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第二章 第一节 椭圆 综合培优卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是
A． B． C． D．
2．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
4．过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，椭圆的离心率，左焦点为，，，分别为左顶点、上顶点和下顶点，直线与交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（ ）
A． B． C．5 D．
7．椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
8．已知、是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，，且，则与的面积之比为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．a1+c1=a2+c2 B．a1-c1=a2-c2 C． D．
10．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（ ）
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
11．（多选）椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．，满足的点P有两个
B．，满足的点P有四个
C．的面积的最大值
D．的周长小于
12．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则
A． B． C．D．
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率，则椭圆的方程为______．
14．若分别过椭圆的左、右焦点，，所作的两条互相垂直的直线，的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是______．
15．已知椭圆，是坐标平面内的两点，且与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则__________.
16．设直线:与椭圆相交于两点，与轴相交于左焦点，且，则椭圆的离心率_________
四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．根据下列条件，求椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的两倍，且过点；
（2）x轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是．
18．已知椭圆C：过点，为椭圆的左右顶点，且直线的斜率的乘积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线于点P，交直线于点Q，求的最小值.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为的直线过，且与椭圆的交点为，，与轴的交点为，为线段的中点．若，求椭圆的离心率的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦点在轴上．
（1）求实数的取值范围．
（2）设椭圆的焦点为，，是椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一交点为．
①求椭圆的方程；
②求线段的长．
21．某海面上有，两个观测点，点在点正东方向处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点）洄游的路线是以，为焦点的椭圆．现有渔船发现该鱼群在与点，点距离之和为处．在点，，所在的平面内，以，所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求椭圆的方程；
（2）某日，研究人员在，两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），，两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群的位置（即点的坐标）．
22．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点，若为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】设，圆心为，
则，
当时，取到最大值，∴最大值为．
故选：D.
2．C
【解析】在椭圆的长轴端点处向圆引两条切线，，
若椭圆上存在点，使过的两条切线互相垂直，则只需，即，
∴，得，
∴，又，
∴，即．
故选：C
3．D
【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
由消去y得：，设，
由椭圆对称性，不妨令，焦点，
△ABF的面积，当且仅当时取“=”，
所以△ABF面积的最大值为12.
故选：D
4．A
【解析】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由消去x并整理得：，
设直线l与椭圆交于点，则有，
则有
，当且仅当时取“=”，
于是，当，即直线l垂直于x轴时，，
所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.
故选：A
5．A
【解析】，，．
由题图可知，，
，，
．
故选：A．
6．A
【解析】由题意，知，，
所以．
故选：A
7．C
【解析】解：设P（x，y），由椭圆方程得椭圆焦点坐标为为F1（﹣，0），F2（，0），
且∠F1PF2是钝角 （x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20
x2+5+y2＜10 x2+4（1﹣）＜5 x2＜．所以．
故选：C．
8．D
【解析】可设，则，，则，
由椭圆的定义可得，，则，
则，即，
即有，解得，
则与的面积之比为.
故选：D.
9．BD
【解析】依题意，椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ有共同的一个顶点P和一个焦点F，则它们的中心都在直线PF上，而椭圆轨道Ⅱ在椭圆轨道Ⅰ内，
于是可得a1>a2，c1>c2，即a1+c1>a2+c2，A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|=a1-c1，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|=a2-c2，则有a1-c1=a2-c2，B正确；
由a1-c1=a2-c2得a1+c2=a2+c1，则，，即，
令，，其中分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长，并且有，
于是有，即，，则，C错误，D正确.
故选：BD
10．BC
【解析】由椭圆方程知：，故焦距为，故A错误；C的离心率，故B正确；
由圆D的方程知：圆心，半径为，而且椭圆上的点到D的距离为，故圆D在C的内部，故C正确；
设，则，而，又，可知，故，故D错误.
故选：BC
11．ACD
【解析】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知.
选项A中，，，正确；
选项B中，，不存在90°的，错误；
选项C中，面积，正确；
选项D中，周长，正确.
故选：ACD
12．ABD
【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 ，（*）
，故A正确；
，故B正确；
（*）两式相加，可得，故C不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故D正确.
故选ABD
13．
【解析】由，得，
化简得．又，所以，所以，
所以椭圆的方程为．
故答案为：．
14．
【解析】设两直线的交点为，，，坐标原点为O，
由椭圆的定义，可得，
，
∴，
由均值不等式可得，，
即，当且仅当时，等号成立，
从而，又，∴．
故答案为：.
15．12
【解析】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，，
如图，连接，，
是的中点，是的中点，
是的中位线；
，同理；
，
在椭圆上，
根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：
，．
故答案为：
16．
【解析】设，
将直线:代入椭圆方程，消去x化简得，
所以，
又，所以，
所以，，
所以，化简得，
又直线:过椭圆的左焦点，
所以，所以，
所以或（舍去），
所以，椭圆离心率.
故答案为：.
17．(1)或；(2).
【解析】(1)设椭圆的标准方程为，因椭圆过点，则，
当椭圆焦点在x轴上时，，解得，此时椭圆方程为，
当椭圆焦点在y轴上时，，解得，此时椭圆方程为，
所以，椭圆的标准方程为或；
(2)设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
因x轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，由椭圆对称知椭圆的一个焦点与短轴两个端点围成以短轴为底边的等腰直角三角形，
于是得，b=c，而，则，
又焦点与长轴较近的端点距离是，则有，即，解得，因此，，
所以所求椭圆的标准方程为.
18．（1）；（2）.
【解析】(1)依题意，，则，解得，
又，于是得，
所以椭圆C的方程为；
(2)由(1)可得，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，
设点，
由消去y并整理得，
则，
于是得，
显然点P的坐标有：，，
而直线PQ方程为：y-yP=-m(x-xP)，
则，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以的得最小值.
19．.
【解析】设直线的方程为，
则，．
因为B在椭圆上，所以，即，
变形得
所以，
所以，又，解得．
，
故椭圆的离心率的取值范围为．
20．（1）；（2）①；②．
【解析】（1）由椭圆的定义可得解得，
所以实数的取值范围为．
（2）①由已知可得，则，
又，
所以，
所以椭圆的方程为．
②由①已知，则，
所以直线的方程为，与椭圆的方程联立，消去可得，
解得或，
所以点的坐标为，
所以．
21．（1）；（2）或．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
由，，则，，，
∴椭圆的方程为．
（2）易知，，由，，
∴，．
设，则，解得，
∴点的坐标为或．
22．．
【解析】设椭圆的标准方程为，．
由题意，得，，，
则，．
因为为向量与的夹角，且为钝角，
所以，所以．
又，所以，
即，解得或，
因为，所以，
即该椭圆的离心率的取值范围为．

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