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勾股定理（第一课时）课堂小测
一、填空：
1、如图，在下列横线上填上适当的值：
2、求出下列各图中阴影部分的面积（单位：cm2）．
图（１）阴影部分的面积为＿＿＿＿；　　　图（２）阴影部分的面积为＿＿＿＿；
图（３）阴影部分的面积为＿＿＿＿；
3、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为＿＿＿＿＿＿．
二、选择题：
1、如图,在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=1O,
则高AD的长为（ ）
A. 10 B. 5 C.12 D.
2、在Rt△ABC中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）
A、5、4、3、； B、13、12、5； C、10、8、6； D、26、24、10
3、 在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
（A）a2+b2=c2 （B）b2+c2=a2 （C）a2-b2=c2 （D）a2-c2=b2
B
D
C
A
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第１８章《勾股定理》单元复习资料
姓名： 班别：
一、基础知识：
1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别是a、b、斜边长为c，那么。
例1：（09~10）5．已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 ．
例2：（08~09）如图，以Rt△ABC的三边为边向外
作正方形，其面积分别为，且，
，则__________．
例3：直角三角形的两直角边长分别为5、12，则斜边上的高为 ．
例4：（08~09）如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长2.5米，顶端在上运动，量得滑杆下端距点的距离为1.5米，当端点向右移动0.5米时，求滑杆顶端下滑了多少米？
例5：（09~10）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知，求的长．
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别是a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。
例1：（09~10）由线段a、b、c不能组成直角三角形的是 （ ）
A． B．
C． D．
例2（08~09）如图，在由边长都等于1的正方形组成的方格图中，有四条线段，找出能构成一个直角三角形三边的3条线段并说明理由．
3、命题：对事情作出判定的语句叫做命题。
定理：通过证明被确认正确的命题叫做定理。
原命题和逆命题：命题①和命题②的题设、结论正好相反。我们把这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
原定理和逆定理：定理①和定理②的题设、结论正好相反。我们把这样的两个定理叫做互逆定理。如果把其中一个叫做定理，那么另一个叫做它的定理。
二、基础练习：
（一）、选择
1、以下列各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A、5，12，13 B、6， 8, 10
C、n2－1，2n，n2＋1（n为大于1的整数） D、4， 5， 6
2、以下说法不正确的是（ ）
A、若一个三角形三边长度比是3：4：5，则这个三角形一定是直角三角形
B、有一个内角等于另外两个内角之和的三角形是直角三角形
C、若一个三角形三边a、b、c满足c2－a2＝b2，则这个三角形一定是直角三角形
D、有一个三角形，它的两条边为3和4，则它的第三边一定是5
3、三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )
A.6 B.4.5 C.2.4 D.8
4、已知直角三角形斜边c和直角边a是两个连续整数，则另一条直角边的平方等于（ ）
A、ac B、 C、c－a D、c＋a
（二）、填空
5、△ABC中，∠C＝90°，若a＝6，b＝8，则c＝ ；斜边上的高为: 。
6、测得一块三角形麦田三边长分别为9m，12m，15m，则这块麦田的面积为 m2。
7、边长为2的等边三角形的面积是 。
8、两边长分别为3、4的直角三角形的第三边长为 。
9、如图，以直角三角形三边为直径的三个半圆面积A、B、C之间有怎样的
关系： 。
10、如图，长方体长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，则BD1＝ cm。
11、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
则EB的长是 ．
第9题图 第10题图 第11题图
三、提高训练
12、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
13、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=2cm．求AC的长．
14、如图∠B=90 ，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cm求四边形ABCD的面积．
15、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
16、已知：如图正方形ABCD，E是BC的中点，F在AB上，且BF＝，猜想EF与DE的位置关系，并说明理由．
BE
CE
EE
A
DE
D
B
A
C
A
D
E
B
C
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勾股定理（第一课时）教学设计
沙栏中学 万锋
【教学目标】
　 一、知识目标
　　 1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程.
