资源简介 椭圆的标准方程目标要求1、理解并掌握椭圆的标准方程的求法.2、理解并掌握椭圆定义及其应用.3、理解并掌握与椭圆有关的轨迹问题.4、理解并掌握轨迹方程的求法.学科素养目标本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样,都以渗透解析几何的基本思想为教学目标,以“展示背景,建立曲线概念;建立方程,利用方程研究曲线性质”为主线,从特殊到一般,在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念.这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律.本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体,首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义,进而类比直线、圆的研究方法,建立恰当的直角坐标系,得到圆锥曲线的方程,并利用方程研究圆锥曲线的性质.在对三种曲线的研究过程中,虽然这三种曲线各有特点,但研究的思路和方法是一致的,这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路.最后通过“链接”,从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系.重点难点重点:与椭圆有关的轨迹问题;难点:轨迹方程的求法.教学过程基础知识点1. 椭圆的定义(1)文字语言:平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于 ____ (大于F1F2)的点的轨迹叫作 _____ ,两个定点F1,F2叫作椭圆的 __ ,两个焦点间的距离叫作椭圆的 __ .(2)集合语言:P={M| ______________________ ,2a>F1F2}.【课前预习思考】 定义中的常数不满足2a>F1F2时点的轨迹是什么?2.椭圆的标准方程椭圆标准方程的两种形式焦点位置 标准方程 焦点 焦距焦点在x轴上 ______________(a>b>0) F1(-c,0),F2(c,0) 2c(c>0)焦点在y轴上 ____________(a>b>0) F1(0,-c),F2(0,c) 2c(c>0)【课前预习思考】(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置?(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗?【课前基础演练】题1.(多选)下列命题错误的是 ( )A. 已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆.D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.题2. 已知a=,c=2,则该椭圆的标准方程为( )A.+=1 B.+=1或+=1C.+y2=1 D.+y2=1或x2+=1题3. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)两焦点间的距离为2,且过点A,则椭圆C的标准方程为 ( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1类型一 求椭圆的标准方程(数学运算)【课堂题组训练】题4. 已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过点F1的直线l交椭圆于M,N两点,若△MF2N的周长为8,则椭圆方程为 ( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 题5. 在平面直角坐标系xOy中,已知动点P(x,y)到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和是10,则点P的轨迹方程是( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1题6. 已知圆心为,半径为2的圆经过椭圆C:+=1(a>b>0)的三个顶点,则椭圆C的标准方程为( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1【解题策略提醒】待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是在两个坐标轴上都有可能.(2)设方程:①依据上述判断设方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0);②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).(3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求.类型二 椭圆定义及其应用(直观想象、数学运算)角度1 用定义法求椭圆的标准方程【典例】题7.已知定点A(0,-2),点B在圆C:x2+y2-4y-32=0上运动,C为圆心,线段AB的垂直平分线交BC于点P,则动点P的轨迹E的方程为________.角度2 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题【典例】题8.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别是F1,F2,点P在椭圆C上,且∠PF1F2=60°,则△PF1F2的面积是( )A.5 B. C.5 D.【解题策略提醒】1.椭圆定义的应用(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化.(2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体,求解定值问题.2.椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的△F1PF2,如已知∠F1PF2,可利用S=PF1·PF2sin ∠F1PF2把PF1·PF2看成一个整体,运用公式PF+PF=(PF1+PF2)2-2PF1·PF2及余弦定理求出PF1·PF2,而无需单独求出PF1和PF2,这样可以减少运算量.【课堂题组训练】题9. 已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若AF2=2F2B,AB=BF1,则C的方程为( )A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1题10. 