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2021-2022学年高一数学人教A版（2019）必修第一册专题4.5.2用二分法求方程的近似解-期末复习题
时间：80分钟
一、单选题
1．下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，则函数的一个精确度为 0．1的正实数零点的近似值为（ ）
A．0.6 B．0.75
C．0.7 D．0.8
3．已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A． B． C． D．
4．用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时，令f(x)=ln(2x+6)+2-3x，并用计算器得到下表:
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
则由表中的数据，可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为（ ）
A．1.125 B．1.3125
C．1.4375 D．1.46875
5．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
6．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
7．关于用二分法求函数零点的近似值，下列说法中正确的是（ ）
A．函数只要有零点，就能用二分法求出其近似值
B．零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值
C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解
D．一个单调函数如果有零点，就能用二分法求出其近似值
8．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：
1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125
-6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.3418 0.5793
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为
A． B． C． D．
二、多选题
9．若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在，，，内，则与符号不同的是（ ）
A． B． C． D． E.
10．下列函数中，能用二分法求函数零点的有
A． B．
C． D．
11．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（ ）
A．y=+1 B．y=
C．y=x2+4x+8 D．y=|x|
12．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程的近似解（精确度0.1）可取为
A．2.52 B．2.56 C．2.66 D．2.75
三、填空题
13．已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
14．用二分法求得函数的零点为______．（精确到0.1）
15．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________．(精确度0.1)
16．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)
四、解答题
17．利用计算器，求下列方程的近似解（精确到0.1）：
（1）；
（2）；
（3）.
18．求函数f(x)=x25的负零点的近似值(精确度0.1).
19．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1).
20．已知函数f（x）＝ax+（a＞1）.
（1）求证：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；
（2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.1）.
21．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
（1）证明f(x)有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
22．在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到某指挥部(设为B)的电话线路有一处发生了故障.这是一条长的线路,想要尽快地查出故障所在.如果沿着线路一小段小段地查找,困难很多,每查一小段需要很长时间.
(1)维修线路的工人师傅随身带着话机,他应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半
(2)要把故障可能发生的范围缩小到,最多要查多少次
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．A
【解析】根据题意，利用二分法求函数零点的条件是：
函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，
据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点，
故选：A.
2．C
【解析】已知则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
故选:C.
3．C
【解析】因为函数在上显然是连续函数，
和在上都是增函数，
当时，，所以在上恒成立；
当时，，所以在上也恒成立；
当时，，所以在上恒成立，
又，，
根据函数零点存在性定理，可得的其中一个零点的初始区间可为
故选：C.
4．B
【解析】因为f(1.25)·f(1.375)<0，所以根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.3125，
两个区间(1.25，1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解，
故选：B.
5．B
【解析】每一次等分，区间长度都变为原来的一半，故n次之后去见长度变为，由精确度的定义知道：只需由<0.01，得2n>10，所以n的最小值为4.
故选B.
6．C
【解析】选项恒成立，不存在区间使，
所以不能用二分法求零点.
故选：C
7．D
【解析】解：根据二分法求函数零点的原理，当零点左右两侧的函数值必须异号才可以求解，故A选项错误；
对于B选项，二分法求函数零点与函数零点的特征没有关系，故B选项错误；
对于C选项，二分法求函数零点与函数零点个数没有关系，故C选项错误；
对于D选项，一个单调函数如果有零点，则满足零点的存在性定理，可以用二分法求解，故D选项正确.
故选：D
8．C
【解析】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.
9．ABD
【解析】由二分法的步骤可知
①零点在内，则有，不妨设，，取中点2；
②零点在内，则有，则，，取中点1；
③零点在内，则有，则，，取中点；
④零点在内，则有，则，，则取中点；
⑤零点在内，则有，则，，
所以与符号不同的是，，，
故选ABD.
10．ACD
【解析】，，
当时，；
当时，，
在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，
其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.
故选.
11．CD
【解析】对于选项C，y=x2+4x+8=(x+4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值.
对于选项D，y=|x|≥0，故不能用二分法求零点的近似值.
易知选项A，B有零点，且可用二分法求零点的近似值.
故选：CD．
12．AB
【解析】由表格函数值在的左右两侧，最接近的值，即，
可知方程的近似根在内，
因此选项中2.52符合，选项中2.56也符合，
故选.
13．
【解析】解：令，其在定义域上单调递增，
且，，
，
由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．
故答案为：．
14．1.9
【解析】根据题意，令，易知函数是单调递增且图象是连续的.
由，，知函数的零点在之间；
因，所以，所以函数的零点在之间；
又因，所以，所以函数的零点在之间；
又因，所以，所以函数的零点在之间；
又因，所以，所以函数的零点在之间，由，且题目要求精确到0.1，
因此函数的零点为1.9.
故答案为：1.9.
15．0.75或0.6875
【解析】因为 (0.75)0，(0.6875)0，且|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，
所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．
故答案为：0.75或0.6875．
16．1.56
【解析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.
17．（1）；（2）和；（3）.
【解析】解：（1）设函数，因为在上单调递增，
所以方程的解至多只有一个，
因为，
，
所以，即方程的解约为；
（2）作出与的图象，可以发现方程有两个解，
设函数，
因为，
，
，
，
所以，即方程的两个解约为和.
（3）作出与的图象，可以发现方程只有一个解，
设函数，
因为，
，
所以方程的解约为.
18．2.22.
【解析】因为，，故的负零点在区间，
又，故的负零点在区间，
又，故的负零点在区间，
又，故的负零点在区间，
此时.满足精确度要求.
所以函数的一个近似负零点可用区间中的任意一个数近似，
本题中不妨取.
故函数的负零点的近似值为.
19．证明见解析；函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2
【解析】由于f（1）＝－1<0，f（2）＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1，2)内有唯一零点．不妨设零点为x0，则x0∈(1，2).
下面用二分法求解：
区间 中点的值 中点函数近似值
(1，2) 1.5 1.328
(1，1.5) 1.25 0.128
(1，1.25) 1.125 －0.444
(1.125，1.25) 1.1875 －0.160
因为f(1.1875)·f(1.25)＜0，且|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.
20．（1）证明见解析；（2）0.312 5.
【解析】证明：（1）设
∴，
∵，∴
∴＜0；
∵，且a＞1，∴，∴，
∴，即，
∴函数在上为增函数；
（2）由（1）知，当a＝3时，在上为增函数，
故在上也单调递增，由于，因此的正根仅有一个，
以下用二分法求这一正根，由于 ，
∴取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间 中点 中点函数值
（0，1） 0.5 0.732
（0，0.5） 0.25 ﹣0.084
（0.25，0.5） 0.375 0.322
（0.25，0.375） 0.312 5 0.124
由于|0.312 5﹣0.25|＝0.062 5＜0.1，
∴原方程的近似解可取为0.312 5.
21．（1）证明见解析；（2）.
【解析】(1)证明：令，则，且，
∴，即f(x)＝lnx＋2x－6在(0,＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．又f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0，即f(x)在(2,3)内有一个零点．
∴f(x)在(0,＋∞)上只有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取，，
∴，即f(x)零点．取，则.
∴.
∴，又，
∴满足题意的区间为．
22．（1）见解析（2）7次
【解析】解:(1)如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,假设发现段正常,可断定故障在段,再到段中点D查,这次若发现段正常,可断定故障在段,再到段中点E来查,依次类推即可.
(2)每一次二等分，区间长度变为原来的，由 且，
解得，
故每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此最多查次就够了.
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