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《运动和力的关系》
“牛顿第二定律”章节考点归纳&典例示范
一、牛顿第二定律的表达式
1．牛顿第二定律：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2．表达式
(1)比例式形式：a∝或F∝ma。
(2)等式形式：F＝kma，式中k是比例系数，F是物体所受的合力。
3．表达式F＝ma中F指物体受到的力，实际物体所受的力往往不止一个，这时F指物体所受合力，该式中，F、m、a的单位都要用国际单位。
4．对牛顿第二定律的理解
(1)瞬时性：a与F同时产生、同时变化、同时消失，为瞬时对应关系。
物体在某时刻的瞬时加速度由该时刻所受的合力决定，当物体的受力发生变化时，其加速度同时发生变化。
这类问题常会遇到轻绳、轻杆、轻弹簧、橡皮条等模型。
全面准确地理解它们的特点，可帮助我们灵活正确地分析问题。
共同点：质量忽略不计，都因发生弹性形变产生弹力，内部弹力处处相等且与运动状态无关。
不同点
【特别注意】
分析物体在某时刻的瞬时加速度，关键是分析这一时刻物体的受力情况，明确哪些力不变，哪些力发生突变，再用牛顿第二定律求出瞬时加速度。
(2)因果性：力是使物体产生加速度的原因，物体加速度的大小跟它受到的作用力的大小成正比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
(3)同体性：公式F＝ma中a、F、m对应于同一物体。
(4)矢量性：F＝ma是矢量式，任一时刻a的方向均与力F的方向一致，当力F的方向变化时，a的方向同时变化。
(5)独立性：当物体同时受到几个力作用时，各个力都遵循牛顿第二定律F＝ma，每个力都会使物体产生一个加速度，这些加速度的矢量和即为物体具有的合加速度，故牛顿第二定律可表示为
【注意】
Fx、ax分别为x方向上物体受到的合力、x方向上物体的加速度；Fy、ay分别为y方向上物体受到的合力、y方向上物体的加速度。
(6)相对性：牛顿第二定律适用于相对地面静止或做匀速直线运动的参考系，对相对地面做变速运动的参考系不适用。
5．合力、加速度、速度的关系
(1)力与加速度为因果关系：力是因，加速度是果。只要物体所受的合力不为零，就会产生加速度。加速度方向与合力方向相同，大小与合力大小成正比。
(2)力与速度无因果关系：合力方向与速度方向可以相同，可以相反。合力方向与速度方向相同时，物体做加速运动，相反时物体做减速运动。
(3)两个加速度公式的区别
a＝是加速度的定义式，是用比值定义法定义物理量，a与v、Δv、Δt均无关；
a＝是加速度的决定式，加速度由物体受到的合力和物体的质量决定。
6．应用牛顿第二定律解题的一般步骤
(1)确定研究对象。
(2)进行受力分析和运动情况分析，画出受力分析图，明确运动性质和运动过程。
(3)求出合力或加速度。
(4)根据牛顿第二定律列方程求解。
7．两种求加速度的方法
(1)正交分解法：当物体受多个力作用时，常用正交分解法求物体的合力，再应用牛顿第二定律求加速度。在实际应用中常将力分解，且将加速度所在的方向选为x轴或y轴，有时也可分解加速度，即
(2)矢量合成法：若物体只受两个力作用，应用平行四边形定则求这两个力的合力，再由牛顿第二定律求出物体的加速度的大小及方向。加速度的方向就是物体所受合力的方向。若知道加速度的方向也可应用牛顿第二定律求物体所受合力的方向。
【思考】
静止在光滑水平面上的物体，受到一个水平拉力，在拉力刚开始作用的瞬间，物体是否立即有加速度？是否立即有较大速度？
提示：力是产生加速度的原因，力与加速度具有瞬时对应关系，故在力刚开始作用的瞬间，物体立即获得加速度；但由公式Δv＝aΔt可知，必须经过一段时间加速，物体才能获得较大速度。
【解题技巧1】
搞不清楚力与加速度的因果关系，容易由F＝ma得到合力与加速度成正比的错误结论。因为力是使物体产生加速度的原因，所以只能说加速度与合力成正比，而不能说合力与加速度成正比。
【解题技巧2】
(1)分析瞬时加速度的“两个关键”
①明确绳或线类、弹簧或橡皮条类模型的特点。
②分析该时刻前、后的受力情况和运动情况。
(2)分析瞬时加速度的“四个步骤”
第一步：分析物体原来的受力情况；
第二步：分析物体在突变时的受力情况；
第三步：由牛顿第二定律列方程；
第四步：求出瞬时加速度并讨论其合理性。
【典例示范】
如图所示，A、B两球用细线悬挂于天花板上且静止不动，两球质量mA＝2mB，两球间是一个轻质弹簧，如果突然剪断悬线，则在剪断悬线瞬间(　　)
A．A球加速度为g，B球加速度为g
B．A球加速度为g，B球加速度为0