2.掌握直角三角形中的三边关系，能利用已知两边求直角三角形另一边。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
　 二、数学思考
在勾股定理的探索过程中,发现合理推理过程.体会数形结合的思想.
三、解决问题
1．通过探究勾股定理（正方形方格中）的过程，体验数学思维的严谨性。
2．在探究活动中，学会与人合作与他人交流思维的过程和探究的结果。
　 四、情感态度目标
1．学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。
【重点难点】
　　重点：探索直角三角形的三边关系，掌握勾股定理。
　　难点：勾股定理的证明、灵活运用勾股定理。
【设计思路】
　 本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无处不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。
【教学流程安排】
环节一：了解历史，探索勾股定理
环节二：拼图验证并证明勾股定理
环节三：例题讲解，巩固练习。
环节四：反思小结，布置作业。
环节五：课后探究。
【教学过程设计】
【环节一】了解历史，探索勾股定理
1、你听说过“勾股定理”吗？
（1）据说最早在大禹治水是发现，但无历史资料可考证。
（2）勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理
（3）我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三，股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。其中最出名的是赵爽弦图。
2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。
（1）现在请你一观察一下，你能发现什么？
（2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？
(3) 学生探究勾股定理，
设计意图
①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。
②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。
③鼓励学生用语免得数学活动的困难，尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方法。并通过方法的反思，获得解决问题的经验。
需要注意问题：
1 学生能否将实际问题（地砖图形在三个正方形围成的一个直角三角 形）转化成数学问题（探索直角三角形的特性三边关系）。
2 给学生足够的时间去思考和交流，鼓励叙述大胆说自己的看法。
3 学生能否准确挖掘图形中的隐含条件，理解各个正方形的面积。
4 是否能用不同的方法（先补全在分割、数格子的个数、拼图等等）， 引 导学生正确地得出结论。
5 学生能否主动参与探究活动，在探究中发表意见，与他人合作的意识。
【环节二】拼图验证并证明勾股定理
1、以直角三角形的两直角边a,b拼一个正方形，你能拼出来吗？请动手试一试。
2、它们的面积分别怎样来表示，这个大正方形的面积与原来的直角三角形有什么关系呢？
图1 图2
3、教师通过（课件演示拼接动画）图1生共同来完成勾股定理的数学验证。
得出结论：（详细证明过程见课件）
勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2=c2
设计意图
通过探究活动，调动学生的积极性，激发学生的探求新知的欲望。给学生充分的时间与空间讨论、交流、推理、发现，鼓励学生发表自己的见解，感受合作的重要性。同时培养学生的操作能力，为以后探究图形的性质积累了经验。
需要注意问题：
1 学生对拼图的积极性。是否感兴趣；
2 学生能否通过拼图活动获得数学论；是否能通过合理的分割。
3 学生能否通过已有的数学经验来严重发现结论的正确性。
4 学生能否用自己的语言正确的表达自己的观点。
【环节三】活动三：例题讲解，巩固练习。
巩固练习
1.在△ABC中, ∠C=90°，a=3,b=4, 则c=＿＿＿＿
2.在△ABC中, a=3,b=4,试求第三边c的值
3.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4,则第三边的长为________
设计意图
使学生正确地理解勾股定理，并能用它来解决实际问题。
需要注意问题：
1 学生能否通过勾股定理来解决实际问题
2 学生是否能通过图形来活动数学问题（数形结合思想）
3 学生的表达、语言是否规范
4 引导有差异的学生，能让这部分的学生基本上能理解勾股定理的实质（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）
【环节四】活动四：反思小结，布置作业
1、 通过本节课你学到哪些知识？有什么体会？
2、布置作业
① 通过上网收集有关勾股定理的资料，以及证明方法。
2 学习辅导32——34页
设计意图
通过回忆本节课的所学内容，从知识、技能、数学思考等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识.
需要注意问题：
①鼓励学生认真总结，不要流于形式.
②不同的学生对学习过程的反思，对知识的理解程度，有针对性的给予指导.
