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3.3勾股定理的简单应用
一、单选题
1．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（ ）处．
A．5m B．7m C．7.5m D．8m
2．如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（　　）
A．8m B．9m C．10m D．12m
3．如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（　　）
A．8m B．10m C．12m D．15m
4．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A．17m B．18m C．25m D．26m
5．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深，葭长各几何.”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈=10尺.设芦苇长尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（ ）
A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm
8．如图1，一架梯子AB长为，斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙，若梯子的顶端A下滑了（如图2），则梯子的底端在水平方向上滑动的距离为（ ）
A． B．大于 C．介于和之间 D．介于和之间
9．如图，长方体的底面边长为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要(　　)
A．12 cm
B．11 cm
C．10 cm
D．9 cm
10．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为（　 ）
A． B．5 C．6 D．9
二、填空题
11．长是4米的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了______米
12.如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮船相距　 　海里．
13.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．
14.一根长15cm的铁丝，在不折弯的情况下，能否放入长12cm宽5cm高6cm的长方形盒内　　 　　.(填“能”或“不能”)
15.如图，一个直立的油桶高0.8米，在顶部的一个开口中将一根长1米的木杆斜着插入桶内，上端正好与桶面相平，抽出后看到杆上油浸到部分长0.8m，则油桶内油面的高度是 m.

三、解答题
16．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新建一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
17．如图，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？
18．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．
（1）求DE的长；
（2）求四边形ABDE的面积．
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．A
5．B
6．C
7．C
8．A
9．C
10．C
11．
12.答案为：17；
13.答案为：5m.
14.答案为：不能.
15.答案为：0.64;
16．解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路．
理由如下：
∵CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，
∴CB2＝CH2+HB2，
∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH为C点到AB的最短路线；
（2）设AC＝xkm，则AB＝xkm，AH＝（x﹣0.9）km，
在Rt△ACH中，（x﹣0.9）2+1.22＝x2，
解得x＝1.25，
即AC＝1.25km，
∵AC﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（km），
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
17．解：根据题意得：AC＝CD，∠ABD＝90°．
在直角三角形ABD中，
∵AB＝3000，AD＝5000，
∴BD＝＝4000（m），
设CD＝AC＝x米，BC＝4000﹣x（米），
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
即x2＝30002+（4000﹣x）2
解得：x＝3125，
答：该超市与车站D的距离是3125米．
18．解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，
∴m；
（2）如图，连接BE，
在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，
∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，
∵AB＝16m，AE＝2m，
∴AB2+AE2＝162+22＝260，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，
∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．
又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．
∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．

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