已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若F2A+F2B=12,则AB= ( )A.6 B.7 C.5 D.8题11. 椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则∠F1PF2的大小为________.类型三 与椭圆有关的轨迹问题(逻辑推理)【典例】题12.已知P是椭圆+=1上一动点,O为坐标原点,则线段OP的中点Q的轨迹方程为________.题13.一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.【解题策略提醒】求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义法求解.(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.类型四 求轨迹方程(数学运算)【典例】题14.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是( )A.+=1(x≠0) B. +=1(x≠0)C.+=1(x≠0) D.+=1(x≠0)题15.设定点A(6,2),P是椭圆+=1上的动点,求线段AP的中点M的轨迹方程.【解题策略提醒】代入(相关点)法求轨迹方程的步骤(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系;(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点;(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程.【课堂题组训练】题16.已知圆C的方程为x2+y2=4,过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量,求动点Q的轨迹方程.【课后巩固习题】题17. 方程+=10化简的结果是( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1题18. 已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+x2=1题19. 椭圆+=1的左右焦点为F1,F2,P为椭圆上第一象限内任意一点,F1关于P的对称点为M,关于F2的对称点为N,则△MF1N的周长为( )A.8 B.10 C.16 D.22题20. 设定点F1、F2,动点P满足PF1+PF2=a+,则点P的轨迹是( )A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段题21. 设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1∶PF2=2∶1,则△F1PF2的面积=______.椭圆的标准方程目标要求1、理解并掌握椭圆的标准方程的求法.2、理解并掌握椭圆定义及其应用.3、理解并掌握与椭圆有关的轨迹问题.4、理解并掌握轨迹方程的求法.学科素养目标本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样,都以渗透解析几何的基本思想为教学目标,以“展示背景,建立曲线概念;建立方程,利用方程研究曲线性质”为主线,从特殊到一般,在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念.这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律.本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体,首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义,进而类比直线、圆的研究方法,建立恰当的直角坐标系,得到圆锥曲线的方程,并利用方程研究圆锥曲线的性质.在对三种曲线的研究过程中,虽然这三种曲线各有特点,但研究的思路和方法是一致的,这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路.最后通过“链接”,从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系.重点难点重点:与椭圆有关的轨迹问题;难点:轨迹方程的求法.教学过程基础知识点1. 椭圆的定义(1)文字语言:平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于 常数 (大于F1F2)的点的轨迹叫作 椭圆 ,两个定点F1,F2叫作椭圆的 焦点 ,两个焦点间的距离叫作椭圆的 焦距 .(2)集合语言:P={M| MF1+MF2=2a ,2a>F1F2}.【课前预习思考】 定义中的常数不满足2a>F1F2时点的轨迹是什么?提示:(1)当PF1+PF2=2a(2)当PF1+PF2=2a=F1F2时,P的轨迹为以F1,F2为端点的线段.2.椭圆的标准方程椭圆标准方程的两种形式焦点位置 标准方程 焦点 焦距焦点在x轴上 +=1(a>b>0) F1(-c,0),F2(c,0) 2c(c>0)焦点在y轴上 +=1(a>b>0) F1(0,-c),F2(0,c) 2c(c>0)【课前预习思考】(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置?提示:判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些,即“谁大在谁上”.(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗?提示:不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定.【课前基础演练】题1.(多选)下列命题错误的是 ( )A. 已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆.D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.【答案】ABD【解析】A×.因为2a=F1F2=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆.B×.2aC√.