C．A球加速度为g，B球加速度为0
D．A球加速度为g，B球加速度为g
[答案]　B
如图所示，轻弹簧上端与一质量为m的木块1相连，下端与另一质量为M的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为a1、a2。重力加速度大小为g。则有(　　)
A．a1＝0，a2＝g B．a1＝g，a2＝g
C．a1＝0，a2＝g D．a1＝g，a2＝g
[答案]　C
3.(多选)关于牛顿第二定律，下列说法正确的是(　　)
A．公式F＝ma中，各量的单位可以任意选取
B．某一时刻的加速度只决定于这一时刻物体所受的合外力，与这一时刻之前或之后的受力无关
C．公式F＝ma中，a实际上是作用于该物体上的每一个力所产生加速度的矢量和
D．物体的运动方向一定与它所受合外力的方向一致
[答案]　BC
4.(多选)下列对牛顿第二定律的表达式F＝ma及其变形公式的理解，正确的是(　　)
A．由F＝ma可知，物体所受的合力与物体的质量成正比，与物体的加速度成反比
B．由m＝可知，物体的质量与其所受的合力成正比，与其运动的加速度成反比
C．由a＝可知，物体的加速度与其所受的合力成正比，与其质量成反比
D．由m＝可知，物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受的合力而求出
[答案]　CD
5.如图所示，质量为m＝1 kg的小球穿在斜杆上，斜杆与水平方向成30°角，小球与杆之间的动摩擦因数μ＝，小球受到大小为20 N、方向竖直向上的拉力F作用，则小球的加速度大小是多少？方向是什么？(取g＝10 m/s2)
答案　2.5 m/s2　方向沿斜杆向上
解析　小球受重力、拉力、杆的支持力和滑动摩擦力，如图所示，
根据牛顿第二定律得：
Fsin30°－mgsin30°－Ff＝ma
Fcos30°＝mgcos30°＋FN
Ff＝μFN
联立以上各式解得a＝2.5 m/s2。
则小球的加速度大小为2.5 m/s2，方向沿斜杆向上。
6.如图所示，质量为m的物体随自动扶梯加速上升。已知加速度的大小为a，方向与水平面成θ角，求：
(1)物体在加速上升过程中受到的摩擦力的大小与方向；
(2)物体所受支持力的大小。
答案　
(1)macosθ　方向水平向右
(2)m(g＋asinθ)
解析　
(1)如图所示，建立直角坐标系，对物体进行受力分析，并将加速度a沿已知力的方向正交分解，得
a1＝asinθ，a2＝acosθ
由牛顿第二定律知
f＝ma2＝macosθ，方向水平向右。
(2)在竖直方向上：N－mg＝ma1
解得N＝m(g＋asinθ)。
7.如图所示，车厢顶部固定一定滑轮，在跨过滑轮的绳子的两端分别系一个小球和一个物块，小球的质量为m1，物块的质量为m2，且m2＞m1，物块静止在车厢底板上，当车厢向右运动时，系小球的那段绳子与竖直方向的夹角为θ。若滑轮、绳子的质量和摩擦忽略不计，求：
(1)车厢的加速度大小；
(2)车厢底板对物块的支持力和摩擦力。
[答案]　
(1)gtanθ
(2)m2g－，方向竖直向上　m2gtanθ，方向水平向右
[解析]　
(1)解法一(力的合成法)：设车厢的加速度为a，小球的加速度与车厢的加速度相同，对小球进行受力分析，如图甲所示，由牛顿第二定律得：
F合＝m1gtanθ＝m1a
解得：a＝gtanθ。
　　　　
解法二(正交分解法)：以小球为研究对象，进行受力分析，如图乙所示，
在水平方向上：Tsinθ＝m1a
在竖直方向上：Tcosθ＝m1g
解得车厢的加速度大小为a＝gtanθ。
(2)对物块进行受力分析，如图丙所示，
竖直方向上：N＋T＝m2g，
由(1)知，T＝，
则车厢底板对物块的支持力
N＝m2g－，方向竖直向上，
物块受到的摩擦力为f＝m2a＝m2gtanθ，方向水平向右。
二、力的单位
1．F＝kma中k的数值取决于F、m、a的单位的选取。当k＝1时，质量为1 kg的物体在某力的作用下获得1 m/s2的加速度，则这个力F＝ma＝1_kg·m/s2，力F的单位就是千克米每二次方秒，把它称作“牛顿”，用符号N表示。
2．在质量的单位取千克(kg)，加速度的单位取米每二次方秒(m/s2)，力的单位取牛顿(N)时，牛顿第二定律可以表述为：F＝ma。
【典例示范】
判断正误
(1)加速度的方向决定了合外力的方向。(　　)
(2)加速度的大小跟合外力成正比，跟物体的质量成反比。(　　)
(3)牛顿第二定律表达式F＝kma中的比例系数k，在国际单位制中才等于1。(　　)
[答案]
(1)×　(2)√　(3)√

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