积的,
∴AD×|yR|OA×OB,则6×|yR|2,解得:yR=±④,
联立④③并解得或,
故点R的坐标为(1,)或(1,)或(1,)或(1,);
(3)①当点P与M重合时,存在唯一的点Q(4,0)与D重合,此时符合题意,P(1,3).
②根据对称性可知.P(1,﹣3),Q与D重合时,也符合题意.
③当点P是EM的中点,点Q是DM的中点时,也符合题意,此时P(1,)
综上所述,满足条件的点P的坐标为(1,3)或(1,﹣3)或(1,).
15、(1)设OB=t,则OA=2t,则点A、B的坐标分别为(2t,0)、(﹣t,0),
则x(2t﹣t),解得:t=1,
故点A、B的坐标分别为(2,0)、(﹣1,0),
则抛物线的表达式为:y=a(x﹣2)(x+1)=ax2+bx+2,
解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+2;
(2)对于y=﹣x2+x+2,令x=0,则y=2,故点C(0,2),
由点A、C的坐标得,直线AC的表达式为:y=﹣x+2,
设点D的横坐标为m,则点D(m,﹣m2+m+2),则点F(m,﹣m+2),
则DF=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m,
∵﹣1<0,故DF有最大值,DF最大时m=1,
∴点D(1,2);
(3)存在,理由:
点D(m,﹣m2+m+2)(m>0),则OE=m,DE=﹣m2+m+2,
以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似,
则,即2或,即2或,
解得:m=1或﹣2(舍去)或或(舍去),
故m=1或.
16、解:设抛物线的函数解析式为
由题意,抛物线的顶点为
又抛物线与轴交于点
抛物线的函数解析式为
(2)证明:∵P(m,n),
∴,
∴P(m,),
∴,
∵F(2,1),
∴,
∵,,
∴d2=PF2,
∴PF=d.
(3)如图,过点Q作QH⊥直线l于H,过点D作DN⊥直线l于N.
∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ,DF是定值=,
∴DQ+QF的值最小时,△DFQ的周长最小,
∵QF=QH,
∴DQ+DF=DQ+QH,
根据垂线段最短可知,当D,Q,H共线时,DQ+QH的值最小,此时点H与N重合,点Q在线段DN上,
∴DQ+QH的最小值为6,
∴△DFQ的周长的最小值为,此时Q(4,-).
展开更多......
收起↑