符合椭圆的定义.D×.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.故选ABD.题2. 已知a=,c=2,则该椭圆的标准方程为( )A.+=1 B.+=1或+=1C.+y2=1 D.+y2=1或x2+=1【解析】选D.由题可知b2=a2-c2=1,当焦点在x轴上时,椭圆方程为+y2=1;当焦点在y轴上时,椭圆方程为+x2=1.题3. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)两焦点间的距离为2,且过点A,则椭圆C的标准方程为 ( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1【解析】选B.由题意知椭圆C的焦点坐标为,由椭圆的定义得2a=+=+=+=2,所以a=,b==2.因此椭圆C的标准方程为+=1.类型一 求椭圆的标准方程(数学运算)【课堂题组训练】题4. 已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过点F1的直线l交椭圆于M,N两点,若△MF2N的周长为8,则椭圆方程为 ( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 【解析】选A.因为F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,所以c=1,又根据椭圆的定义,△MF2N的周长=4a=8,得a=2,进而得b=,所以椭圆方程为+=1.题5. 在平面直角坐标系xOy中,已知动点P(x,y)到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和是10,则点P的轨迹方程是( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1【解析】选A.由于动点P(x,y)到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为10>F1F2,故P点的轨迹为椭圆,所以2a=10,a=5,c=4,所以b2=a2-c2=9,所以P点的轨迹方程为+=1.题6. 已知圆心为,半径为2的圆经过椭圆C:+=1(a>b>0)的三个顶点,则椭圆C的标准方程为( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1【解析】选B.由题意可得圆的方程为(x-1)2+y2=4,令x=0,可得y=±,令y=0,可得x=-1或3,由椭圆的焦点在x轴上及椭圆的对称性可得a=3,b=,所以椭圆的标准方程为+=1.【解题策略提醒】待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是在两个坐标轴上都有可能.(2)设方程:①依据上述判断设方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0);②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).(3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求.类型二 椭圆定义及其应用(直观想象、数学运算)角度1 用定义法求椭圆的标准方程【典例】题7.已知定点A(0,-2),点B在圆C:x2+y2-4y-32=0上运动,C为圆心,线段AB的垂直平分线交BC于点P,则动点P的轨迹E的方程为________.【思路导引】先分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义,利用椭圆的定义,作出判断.【解析】如图,由题意,得PA=PB,所以PA+PC=PB+PC=r=6>AC=4,所以点P的轨迹E是以A,C为焦点的椭圆,其中c=2,a=3,所以b=,所以椭圆方程为+=1.答案:+=1角度2 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题【典例】题8.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别是F1,F2,点P在椭圆C上,且∠PF1F2=60°,则△PF1F2的面积是( )A.5 B. C.5 D.【思路导引】PF1+PF2=6,F1F2=4.用余弦定理可解出PF1,再套用面积公式.【解析】选D.由题意可得a=3,c==2.设PF1=m,PF2=n,则m+n=6①,由余弦定理得,cos ∠PF1F2==,即m2-n2-4m+16=0②,由①②解得m=,n=,故△PF1F2的面积是m·F1F2·sin 60°=××4×=.【解题策略提醒】1.椭圆定义的应用(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化.(2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体,求解定值问题.2.椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的△F1PF2,如已知∠F1PF2,可利用S=PF1·PF2sin ∠F1PF2把PF1·PF2看成一个整体,运用公式PF+PF=(PF1+PF2)2-2PF1·PF2及余弦定理求出PF1·PF2,而无需单独求出PF1和PF2,这样可以减少运算量.【课堂题组训练】题9. 已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若AF2=2F2B,AB=BF1,则C的方程为( )A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1【解析】选B.如图,由已知可设F2B=n,则AF2=2n,BF1=AB=3n,由椭圆的定义有2a=BF1+BF2=4n,所以AF1=2a-AF2=2n.在△AF1B中,由余弦定理推论得cos ∠F1AB==.在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·=4,解得n=.所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆C的方程为+=1.题10. 已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若F2A+F2B=12,则AB= ( )A.6 B.7 C.5 D.8【解析】选D.