【环节五】活动五：课后探究
生活中的数学问题
一个门框的尺寸如图所示，一块长３m，宽２.２m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
C
B
A
C
B
A
图2
A
C
B
(4)
(3)
(2)
(1)
例1、求出下列直角三角形中未知边的长度
6
8
x
解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
X2 =36+64
x2 =100
x2=62+82
∴ x=10
∵x>0
x2=132-52
x2=144
∴ x=12
（2）在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2=BC2-AC2
∵x>0
A
C
B
5
x
13
A
C
B
Ｄ　　　Ｃ
A B
Ａ　　　Ｂ
2m
1m
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教学方法和模式介绍
一、注重让学生体验勾股定理的探索和运用过程。
1、从传说故事讲起，激发学生学习的兴趣。
2、通过动手操作，引导学生猜想直角三角形的三边关系，进而得出勾股定理。
3、用勾股定理探究实际问题①木板进门问题，②梯子滑动问题，③在数轴上画无理数问题。让学生体会到学勾股定理的现实意义。
二、结合具体例子介绍抽象概念。
1、从古埃及人画直角的方法，猜想满足a2+b2=c2是否为直角三角形，进入勾股定理逆定理的学习。
2、结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍逆命题和逆定理的内容。
三、注重介绍数学文化。
1、介绍勾股定理的发展历程。
2、介绍我国古代的有关研究成果，例如介绍赵爽弦图。
3、注意展现与勾股定理有关的背景知识，感受勾股定理的丰富文化内涵，，激发学生的学习兴趣。
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《勾股定理》教材分析与教学安排
一、教材分析
（一）、教材的地位与作用：
1、学生学习了 “直角三角形两个锐角互余”，“直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半”之后，学习勾股定理。这是直角三角形非常重要的性质。
2、勾股定理的应用是直角三角形性质的拓展，它与实数，二次根式，方程知识联系，将来学习四边形，圆，一元二次方程后，它的应用范围更大。勾股定理也是后续学习“解直角三角形”的基础。
3、勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，这个方法通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，渗透了数形结合这一重要的数学思想。
（二）、本章知识结构：
（三）、课程学习目标
1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题。
2、会运用勾股定理的逆定理判断直角三角形。
3、通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
4、领悟数学思想（分类讨论、 整体思想、 数形结合思想）
二、教学安排
本章教学实间约需9课时
1、勾股定理 3课时
2、勾股定理的逆定理 2课时
3、勾股定理的综合运用 1课时
4、勾股定理复习 1课时
5、勾股定理水平检测 1课时
6、勾股定理试卷讲评 1课时
勾股定理的逆定理
实际问题
(判定直角三角形)
勾股定理
实际问题
（直角三角形边长计算）
互逆定理
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八年级数学第十八章《勾股定理》单元测试题
班级 姓名 成绩
一、选择题（每小题3分，共24分）
1、若Rt△ABC中，且c=13,a=12，则b=（ ）
A、3 B、5 C、8 D、11
2、下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（　　）
A、a=2，b=3, c=4 B、a=7, b=24, c=25
C、a=6, b=8, c=10 D、a=3, b=4, c=5
3、 如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是( )
A. a2 + b2=c2 B. ab=c
C. a+b=c D. a+ b=c2
4、小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸（屏幕的对角线长度为电视机的尺寸）最有可能是( )　　　　　　　　　　　
A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米)
C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)
5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A、 B、3 C、 D、
