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《相互作用力》
“共力点的平衡”章节考点归纳&典例示范
一、共点力
1．定义：几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。
2．力的合成和分解的平行四边形定则，只适用于共点力。
二、共点力平衡的条件
1．平衡状态
物体在力的作用下保持的静止或匀速直线运动状态。
【特别注意】
对静止状态的理解：静止与速度v＝0不是一回事。物体保持静止状态，说明v＝0，a＝0，两者同时成立。若仅是 v＝0，a≠0，如自由下落开始时刻的物体，并非处于静止状态。
共点力平衡的条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。
数学表达式有两种：①F合＝0；②
Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力。
3．共点力平衡的几种常见类型
(1)物体受两个力平衡时，这两个力等大反向共线，是一对平衡力。
(2)物体受三个力平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大反向共线。
(3)物体受三个以上的力平衡时，其中任意一个力与另外几个力的合力等大反向共线。
4．共点力平衡问题的常见处理方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反，作用线在同一直线上
分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
【思考】
当物体的速度为零时，是否一定处于平衡状态？
提示：不一定，如物体做自由落体运动的初始时刻速度为零，但合外力不为零，物体没有处于平衡状态。
【解题技巧】
（1）处理平衡问题的“四步骤”
（2）正交分解法坐标轴方向的选取技巧
(1)研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴；
(2)研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴；
(3)研究在杆或绳的作用下转动的物体时，通常沿杆或绳方向和垂直杆或绳的方向建立坐标轴。
【典例示范】
判断正误
(1)共点力一定作用于物体上的同一点。(　　)
(2)共点力一定作用于同一物体上。(　　)
(3)作用于同一物体上的所有的力都是共点力。(　　)
(4)平直道路上高速匀速行驶的赛车处于平衡状态。(　　)
(5)百米竞赛中，运动员在起跑时速度为零的瞬间处于平衡状态。(　　)
(6)合力保持恒定的物体处于平衡状态。(　　)
[答案](1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×
如图所示，高空走钢丝的表演中，若表演者走到钢丝中点时，使原来水平的钢丝下垂与水平面成θ角，此时钢丝上的弹力应是表演者和平衡杆的总重力的(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。那么，风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？
[答案]　F＝mgtanθ
[解析]　取金属球为研究对象，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力FT，如图所示。这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零。可以根据合成法、分解法、正交分解法求解。
解法一(合成法)：
根据任意两力的合力与第三个力等大反向，如图甲所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtanθ。
解法二(分解法)：
重力有两个作用效果：使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图乙所示，由几何关系可得F＝F′＝mgtanθ。
解法三(正交分解法)：
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图丙所示。水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即Fx合＝FTsinθ－F＝0，Fy合＝FTcosθ－mg＝0，解得F＝mgtanθ。
由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关。因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小。
三、动态平衡问题
缓慢变化中的每一个瞬间物体常常可视为处于平衡状态，但物体的受力情况可能发生变化，这时物体的受力分析就是动态平衡受力分析。常用的方法有如下几种：
1．图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度、方向的变化判断各个力的变化情况。
(1)矢量三角形法
①特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变，或另两个力始终相互垂直。
②原理：根据物体处于平衡状态时合力为零，将物体所受的三个力首尾相接，作在一个力的矢量三角形中，根据动态变化过程中，三角形中边的长度、方向的变化情况判断力的大小、方向的变化情况。
(2)平行四边形法
①特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变。
②原理：根据平行四边形定则，将大小、方向不变的力沿另两个力的反方向分解，根据物体处于平衡状态时合力为零，以及两个分力的大小、方向变化情况判断另两个力的大小、方向变化情况。
(3)相似三角形法
①特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向不变(通常是重力)，另外两个力的方向均发生变化，且三个力中没有两个力保持垂直关系，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形。
②原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将表示三个力的有向线段首尾相连构成三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的特点，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。
2．解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变参量与自变参量的一般函数，然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化。很多情况是通过三角函数分析力的变化情况，一般用于较简单的动态平衡受力分析问题。
【解题技巧】
求解动态平衡问题的思路
【典例示范】
如图所示，小球A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线一端拴在小球A上，另一端跨过固定在大圆环最高点处的小滑轮B后吊着一个质量为m1的物块。如果小球、滑轮、细线的大小和质量以及所有摩擦都可以忽略不计，细线不可伸长，静止时弦AB所对应的圆心角为α，则两物块质量的比值应为(　　)
A．cos B．sin
C．2sin D．2cos
答案　C
解析　对小球A受力分析，如图所示，FT2与N的合力与FT1平衡，若将FT1、FT2、N首尾相接组成矢量三角形，则它与两半径OA、OB和弦AB形成的几何三角形相似，设圆环半径为R，则＝，FT2＝N，则有2FT2sin＝FT1，又FT2＝m2g，FT1＝m1g，解得＝2sin，C正确。
用绳OD悬挂一个重力为G的物体，O位于半圆形支架的圆心，绳OA、OB的悬点A、B在支架上。悬点A固定不动，结点O保持不动，开始时，OB水平，将悬点B从图中所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，分析绳OA和绳OB上拉力的大小变化情况。
[答案]　
绳OA的拉力逐渐减小　绳OB的拉力先减小后增大
[解析]　
解法一(矢量三角形法)：将表示O点所受三个力的有向线段首尾相接，构成的矢量三角形如图所示：
将悬点B从图中所示位置逐渐移动到C点的过程中，绳OB上的拉力TB与水平方向的夹角α从0°逐渐增大到90°，根据矢量三角形图可知绳OA的拉力TA逐渐减小到0，绳OB上的拉力TB先减小后增大到TB＝TD＝G。
解法二(平行四边形法)：在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，OA、OB上的拉力分别为TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3，由于绳子OD对O点的拉力TD＝G，结点O始终处于平衡状态，则将TD沿AO、BO方向分解，如图所示，分力的大小分别等于绳子OA、OB对O点的拉力大小，分力的方向分别与绳子OA、OB对O点的拉力方向相反，从图中可以直观地看出，TA＝TA′逐渐减小，且方向不变；而TB＝TB′先减小，后增大，且方向不断改变，当TB与TA垂直时，TB最小。

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