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学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
30 道典型几何题解析
1．【加减法求面积】如图是一个直径为 3cm的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针方
向旋转 60 ，此时 B 点移动到 B ' 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为 cm ，圆周率按
3计算)．
B'
60
A B
【解析】面积 圆心角为 60 的扇形面积 半圆 空白部分面积(也是半圆) 圆心角为
60 3
60 的扇形面积 π 32 π 4.5(cm2 )．
360 2
2．【割补法求面积】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计
算)：
4
3
⑴ ⑵
1
2
1 1
⑶ ⑷
【解析】⑴ 4.5 ⑵ 4 ⑶1 ⑷ 2
3．【差不变】三角形 ABC 是直角三角形，阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 25cm2 ，
AB 8cm，求 BC 的长度．
A
I
II
B C
1
学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
【解析】由于阴影 I的面积比阴影 II 的面积小 25cm2 ，根据差不变原理，直角三角形
ABC 面积减去半圆面积为 25cm2 ，则直角三角形 ABC 面积为
2
1 8
π 25 8π 25 ( cm
2 )，
2 2
BC 的长度为 8π 25 2 8 2π 6.25 12.53 ( cm )．
4．【等量代换】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面
积.
20－5
5
8 8
20 20
【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积，为(20 5 20) 8 2 140 (平方厘米)．
5．【等面积变形】如下图，长方形 AFEB和长方形 FDCE 拼成了长方形 ABCD，长方形
ABCD的长是 20，宽是 12，则它内部阴影部分的面积是多少
A B
F E
D C
【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为
1
20 12 120．
2
6．【面积与旋转】如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米， ABC 60 ，
此时 BC 长 5 厘米．以点 B 为中心，将 ABC 顺时针旋转120 ，点 A、C 分别到达点 E 、
D 的位置．求 AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积．( π 取 3)
E E
(1)
C C
(2)
D AA B B D
【解析】注意分割、平移、补齐．
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，
2
学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
因为 EBD 60 ，那么 ABE 120 ，
1
则阴影部分为一圆环的 ．
3
7．【图形与平移】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它
地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用 101 块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多
少块？
图１ 图 2
【解析】我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的
处理，移到两条边上(如图 2)．在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没
有变，此时白色瓷砖组成一个正方形．大正方形的边长上能放 (101 1) 2 51(块)，白
色瓷砖组成的正方形的边长上能放： 51 1 50 (块 )，所以白色瓷砖共用了：
50 50 250(0块)．
8. 【化整为零】正方形 ABCD与等腰直角三角形 BEF放在一起（如图），M、N点为正方
2
形的边的中点，阴影部分的面积是 14cm ，三角形 BEF的面积是多少平方厘米？
【解析】因为 M、N 是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下
F F
M M
A D A D
N N
B E B E
C C
图形中的三角形面积都相等，阴影部分由 7 个三角形组成，且其面积为 14 平方厘米，
故一个三角形的面积为 2 平方厘米，那么三角形 BEF的面积是 18 平方厘米。
9. 【割补法】如图所示的四边形的面积等于多少？
C O
13
13 1313
12 D 12
B
12 12
A
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
3
学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形
OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个
边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为12 12 144 .(也可以用勾股定理)
10．【巧求周长】下图中的阴影部分 BCGF 是正方形，线段 FH 长18 厘米，线段 AC 长
24厘米，则长方形 ADHE 的周长是 厘米．
F G
E H
A D
B C
【解析】本题需要注意，长方形 ADHE 的宽应等于正方形BCGF 的边长．
由于图中阴影部分 BCGF 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形 ADHE 的
宽． FH AC的和应为长方形 ADHE 的长加上正方形 BCGF 的边长，所以等于长方形
ADHE 的长与宽之和．所以长方形 ADHE 的周长为： (18 24) 2 84厘米．
11．【周长与面积】有 9 个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这 9 个小长方形拼成的
大长方形的面积是 45平方厘米，求这个大长方形的周长．
【解析】从图上可以知道，小长方形的长的 4 倍等于宽的 5 倍，所以长是宽的 5 4 1.25
倍．每个小长方形的面积为 45 9 5平方厘米，所以1.25 宽 宽 5，所以宽为 2 厘米，
长为 2.5厘米．大长方形的周长为 (2.5 4 2 2.5) 2 29厘米．
12．【梯形蝴蝶】如图， ABCD与 AEFG 均为正方形，三角形 ABH 的面积为 6 平方厘
米，图中阴影部分的面积为 ．
D C D C
F E F E
H H
G A B G A B
【解析】如图，连接 AF ，比较 ABF 与 ADF ，由于 AB AD， FG FE ，即 ABF 与
ADF 的底与高分别相等，所以 ABF 与 ADF 的面积相等，那么阴影部分面积与
ABH 的面积相等，为 6 平方厘米．
13．【曲线开型面积】如右图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成
4
学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ ( π 取
3)
【解析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．
如右上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形．可以看
出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣
图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还
1
剩下 4 个 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为
4
42 π 12 19 (平方厘米)．
14．【曲线型面积】如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直
径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．( π 取 3)
A D A D
B a C B a C
【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，
不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影
部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．
如图，这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形，我们可以求得，
21 a 1 a 1
S 2阴影 4 S半圆 S三角形 4 a a
2 2 2 2 2
15．【表面积计算】中是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中
心位置挖去一个边长 1 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米？
5
学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
【解析】根据题意可知，挖去的 6 个边长 1 厘米的正方体相互之间是独立的，所以挖
去之后，原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧面积，所以现在它的表面
积为： 4 4 6 1 1 4 6 120平方厘米．
16．【共高模型】如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新四边形 EFGH
如果 ABCD 的面积是 5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米
【解析】如下图，连接 BD，ED，BG，
EA
有 EAD、 ADB 同高，所以面积比为底的比，有 S ． EAD S ABD 2S ABD
AB
AH
同理 S EAH S EAD 3S EAD 6S ABD．
AD
类似的，还可得 S FCG 6S BCD，有
S EAH S FCG 6 S ABD S BCD 6SABCD =30 平方厘米．
连接 AC，AF，HC，还可得 S EFB 6S ABC ，S DHG 6S ACD ，
有 S EFB S DHG 6 S ABC S ACD 6SABCD =30 平方厘米.
