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浙教版2021年九年级上册第4章《相似三角形》单元基础练习题
一、选择题
1．下列四组线段中，成比例线段的有（　　）
A．1m、2m、3m、6dm B．2m、4m、9m、18cm C．1m、m、m、m D．1m、2m、3m、4m
2．下列图形中不是相似关系的是（ ）
A．B．C． D．
3．当主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处是最自然得体的，现主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，若舞台AB的长为（48）米，则CD的长为（　　）
A．4米 B．（48）米 C．8米 D．（24）米
4．下列不能判定和以，，为顶点的三角形相似的条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
5．如图，两条直线被三条平行线所截，若DE＝3，EF＝6，BC＝8，则AC＝（　　）
A．4 B．8 C．12 D．9
6．如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，连接ED，则下列结论：①△ADC∽△BDF；②△BEC∽△ADC；③△ABD∽△ABE；④△ABC∽△DEC；⑤△BDE∽△AED；⑥△BDF∽△AEF．正确的为（　　）
A．①②③④ B．①②④⑥ C．①②⑤⑥ D．②③④
7．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图所示，添加一个条件_________，△ADB ∽△ABC．
10．一幅地图的比例尺为1：6000000，若两地画在图上的距离是5cm，则两地的实际距离是 ___km．
11．已知＝，则＝___．
12．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ___．
13．如图，△ABC∽△DAC，∠B＝28°，∠D＝140°，则∠BAD的度数为____．
14．如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，且，则______．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝___．
三、解答题
16．图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．
17．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE=3：4，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM=16m，边DF离地面的距离为1.5m，求树高AB．
18．如图，在中，，于D．
求证：．
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC的边上，且AD＝8，DB＝4，AE＝6，求AC的长．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，动点P、Q分别从点C、点A同时出发，点P以3cm/s的速度沿CB向点B移动，点Q以1cm/s的速度沿AC向点C移动．经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
21．（1）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，EF⊥GH于P，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．
①如图1，当a＝b时，线段EF与线段GH的数量关系是　 　；
②如图2，当a≠b时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（2）如图3，在四边形ABCD中，BC＝CD＝10，∠B＝∠ADC＝90°，AE⊥DF于P，点E，F分别在边BC，AB上，若，请直接写出AB的长．
22．如图1，已知在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，以BC为边作正方形BCDE，点P从点A出发，沿ABE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜6.5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）如图2，连接PQ，交BC于点F，是否存在某一时刻t，使△BFP与△QFC相似？
（3）用含t的代数式表示出五边形PEDCQ的面积．
参考答案
1．C
【分析】
把线段从小到大（或从大到小）排列，，，，若线段，，，成比例，则，只要代入验证即可．
【详解】
A.，，A错误；
B.，，B错误；
C.，C正确；
D.，D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查成比例线段，解题关键是掌握成比例线段的定义，叙述成比例线段时，注意各个线段的顺序．
2．D
【分析】
根据形状相同的两个图形是相似图形，逐项分析即可．
【详解】
解：形状相同的两个图形是相似图形，
选项ABC四个图形形状都相同相似，选项D图形形状不相同不相似，
故选D
【点睛】
本题考查了相似图形的定义，理解形状相同的两个图形是相似图形是解题的关键．
3．A
【分析】
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比，据此求解即可．
【详解】
解：由题意可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴（米），
故选：A．
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
4．D
【分析】
根据相似三角形的判定定理即可作出判断．
【详解】
解：A、∵，∴△ABC∽△B′C′A′；
B、∵，∴，又，∴△ABC∽△B′C′A′；
C、∵且，∴△ABC∽△B′A′C′；
D、若且，则不能判断△ABC和△A′B′C′相似；
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，正确理解判定定理是关键．
5．C
【分析】
根据平行线分线段成比例可得即由此求解即可．
【详解】
解：∵，
∴即，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．
6．B
【分析】
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：∵△ABC的两条高AD，BE交于点F，
∴∠AEF＝∠FDB＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠EAF＝∠DBF，
∴△AFE∽△BFD，故⑥正确，
∵∠ADC＝∠BDF＝90°，
∴△ADC∽△BDF，故①正确，
∵∠BEC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BEC∽△ADC，故②正确，
∴，
∴，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DEC，故④正确，
③⑤不满足相似的条件，结论错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
7．D
【分析】
直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵两个相似三角形的面积之比为9：4，
∴相似比是3：2，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为：3：2，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
8．C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9．∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或）
【分析】
根据两个三角形有公共角，添加条件即可．
【详解】
解：∵∠A=∠A．
∴添加∠ABD=∠ACB 或∠ADB=∠ABC，利用两个角相等的两个三角形相似可判定；
添加，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定；
故答案是：∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或）
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题关键是明确相似三角形的判定定理，准确添加条件．
10．300
【分析】
根据比例尺=图上距离÷实际距离进行求解即可．
【详解】
解：∵比例尺=图上距离÷实际距离，
∴实际距离=图上距离÷比例尺，
故答案为：300．
【点睛】
本题主要考查了比例线段，解题的关键在于能够熟知比例尺=图上距离÷实际距离．
11．
【分析】
由＝得，代入要求的式子进行计算即可．
【详解】
解：∵＝，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．
12．
【分析】
利用相似多边形的性质求解即可．
【详解】
解：∵＝2×4 ×1×2 ×1×2 1×1 ×1×1＝．
又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，
∴：＝＝＝，
∴＝×＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似多边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，解决问题．
13．168°
【分析】
根据相似三角形对应角相等求解即可．
【详解】
解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝28°+140°=168°，
故答案为：168°．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题关键是明确相似三角形对应角相等．
14．
【分析】
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出两三角形的相似比，从而对应边的比等于相似比进行求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方．
15．
【分析】
先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，同样的方法可得出，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
解：在矩形中，，
，
在和中，，
，
，即，
，
同理可得：，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
16．不相似，理由见解析
【分析】
根据四边形的内角和为360°以及相似多边形的定义：对应角相等，对应边·成比例的两个多边形，叫做相似多边形进行判断即可．
【详解】
解：这两个多边形不相似．理由：
∵∠D＝360°－135°－95°－72°＝58°，
∠G＝360°－135°－72°－59°＝94°，
∴这两个多边形不相似．
【点睛】
本题考查四边形的内角和为360°、相似多边形的定义，熟知相似多边形的定义是解答的关键．
17．树高AB长为13.5m
【分析】
设，，证明，由相似的性质得出，算出，即可得出答案．
【详解】
设，，
，，
，
，
，
，
，
答：树高AB长为13.5m．
【点睛】
本题考查利用相似三角形测高，掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
18．见解析
【分析】
根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．
【详解】
证明：∵于D．
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．
19．AC的长为9
【分析】
由证明可得：再代入数据求值即可.