6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
7、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，
AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，
折痕为EF，则△ABE的面积为（ 　）
A、4cm2 B、6cm2
C、8cm2 D、12cm2
8、若△ABC中，，高AD=12,则BC的长为（ ）
A、14 B、4 C、14或4 D、以上都不对
二、填空题（每小题3分，共21分）
1、若一个三角形的三边满足，则这个三角形是 。
2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线
为100cm，则这个桌面 。（填“合格”或“不合格” ）
3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。
4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是
正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大的正方形的边长为5，则正方
形A，B，C，D的面积的和为 。
5、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,
顶点D恰好落在BC边上F处,已知
CE=3,AB=8,则BF=___________。
6、一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的
长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么
它所行的最短路线的长是____________cm。
7、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，
则筷子露在杯子外面的最短长度为________________。
三、解答题（共55分）
1、（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， BC=6，AC=8，
求AB、CD的长
2、（9分）如图计算直角三角形中未知边的长。
3、（9分）如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？
4、（9分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
5、（9分）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知，求的长．
6、（9分）已知如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，AB=3，CB=12，CD=13，求这个四边形的面积
附加题、（10分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
第7题图
C
D
F
E
B
A
c
a
b
A
B
C
D
E
F
A
B
第6题
C
A
B
D
E
10
15
A
E
C
D
B
D
B
A
C
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勾股定理（第一课时）课堂实录
沙栏中学 万锋
师：各位同学，今天老师将跟大家一起进入第十八章的学习——勾股定理。首先让我们了解一下，勾跟股分别指什么？在我国的古代，通常把直角三角形中较短的那条直角边叫做勾，较长的那条直角边叫做股，斜边叫做弦。现在，大家应该大概知道勾股定理研究什么了。
生：观看幻灯片演示勾、股、弦。
师：接下来，让我们一起来了解一下我们本节课的学习目标、学习重点和学习难点（教师做适当的解释）。
生：看幻灯片投影。
师：在进入新课之前，首先来了解一下勾股定理的发展历程①据说勾股定理最早在大禹治水被发现，距今已经有4000多年，但并没有详细记载。②有历史记载第一个发现勾股定理的人是周朝的商高，距今3100多年，记载于《周髀算经》，因此又叫做商高定理。③第一个对勾股定理做出严格证明的是古希腊的毕达哥拉斯，距今2500多年，因此叫做毕达哥拉斯定理又叫百牛定理，为什么叫做百牛定理呢？据说当年毕达哥拉斯证明出勾股定理之后非常高兴，命令他的仆人杀了一百头牛庆祝，因此叫做百牛定理。④而我国最早对勾股定理进行证明的人是赵爽，是汉代末的数学家，距今1700多年。赵爽有一个非常出名的图叫“赵爽弦图”，等一下在新课的过程中，我们也将对它进行深入的研究。接下来我们就从毕达哥拉斯参加朋友的一次宴会进入我们本节课的研究。
生：观看幻灯片中勾股定理发展的结构图。
师：相传在2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的地砖铺地非常漂亮（幻灯片出示图），其中反映了直角三角形三边的某种数量关系，他发现了之后欣喜若狂，连饭也没有吃就跑回家去验证他的发现了。让我们一起来观察一下图中的地板，看看是什么发现能让毕达哥拉斯如此高兴。
生：学生认真观察图。
师：发现什么了吗？
生：大部分学生摇头。