有四边形 EFGH 的面积为 EAH, FCG, EFB, DHG,ABCD 的面积和，即为
30+30+5=65(平方厘米.)
17．【等积变形】图中 ABCD 是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以 AD 为一边向外作
长方形 ADEF，其面积为 6.36 平方厘米。连接 BE 交 AD 于 P，再连接 PC。则图中阴影部
分的面积是( )平方厘米。
6
学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
F E F E
P
A D
P
A D
B C B C
【解析】如图,连接 AE，BD。因为 AD∥BC，则： S△PDC S△PDB ,又 AB∥ED，则：
S△EAD S△EBD ,所以，
1 1
S阴影 S△EPD S△PDC S△EPD S△PDB S△EDA S△ADEF 6.36 3.18（平方厘米）
2 2
18．【一半模型】一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的
15%，黄色三角形面积是 21cm2 ．问：长方形的面积是多少平方厘米？
黄
红 红
绿
【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的
宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的 50% ，而绿色三角形面积
占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50% 15% 35%．
已知黄色三角形面积是 21cm2 ，所以长方形面积等于 21 35% 60（ cm2）．
19．【表面积计算】如图，棱长分别为1厘米、 2 厘米、 3厘米、5 厘米的四个正方体紧贴
在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？
【解析】(法 1)四个正方体的表面积之和为：
(12 22 32 52 ) 6 39 6 234(平方厘米)，
重叠部分的面积为：
12 3 (22 2 12) (32 22 12) (32 22 12) 3 9 14 14 40 (平方厘米)，
所以，所得到的多面体的表面积为： 234 40 194(平方厘米)．
7
学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
(法 2)三视图法．从前后面观察到的面积为52 32 22 38平方厘米,从左右
两个面观察到的面积为52 32 34平方厘米，从上下能观察到的面积为
52 25平方厘米．
表面积为 38 34 25 2 194 (平方厘米)．
20．【表面积计算】用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表
面积是多少平方厘米
【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7块正方形组成．
该图形的表面积等于 (9 7 7) 2 46个小正方形的面积，所以该图形表面积
为 46 平方厘米．
21．【取特殊点】长方形 ABCD的面积为 36， E 、 F 、G 为各边中点， H 为 AD 边上任
意一点，问阴影部分面积是多少？
A (H) D
A H D
E G
E G
B B F CF C
【解析】特殊点法．由于 H 为 AD 边上任意一点，找 H 的特殊点，把 H 点与 A 点重合
（如左上图），那么阴影部分的面积就是 AEF 与 ADG的面积之和，而这两个三角形
1 1
的面积分别为长方形 ABCD面积的 和 ，所以阴影部分面积为长方形 ABCD面积的
8 4
1 1 3 3
，为36 13.5．
8 4 8 8
22．【共高模型】如图，长方形 ABCD的面积是 2 平方厘米， EC 2DE ， F 是 DG 的中
点．阴影部分的面积是多少平方厘米？
A D A D
F E x F
E
y
x
B C y
G B CG
【解析】如下图，连接 FC ， DBF 、 BFG 的面积相等，设为 x 平方厘米; FGC 、
8
学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
1
DFC的面积相等，设为 y 平方厘米，那么 DEF 的面积为 y 平方厘米．
3
1 1 1 x y 0.5 ①
S BCD 2x 2y 1，S BDE =x+ y=l ．所以有 ．比较②、①式，②
3 3 3 3x y 1 ②
式左边比①式左边多 2x ，②式右边比①式右边大 0.5，有 2x 0.5，即
2 5 5
x 0.25 , y 0.25．而阴影部分面积为 y y 0.25 平方厘米．
3 3 12
23．【周长与面积】如图，大长方形的面积是小于 200的整数，内部有三个边长为整数的
正方形 A、B、C，正方形 B的边长是长方形长的 7/16，正方形 C的边长是长方形宽的
1/4，那么剩余黑色区域的面积是多少？
16 3
【解析】如图，长方形长的 =宽的 ，可求出长与宽的比，再根据面积小于 200 确定面
9 4
9 3
积大小，从长方形面积中减去 A、B、C 就是阴影部分面积。长× =宽× ，长：宽=4:3
10 4
9
面积＜200 的整数，所以长 2=16，宽=12，面积=192SA =（16 ）=81，
16
7 1
SB =（16 ）
2=49 SC =（12 ）
2=9 S阴影=192-81-19-9=53。
16 4
24．【梯形蝴蝶】如图所示， BD、CF 将长方形 ABCD分成 4 块， DEF 的面积是 5 平
方厘米， CED的面积是 10平方厘米．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？
A F D A F D
5 5
E 10 E 10
B C B C
【解析】连接 BF ，根据梯形模型，可知三角形 BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，