【详解】
解：
AD＝8，DB＝4，AE＝6，
经检验：符合题意；
所以AC的长为9．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键.
20．秒或1.2秒
【分析】
存在2种情况，一种情况是QPC∽△ABC，还有一种是△PQC∽△ABC，用线段比相等可求得．
【详解】
解：∵AC：AB=3：5，
∴，
∵BC=8cm，∠C=90°，
∴，即
∴AB=10cm，
∴AC=6cm，
设经过t秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，CP=3t，CQ=6-t
①若 △ QPC∽△ABC，
则：，即：
∴t= ；
（2）若 △PQC∽△ABC，
则：，即：
∴t=1.2
所以，经过 秒或1.2秒时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质．
21．（1）①相等；②不成立，；（2）20
【分析】
（1）①分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，则由四边形内角和可证得∠MGH=∠NFE，易得MH=EN，从而△HMG≌△ENF，从而可得EF=GH；
②结论不成立；分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，则由四边形内角和可证得∠MGH=∠NFE，从而可得Rt△HMG∽Rt△ENF，根据相似三角形的性质即可得；
（2）过点D作AB的平行线交BC的延长线于点N，过点A作BC的平行线交DN于点M，连接AC，则四边形AMNB是矩形；易得Rt△ABC≌Rt△ADC，则有AD=AB；由（1）知
，设AD=AB=5a，则AM=4a，从而由勾股定理可得MD=3a，则DN=2a，CN=4a－10，在Rt△CDN中，由勾股定理建立方程即可求得a，进而求得AB的长．
【详解】
（1）①分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，如图
∴∠AMH=∠END=90゜
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠A=∠B=∠D=90゜
∴四边形AMHB、四边形AEND都是矩形
∴MH=AB，EN=AD
∴MH=EN
∵GH⊥EF
∴∠GPF=∠D=90゜
∴由四边形内角和知，∠HGD+∠NFE=180゜
∵∠MGH+∠HGD=180゜
∴∠MGH=∠NFE
在△HMG与△ENF中
∴△HMG≌△ENF
∴EF=GH
故答案为：EF=GH；
②结论不成立，；理由如下：
分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，如图
∴∠HMG=∠ENF=90゜
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=b，∠A=∠B=∠D=90゜
∴四边形AMHB、四边形AEND都是矩形
∴HM=AB=a，EN=AD=b
∵GH⊥EF
∴∠GPF=∠D=90゜
∴由四边形内角和知，∠HGD+∠NFE=180゜
∵∠MGH+∠HGD=180゜
∴∠MGH=∠NFE
∴△HMG∽△ENF
∴
（2）过点D作AB的平行线交BC的延长线于点N，过点A作BC的平行线交DN于点M，连接AC，如图，则四边形AMNB是矩形
∴MN=AB，AM=BN
∵∠B=∠ADC=90゜，BC=DC，AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△ADC
∴AD=AB
由（1）知
设AD=AB=5a，则AM=BN=4a，MN=AB=5a
在Rt△AMD中，由勾股定理得：MD=3a
∴DN=MN－MD=2a，CN=BN－BC=4a－10
在Rt△CDN中，由勾股定理可得：
即
解得：a=4
∴AB=5×4=20
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，感受从特殊到一般的研究方法，（2）中构造矩形AMNB是本题的难点，运用（1）中②的结论是解决（2）问的关键．
22．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由题意得，，由勾股定理求出AC=13cm，则，再证明，得到即，由此求解即可；
（2）先根据相似三角形的判定条件得到∠FQC=∠FBP=90°，从而证明△APQ∽△ACB，即，由此求解即可；
（3）过点Q作QM⊥AB于M，则可证△AMQ∽△ABC，得到即，则，再由进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得，，
∵在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得；
（2）∵∠BFP=∠QFC，
∴要使得△BFP与△QFC相似，那么必有另一组对应角相等，
∵∠ABC=∠PBF=90°，∠QCF≠90°，
∴∠FQC=∠FBP=90°，
∴∠FCQ=∠FPB，∠AQP=∠ABC=90°
∴△APQ∽△ACB，
∴即，
解得；
（3）过点Q作QM⊥AB于M，
∴∠AMQ=∠ABC=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AMQ∽△ABC，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，列代数式，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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