师：来，老师给你一点提示（教师圈出其中的三个正方形，并分别命名为A、B、C），请认真观察这三个正方形的面积有什么关系？
生：A的面积+B的面积=C的面积。
师：为什么它们的面积相等？
生：这里的三角形面积全部相等，A有两个三角形，B有两个三角形，C有四个三角形。
师：可是，毕达哥拉斯发现的是直角三角形三条边的关系，那么，直角三角形的三条边有什么关系呢？
生：观察A、B、C三个图。
师：A、B、C三个图中间夹着一个什么图形？
生：等腰直角三角形。
师：对，这是一个非常特殊的等腰直角三角形。那这三条边有什么关系？
生：思考。
师：图形A是什么图形？
生：正方形。
师：它的面积与它的边长有什么关系？
生：正方形的面积等于边长的平方。
师：所以，这条边的平方等于……？（教师指着其中一条直角边）
生：A。
师：这条边的平方呢？
生：B。
师：这条呢？
生：C。
师：你现在发现了什么？
生：学生发现了规律，但不敢肯定，只是低声回答。
师：两条直角边的……？
生：平方和等于斜边的平方。
师：教师对着直角三角形做相应的解释。
生：学生认真观察领悟。
师：刚才我们是在非常特殊的等腰直角三角形里面发现了：两条直角边的平方和等于斜边的平方。那么对于普通的直角三角形会不会也有一样的性质呢
生：有。
师：教师在网格里出示普通直角三角形ABC，并于直角三角形的边为边长向外做正方形。命名为Q、P、R。
生：认真观察领悟。
师：P的面积=？
生：P的面积=9=BC2
师：Q的面积=？
生：Q的面积=16=AC2
师：R的面积=？
生：25
师：25没错，但问题是这25是怎样算出来的？我们并不知道它的边长是多少。
生：学生思考。
师：计算这种图形的面积，我们在初一的时候学过，想一想，我们当时是怎样解决的？
生：构建三角形或四边形。
师：动画演示构建四边形，该四边形是什么形？
生：正方形。
师：边长是？
生：7
师：那它的面积是……
生：49
师：那这个R的面积应该等于49减去……
生：四个黑色的面积。
师：这四个黑色的面积有什么关系？
生：全等。
师：那我们只需要求其中的一个，怎么求？
生：3×4÷2=6
师：那四个的面积总共为……
生：24
师：那R的面积=49-24=……
生：25
师：教师简单归纳刚才求R面积的方法。其实求R的面积我们还可以这样来求。出示动画。
生：学生观看动画切分（赵爽弦图）
师：这里总共分成了几个三角形？
生：4个
师：这四个三角形什么关系？
生：全等。
师：中间的一个是什么形？
生：正方形。
师：这个三角形的面积=……
生：4×3÷2=12
师：四个加起来等于……
生：24
师：中间的这个面积=……
生：1。
师：所以R的面积等于……
生：25
师：现在请大家认真想想P、Q、R的面积关系是……
生：P的面积+Q的面积=R的面积
师：P的面积等于谁的平方
生：BC2
师：Q的面积等于谁的平方
生：AC2
师：R的面积等于谁的平方
生：AB2
师：因此我们可以得到什么？
生：BC2 +AC2 =AB2
师：教师将辅助正方形去掉，再次确认三角形的三边关系。
生：学生观察确认。
师：现在请大家拿出老师预先发给你的直角三角形学案，动手画画，看看是否任意的直角三角形都有这样的三边关系。
生：学生拿出直角三角形学案，动手画图确认。
师：做完后，请把你的答案与你周围的同学交流一下。
生：学生在同学之间交流答案。
师：好，接下来我们简单核对一下答案。
生：做准备。
师：A的面积等于多少？
生：4
师：B的面积等于多少？
生：9
师：C的面积等于多少？
生：13
师：A的面积+B的面积刚好等于……
生：C的面积。
师：A、B、C的面积关系是什么？
生：SA+SB=SC
师：直角三角形三条边的关系是什么？
生：两条直角边的平方和等于斜边的平方。
师：教师再次归纳巩固刚才的发现。
生：学生领悟。
师：如果我告诉你有一个直角三角形，它的两条直角边分别为a、b，斜边为c,那么你会想到什么？
生：a2+b2=c2
师：没错，确实a2+b2=c2 ，现在关键的问题是为什么a2+b2=c2？或者说你能证明到a2+b2=c2吗？
生：能
师：可能有些同学就有疑问了，为什么还要证明？刚才我们不是试了几个三角形都是正确的了吗？
生：生思考
师：试了几个，并不能代表全部，而且刚才我们试的几个都是整数，如果它的边是小数或者分数呢？这个关系还成立吗 因此我们要对这个猜测进行证明。
生：学生领悟为什么要进行证明。
师：说到勾股定理的证明，它的历史非常悠久，几千年来，人们对勾股定理的证明非常感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的证明，因此不断涌现新的证法。据不完全统计，到目前为止勾股定理共有500多种证明的方法，仅在《毕达哥拉斯命题》一书中就提到367种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
生：学生听领悟。
师：如此多的证明方法，我们不可能一一考究。那我们就来看一下我国的数学家赵爽是如何对勾股定理进行证明的。(教师出示赵爽弦图)
生：学生观察。
师：教师演示赵爽弦图的构成。
生：学生观察赵爽弦图的构成过程。
师：整个大正方形的面积是多少？
生：c2
师：中间这个红色的正方形面积如何表示？
生：（a-b）2
师：中间这个红色的正方形面积除了用刚才（a-b）2表示还可以怎样表示？