椭圆+=1对应的a=5,由题意可得,AF1+AF2=BF1+BF2=2a,则三角形ABF2的周长为4a=20,若F2A+F2B=12,则AB=20-12=8.题11. 椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则∠F1PF2的大小为________.【解析】由+=1,知a=3,b=,所以c=,所以PF2=2a-PF1=2,所以cos ∠F1PF2= eq \f(PF+PF-F1F,2PF1·PF2) =-,所以∠F1PF2=120°.答案:120°类型三 与椭圆有关的轨迹问题(逻辑推理)【典例】题12.已知P是椭圆+=1上一动点,O为坐标原点,则线段OP的中点Q的轨迹方程为________.【思路导引】点Q为OP的中点 点Q与点P的坐标关系 代入法求解.【解析】设Q(x,y),P(x0,y0),由点Q是线段OP的中点知x0=2x,y0=2y,又 eq \f(x,4) + eq \f(y,8) =1.所以+=1,即x2+=1.答案:x2+=1题13.一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.【思路导引】由圆的相切及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹.【解析】由已知,得两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),R1=1;Q2(3,0),R2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,如图.由题设有MQ1=1+R,MQ2=9-R,所以MQ1+MQ2=10>Q1Q2=6.由椭圆的定义,知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3.所以b2=a2-c2=25-9=16,故动圆圆心的轨迹方程为+=1.【解题策略提醒】求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义法求解.(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.类型四 求轨迹方程(数学运算)【典例】题14.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是( )A.+=1(x≠0) B. +=1(x≠0)C.+=1(x≠0) D.+=1(x≠0)【思路导引】根据三角形的周长和顶点,得到点A到两个顶点的距离之和等于定值,得到点A的轨迹是椭圆,椭圆的焦点在y轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点.【解析】选B.因为△ABC的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4),所以BC=8,AB+AC=20-8=12,因为12>8,所以点A到两个顶点的距离之和等于定值,所以点A的轨迹是椭圆.因为a=6,c=4,所以b2=20,所以椭圆的方程是+=1(x≠0).题15.设定点A(6,2),P是椭圆+=1上的动点,求线段AP的中点M的轨迹方程.【思路导引】利用中点坐标公式表示P点和M点的坐标的关系,用代入法求得轨迹方程.【解析】设M(x,y),P(x1,y1).因为M为线段AP的中点,所以因为 eq \f(x,25) + eq \f(y,9) =1,所以点M的轨迹方程为+=.【解题策略提醒】代入(相关点)法求轨迹方程的步骤(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系;(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点;(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程.【课堂题组训练】题16.已知圆C的方程为x2+y2=4,过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量,求动点Q的轨迹方程.【解析】设点Q的坐标为(x,y),点M的坐标为(x0,y0),则点N的坐标为(0,y0).因为,即(x,y)=(x0,y0)+(0,y0)=(x0,2y0),则x0=x,y0=.又点M在圆C上,所以x+y=4,即x2+=4.所以动点Q的轨迹方程是+=1.【课后巩固习题】题17. 方程+=10化简的结果是( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1【解析】选B.方程+=10表示动点M(x,y)到两个定点(±2,0)的距离之和为定值10,且10>2+2,由椭圆的定义可得:动点M的轨迹是椭圆,且2a=10,c=2,所以b2=a2-c2=52-22=21.所以椭圆的方程为:+=1.题18. 已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+x2=1【解析】选A.c=1,a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为+=1.题19. 椭圆+=1的左右焦点为F1,F2,P为椭圆上第一象限内任意一点,F1关于P的对称点为M,关于F2的对称点为N,则△MF1N的周长为( )A.8 B.10 C.16 D.22【解析】选C.因为F1关于P的对称点为M,关于F2的对称点为N,所以PF2为△F1MN的中位线,所以MF1+MN=2PF1+2PF2=2(PF1+PF2)=2×2a=12,F1N=2F1F2=4c=4=4,所以△MF1N的周长为12+4=16.题20. 设定点F1、F2,动点P满足PF1+PF2=a+,则点P的轨迹是( )A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段【解析】选D.当a>0时,由均值不等式的结论有:a+≥2=6,当且仅当a=3时等号成立.当a+=6时,点P的轨迹表示线段F1F2,当a+>6=F1F2时,点P的轨迹表示以F1,F2为焦点的椭圆.题21. 设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1∶PF2=2∶1,则△F1PF2的面积=______.【解析】由椭圆方程,得a=3,b=2,c=.因为PF1+PF2=2a=6且PF1∶PF2=2∶1,所以PF1=4,PF2=2,所以PF+PF=F1F,所以△PF1F2是直角三角形,故△F1PF2的面积为PF1·PF2=×4×2=4.答案:4 展开更多...... 收起↑ 资源预览