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专题15 对数
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，，
所以，
所以.故选C.
2．若a＞0且a≠1，则“MN＞0”是“"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，故当时，没有意义，故充分性不满足；
当成立时，显然，此时一定有，必要性满足.
综上所述，“MN＞0”是“"的必要不充分条件.故选B.
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，
故选A.
4．（ ）
A．10 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
.
故选C.
5．若a b c都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，，都是正数，故可设，
，，，则，，.
，，即，去分母整理得，.
所以ABC不正确，D正确，故选D.
6．北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题设，，则.故选C
7．已知函数满足对任意实数，都有，若，则（ ）
A．2017 B．2018 C． D．
【答案】C
【解析】由，当时，，即，
所以，即，
解得，故选C.
8．如果在实数运算中定义新运算“”：．那么对于任意实数a、b、c，以下结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A中，，，得，所以A一定成立；
B中，当时，，而，所以B不一定成立；
C中，，，所以C一定成立；
D中，，
，所以D一定成立．
故选B.
9．已知函数的表达式为．若且，则的取值范围为（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】D
【解析】因为，所以，故或．
若，则（舍去）；
若，则，
又，所以，
因此（等号当且仅当，即时成立），
即的取值范围是．故选D．
二、多选题
10．下列指数式与对数式的互化中正确是（ ）
A．100＝1与lg1＝0 B．＝与log27＝－3
C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5
【答案】ACD
【解析】B选项中，＝ log27＝－.故选ACD.
11．设都是正数，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】设，则，，，
，即，C正确；
所以，A正确，B错误；
，，
，即，D错．
故选AC．
12．历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数，常用对数曾经在化简计算上为人们做过重大贡献，而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对数的运算，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由对数运算规律可知，，所以A正确；
，所以B正确；
，所以C错误；
，所以D正确.
故选ABD.
13．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，则，当且仅当，时，等号成立．
对于B，变形得，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B错误．
对于C，因为，所以，即，则．
对于D，由可得，，，当且仅当，即，时等号成立．
故选ACD．
14．若存在非零常数，使得对于定义域的任意实数都成立，则称是“的相关函数”，则下列结论中正确的有（ ）
A．是“的相关函数” B．是“的相关函数”
C．若（为常数）是“的相关函数”，则 D．是“的相关函数”
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，，所以，所以函数是“的相关函数”，所以A正确；
对于B，因为，所以，，所以，所以函数不是“的相关函数”，所以B错误；
对于C，当时，则，，所以C正确；
对于D，当时，，，所以 ，所以不是“的相关函数”，所以D错误，
故选AC.
15．下列各式正确的是（ ）
A．设，则 B．已知，则
C．若，，则 D．
【答案】ABC
【解析】对于A，，故A对
对于B，，故B对
对于C，，，，故C对
对于D，，故D错
故选ABC.
三、填空题
16．计算：_______.
【答案】2
【解析】由对数的基本运算得，故答案为：.
17．已知，则___________.（用表示）
【答案】
【解析】由，，则，即
所以
故答案为：.
18．若，则___________，若，则___________.
【答案】6 1
【解析】因为，所以，
又，所以
所以.
故答案为：6；1.
19．已知函数则__________；若，则实数的值为__________．
【答案】 1或
【解析】因为，所以；
当时，由，得，满足，
当时，由，得，满足．
故实数的值为1或．故答案为：，1或.
四、解答题
20．计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式＝＝＝19；
（2）原式＝＝＝．
21．已知，，
（1）当，求的值：
（2）当时，用表示.
【解析】（1），，，解得：，
，解得：（舍）或；
即.
（2）当时，，，，，
.
22．给出问题：已知，求的值，有同学给出如下解答：
由
∴即
所以或
该同学解答过程是否正确？若不正确，试举例说明，并予以更正．
【解析】举反例：当时，，且满足，
但，无意义，即已知等式不成立；
正确解答如下：
由条件得 ，则 ，
解得，即.
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专题15 对数
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．若a＞0且a≠1，则“MN＞0”是“"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（ ）
A．10 B．2 C．5 D．6
5．若a b c都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
6．北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数满足对任意实数，都有，若，则（ ）
A．2017 B．2018 C． D．
8．如果在实数运算中定义新运算“”：．那么对于任意实数a、b、c，以下结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数的表达式为．若且，则的取值范围为（ ）
A．； B．；
C．； D．．
二、多选题
10．下列指数式与对数式的互化中正确是（ ）
A．100＝1与lg1＝0 B．＝与log27＝－3
C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5
11．设都是正数，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
12．历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数，常用对数曾经在化简计算上为人们做过重大贡献，而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对数的运算，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
14．若存在非零常数，使得对于定义域的任意实数都成立，则称是“的相关函数”，则下列结论中正确的有（ ）
A．是“的相关函数” B．是“的相关函数”
C．若（为常数）是“的相关函数”，则 D．是“的相关函数”
15．下列各式正确的是（ ）
A．设，则 B．已知，则
C．若，，则 D．
三、填空题
16．计算：_______.
17．已知，则___________.（用表示）
18．若，则___________，若，则___________.
19．已知函数则__________；若，则实数的值为__________．
四、解答题
20．计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
21．已知，，
（1）当，求的值：
（2）当时，用表示.
22．给出问题：已知，求的值，有同学给出如下解答：
由
∴即
所以或
该同学解答过程是否正确？若不正确，试举例说明，并予以更正．
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