生：
师：那么也就是说（a-b）2与是什么关系？
生：相等
师：那我们可以得到（a-b）2=。
生：学生领悟。
师：（a-b）2展开得到什么？
生：a2+b2－2ab
师：展开得到什么？
生：c2－2ab
师：因此我们可以得到a2+b2－2ab = c2－2ab，这个式子左右两边都有什么？
生：－2ab
师：因此，我们可以将它约去。得到什么？
生：a2+b2= c2
师：因此我们证明到a2+b2= c2是正确的。这就是我国数学家赵爽发明的证明方法，叫做赵爽弦图证法。
生：学生领悟。
师：其实我们只要将这个图稍微变一下，又可以变出另外一种证明方法。（教师演示图）
生：学生观察演示，并回答相关问题。
师：刚才我们又通过了另外一种方法，再次证明了直角三角形的三边关系的正确性。
生：学生领悟。
师：因此我们可以得到勾股定理。
生：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2。
师：该定理在我们课本65页，请将它画一下。
生：学生标记。
师：各位同学我们最常使用a2 + b2 = c2，但有时候我们也会用到其他形式，请问a2等于什么？
生：a2 = c2- b2
师：b2等于什么？
生：b2 = c2- a2
师：a等于什么？
生：
师：那b呢？
生：
师：c又等于什么？
生：
师：请将你觉得重要的东西记在课本65勾股定理旁边。
生：学生做笔记。
师：勾股定理我们已经证明完了，接下来老师要考考你的掌握程度。请看即时小练。
生：简单口算。
师：A等于多少？
生：23
师：B等于多少？
生1：74
生2：24
师：同意24吗
生：同意
师：那你知道第1位同学为什么做错吗？
生：他只是将它简单相加。
师：我们做题的时候应该注意什么？
生：一定要看清楚哪一条是斜边。
师：非常不错，我们做题的时候一定要看清楚哪一条是斜边，而不能是简单的相加。
生：生领悟。
师：教师出示即时小练2。
生：完成练习。
师：教师叫学生回答问题。
生：回答。
师：教师出示即时小练3。本题较难，遇到问题可以与周围的同学合作完成。
生：生讨论完成。
师：最后答案是多少？
生：49
师：针对题中难点与学生互动解答。
师：好，接下来我们来看一下例题1：求出下列直角三角形中未知边的长度。
生：学生思考解答。
师：你觉得答案是多少？
生：10
师：对了，应该是而不是，在解答过程中我们要注意书写的格式，应先说在哪个Rt△中,由勾股定理得，然后才是详细的解答过程。
生：学生领悟。
师：针对老师刚才提的注意问题，马上完成第二个问题。
生：生完成练习。
师：本节课我们先大概了解一下解题的格式及注意问题，到下一节课再深入进行学习。
生：聆听。
师：下面我们来做一些巩固练习，检验一下我们本节课的掌握程度。（幻灯片出示巩固练习）
生：学生完成练习。
师：巡视课堂，针对学生在解答过程中出现的错误，对三角形的边的知识进行补充。
生： 听讲做笔记。
师：第1题答案是多少？
生：5
师：没错，我们来看看第2题，同第1题一样a也是等于3,b等于4,那么c等于什么？
生：个别学生说5，大部分学生反对。
师：为什么同样是3和4，c却不是5？
生：因为题目中没有说直角三角形。
师：对了，使用勾股定理的前提条件是直角三角形。
生：生领悟。
师：那c的值应该是什么？
生：一个取值范围。
师：根据什么？
生：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
师：因此我们可以的到c的值是多少？
生：1师：非常不错，我们再来看一下第三题，告诉你直角三角形, 两边长分别为3、
4，则第三边的长为多少？
生：5
师：没错，但是第1题与第3题题目相差无几，为什么第1题只有一个答案5而第3题却有2个答案5？
生：因为它没有告诉你直角在哪里。
师：对，也就是它并没有告诉我们这两条边是直角边还是斜边，因此都有可能。（教师在黑板详细讲解解答过程）
生：认真听讲。
师：我们本节课的新课就学到这里，在结束新课之前我们简单做一个小结，本节课我们主要学了以下内容：①勾股定理，勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.②勾股定理是指：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。即a2+b2 =c2③勾股定理的主要作用是:在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。这是我们下一节课要学习的重点内容。
生：配合回顾所学知识。
师：最后，我们本节课的作业是：学习辅导32——34页
生：记录。
师：本节课到此结束，下课。
生：起立，谢谢老师！
师：鞠躬回礼。
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21世纪教育网精品教学课件
沙栏中学 万锋
勾股定理
勾
股
弦
学习目标
1、探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理。
2、运用勾股定理，解决简单的实际问题。
学习重点
探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理。
学习难点
勾股定理的证明
勾股定理
商高