即其面积也是 10 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE 的面积为10 10 5 20 (平
方厘米)，所以长方形的面积为 20 10 2 60 (平方厘米)．四边形 ABEF 的面积为
60 5 10 20 25(平方厘米)．
9
学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
25．【面积与重叠】奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直
径为 8 厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知
五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．( π 3.14 )
【解析】⑴每个圆环的面积为： π 42 π 32 7π 21.98 (平方厘米)；
⑵五个圆环的面积和为： 21.98 5 109.9 (平方厘米)；
⑶八个阴影的面积为：109.9 77.1 32.8 (平方厘米)；
⑷每个阴影的面积为：32.8 8 4.1(平方厘米)．
26．【圆柱体表面积】如图是一个半径为 4 厘米，高为 4厘米的圆柱体，在它的中间依次
向下挖半径分别为 3厘米、2 厘米、1 厘米，高分别为 2厘米、1 厘米、0.5厘米
的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？
【解析】圆柱挖掉 3 个小圆柱，表面积会增 3 个圆柱的侧面积，底面积总和不变。
总表面积为：2×3π×2+2×2π×1+2×1π×0.5=12π+4π+1π=17π
27．【等积变形】输液 100 毫升，每分钟输 2.5毫升．如图，请你观察第 12 分钟时图中的
数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？
10
学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
【解析】100 毫升的吊瓶在正放时，液体在 100 毫升线下方，上方是空的，容积是多
少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．
由于每分钟输 2.5毫升，12 分钟已输液 2.5 12 30 (毫升)，因此开始输液时
液面应与 50 毫升的格线平齐，上面空的部分是 50 毫升的容积．所以整个吊瓶的容积
是100 50 150(毫升)．
28．【表面积变化】如图，有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、
面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方
体的边长是多少厘米？
【解析】大立方体的表面积是 20 20 6 2400 平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，
外面少了 3 个面，但里面又多出 3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了 2 个面，
但里面多出 4 个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了 1 个面，但里面多出 5 个
面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了 6 个面，可以计算出每个面的
面积：(2454 2400) 6 9 平方厘米，说明小正方体的棱长是 3 厘米．
29．【燕尾模型】如图，已知 BD 3DC， EC 2AE， BE 与 AD 相交于点O ,则△ABC
被分成的 4 部分面积各占△ABC 面积的几分之几？
A A
1
1
E 9 E
O O 2
2
13.5 4.5
B D C B 3 D 1 C
【解析】连接CO ,设 S△ 1份，则其他部分的面积如图所示，所以AEO
S△ABC 1 2 9 18 30份，所以四部分按从小到大各占△ABC 面积的
1 2 4.5 13 9 3 13.5 9
, , ,
30 30 60 30 10 30 20
30．【格点与面积】如图(a)，有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三
角形都是等边三角形．计算三角形 ABC 的面积．
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学习改变命运，思考成就未来! 第 2讲
A A A A H
Ⅱ'
E E
Ⅰ Ⅱ
C D C ' C CF Ⅰ' Ⅲ F D
R
Ⅲ
B B B B G
(a) (b) (c) (d)
【解析】方法一：如图(b)所示，在 ABC 内连接相邻的三个点成 DEF，再连接 DC、
EA、FB后是 ABC
可看成是由 DEF分别延长 FD、DE、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变
换不难得到 S ACD 2， S AEB 3， S FBC 4，所以 S 1 2 3 4 10 (面积单位)．
方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位
置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出 ABC 的面积为 10．
方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形 ARBE中有 6 个小正三角形，
而 ABE的面积是平行四边形 ARBE面积的一半，即 S AEB 3，平行四边形
ADCH中有 4 个小正三角形，而 ADC的面积是平行四边形 ADCH面积的一半，
即 S ACD 2．平行四边形 FBGC中有 8 个小正三角形，而 FBC的面积是平行四
边形 FBGC的一半，即： S FBC 4．所以 S 1 2 3 4 10 (面积单位)．
12

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