(周朝，距今3100多年)
记载于《周髀算经》
大禹
毕达哥拉斯
(古希腊，距今2500多年)
毕达哥拉斯定理
（百牛定理）
赵爽
(汉代末，距今1700多年)
赵爽弦图
（距今4000多年）
商高定理
第一个发现“勾股定理”的人
第一个严格证明“勾股定理”的人
我国最早证明“勾股定理”的人
治水发现（无记载）
毕达哥拉斯
(公元前572----前492年),
古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。
　　 相传在2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们一起来观察图中的地面，看看能发现什么。
A
B
C
正方形A、B、C的面积有什么关系？
A的面积+ B的面积= C的面积
SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？
Q
P
R
图1
如图:每个小方格的面积都为1，中间是以格点为顶点的直角三角形
A
B
C
问：
P的面积= .
Q的面积= .
R的面积= .
9 = BC2
16 = AC2
Q
P
R
图1
如图:每个小方格的面积都为1，中间是以格点为顶点的直角三角形
问：
P的面积= .
Q的面积= .
R的面积= .
16 = AC2
25 = AB2
9 = BC2
A
B
C
Q
P
R
图1
如图:每个小方格的面积都为1，中间是以格点为顶点的直角三角形
BC2+AC2=AB2
SP+SQ=SR
即：
问：
P的面积= .
Q的面积= .
R的面积= .
16 = AC2
25 = AB2
9 = BC2
∴P、Q、R的面积关系是：
A
B
C
A
B
C
A的面积 B的面积 C的面积
图2
图3
A、B、C面积关系
直角三角形三边关系
图2
图3
4
9
13
9
25
34
sA+sB=sC
两直角边的平方和
等于斜边的平方
A
B
C
试一试：你会求出图形的面积吗？
猜想：通过刚才的例子，你想到了什么？
如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,
a2+b2=c2
b
a
c
┏
几千年来，人们对勾股定理的证明非常感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的证明，因此不断涌现新的证法。据不完全统计，到目前为止勾股定理共有500多种证明的方法，仅在《毕达哥拉斯命题》一书中就提到367种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
(4)
(3)
(2)
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
c
c
c
c
(a-b)2
(a-b)2
c2－4×
ab
=
a2 + b2 = c2
可得：
a2+b2－2ab = c2－2ab
b
c
a
赵爽弦图证法
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
大正方形的面积该怎样表示
(a+b)2
=
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
可得: a2 + b2 = c2
证法二
(1)
(2)
(3)
(4)
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
a
b
c
a2=c2 - b2
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
结论变形
b2=c2 - a2
8
15
A
49
B
2５
1.求下列图中字母所代表的正方形的面积：
y=0
即时小练
23
24
y=0
即时小练
2、
4
6
10
3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和
S1
S2
解：∵ SE= 49
S1=SA+SB
S2=SC+SD
∴ SA+SB+SC+SD
= S1+S2 = SE = 49
即时小练
E
D
C
B
A
例1、求出下列直角三角形中未知边的长度
6
8
x
解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
X2 =36+64
x2 =100
x2=62+82
∴ x=10
∵x>0
x2=132-52
x2=144
∴ x=12
（2）在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2=BC2-AC2
∵x>0
A
C
B
5
x
13
A
C
B
1.在△ABC中, ∠C=90°，a=3,b=4,
则c=＿＿＿＿
2.在△ABC中, a=3,b=4,试求第三边c的值
5
y=0
巩固练习
3.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、
4,则第三边的长为________
5
11、 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示
了直角三角形三边之间的数量关系.
2、勾股定理： 直角三角形两直角边 的平方和，
等于斜边的平方。
a2+b2 =c2
3、勾股定理的主要作用是:在直角三角形中,已
知任意两边求第三边的长。
活页练习39页
作 业：
学习辅导：32——34页
生活中的数学问题
一个门框的尺寸如图所示，一块长３m，宽２.２m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
Ｄ　　　Ｃ
Ａ　　　Ｂ
2m
1m
y=0
探究1
Ｄ　　　Ｃ
Ａ　　　Ｂ
2m
1m
y=0
分析
连结AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理：
因此，
因为AC大于木板的宽，
所以木板能从门框内通过。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
勾股定理（第一课时）课堂练习配套练习
即时小练
1.求下列图中字母所代表的正方形的面积： 2、
3、如图，所有的四边形都是正方形，
所有的三角形都是直角三角形，其
中最大的正方形E的边长为7cm，
求正方形A，B，C，D的面积的和
巩固练习
1.在△ABC中, ∠C=90°，a=3,b=4, 则c=＿＿＿＿
2.在△ABC中, a=3,b=4,试求第三边c的值
3.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4,则第三边的长为________
图2
C
A
B
A的面积
C的面积
B的面积
试一试：你会求出图形的面积吗？
图3
图2
直角三角形三边关系
A、B、C面积关系
B
A
C
图3
8
15
A
49
2５
B
S1
S2
E
D
C
B
A
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勾股定理（第一课时）教学反思
沙栏中学 万锋
【教学反思】
一、教学的成功体验
《数学课程标准》明确指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖于模仿与记忆，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流，以促进学生自主、全面、可持续发展”.数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程.本节课我结合勾股定理的历史和毕答哥拉斯的发现直角三角形的特性自然地引入了课题，让学生亲身体验到数学知识来源于实践，从而激发学生的学习积极性.为学生提供了大量的操作、思考和交流的学习机会,通过 “观察“——“操作”——“交流”发现勾股定理。层层深入,逐步体会数学知识的产生、形成、发展与应用过程.通过引导学生在具体操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自己的见解，学生自主地发现问题、探索问题、获得结论的学习方式，有利于学生在活动中思考，在思考中活动.
二、信息技术与学科的整合
在信息社会，信息技术与课程的整合必将带来教育者的深刻变化.我充分地利用多媒体教学，为学生创设了生动、直观的现实情景，具有强列的吸引力，能激发学生的学习欲望.心理学专家研究表明:运动的图形比静止的图形更能引起学生的注意力.在传统教学中，用笔、尺和圆规在纸上或黑板上画出的图形都是静止图形，同时图形一旦画出就被固定下来，也就是失去了一般性，所以其中的数学规律也被掩盖了,呈现给学生的数学知识也只能停留在感性认识上.本节课我通过Flash动画演示结果和拼图程以及呈现教学内容。真正体现数学规律的应用价值.把呈现给学生的数学知识从感性认识提升到理性认识,实现一种质的飞跃
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