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“相遇追及问题与运动图像”专题讲解
【相遇追及问题】
1．什么是追及相遇问题？
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距离越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。需要注意只要后面物体的速度有可能大于前面物体的速度都可以谈追及问题。
2．相遇追及问题情况概述
(1)相遇问题
①同向运动的两物体的追及即相遇。
②相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
(2)追及问题
①若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。
②若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近。
3．常见的三种追及相遇情况
(1)匀速直线运动的物体追匀加速直线运动的物体。
①若当v加＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离。
②若当v加＝v匀时，两者恰好到达同一位置，则只能相遇一次。
③若当两者到达同一位置时v加(2)匀减速直线运动的物体追匀速直线运动的物体。
①若当v减＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离。
②若当v减＝v匀时，两者正在同一位置，则恰能追上，这种情况也是避免两者相撞的临界条件。
③若当两者到达同一位置时v减>v匀，则有两次相遇的机会。
(3)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体。
肯定能追上，且只能相遇一次。两者在追上前相距最远的条件是v加＝v匀。
4．解题思路
(1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图或v t图像，找到临界状态和临界条件。
(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是解题关键。
(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析。
5．追及问题中的“两个关系”“一个条件”
(1)两个关系：时间关系和位移关系。
时间关系指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后运动；位移关系指两物体是同地开始运动还是一前一后开始运动，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画运动示意图分析问题的良好习惯，运动示意图对帮助我们理解题意、启迪思维大有好处。
(2)一个条件：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，以及是否恰好追上等。
【特别注意】
判断同向运动两物体是否相撞与判断同向运动两物体能否追及相遇的方法相同。
【技巧点拨】
求解追及和相遇问题的两点技巧
1．牢记“一个思维流程”
2．掌握“三种分析方法”
(1)图像法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图像中画出，然后利用图像分析求解相关问题。
起点在同一点的追及相遇问题最适合用图像解决，因为其图线和时间轴所围成的面积就是位移。
(2)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，画出两物体运动关系的示意图。
(3)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论。若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好能追上或相遇一次；若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
【典例示范】
1.甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v t图像中(如图所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位移关系，下列说法正确的是(　　)
A．在0～10 s内两车逐渐靠近
B．在10～20 s内两车逐渐远离
C．在5～15 s这段时间两车运动的位移相等
D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
答案　C
解析　甲车做速度为5 m/s的匀速直线运动，乙车做初速度为10 m/s的匀减速直线运动。在t＝10 s时，两车的速度相同，在此之前，甲车的速度小于乙车的速度，两车的距离越来越大；在此之后，甲车的速度大于乙车的速度，两车的距离又逐渐减小，在t＝20 s时两车相遇，故A、B、D均错误。5～15 s这段时间，两图线与时间轴所围成的面积相等，故两车运动的位移相等，C正确。
2.一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前，经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
[答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
[解析]　 (1)解法一(物理分析法)：汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有
v汽＝v自＝at1
所以t1＝＝2 s
Δx＝x自－x汽＝v自t1－at＝6 m。
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前，经过时间t两车相距Δx，则Δx＝x自－x汽＝v自t－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。
所以经过t1＝2 s后，两车相距最远，此时距离为Δx＝6 m。
解法三(图像法)：自行车和汽车的v t图像如图所示，由图像可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m。
(2)解法一(物理分析法)：当两车位移相同时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，
则有v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。
解法二(图像法)：由前面画出的v t图像可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相同，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
3.甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动，甲初速度为6 m/s，由于摩擦做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2；乙做初速度为零，加速度为1 m/s2的匀加速直线运动。求：
(1)甲物体能运动多远？
(2)乙经多长时间追上甲？
(3)乙追上甲之前两物体的最大距离是多少？
答案　(1)9 m　(2)4.2 s　(3)6 m
解析　(1)甲做匀减速直线运动直至停止，
由v＝2a甲x甲，得x甲＝＝ m＝9 m。
(2)甲的运动时间为：t＝＝ s＝3 s
此过程中乙的位移
x乙＝a乙t2＝×1×32 m＝4.5 m<9 m
说明甲停止后，过一段时间乙才追上甲
所以乙追上甲所用时间：
t乙＝ ＝ s＝3 s≈4.2 s。
(3)当甲、乙的速度相等时，二者距离最大，
即a乙t′＝v甲－a甲t′，
得：t′＝＝2 s
在这2 s内，甲的位移：
x甲′＝v甲t′－a甲t′2＝ m＝8 m
乙的位移：x乙′＝a乙t′2＝ m＝2 m
二者间的最大距离：Δx＝x甲′－x乙′＝6 m。
【运动图像的分析】
运动学中，位移—时间图像(x t图像)和速度—时间图像(v t图像)是两种最典型的图像。
【技巧点拨】
(1)解决常规运动的图像问题时要根据物理情景中遵循的规律，由图像提取信息和有关数据，根据对应的规律公式对问题做出正确的解答。以速度图像为例，具体分析过程如下：
(2)解答非常规运动图像问题的“三个”步骤：一审、二列、三判：
【典例示范】
1.一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度的平方v2和位移x的关系图像中，能描述该过程的是(　　)
答案　B
解析　汽车做初速度为零的匀加速直线运动时，由v2＝2ax可知，v2与x成正比，即这段时间内的v2和位移x的关系图像为过原点的一条倾斜直线，设匀加速直线运动的末速度为v1，位移为x1，则在做匀减速直线运动过程中，v2－v＝2a′(x－x1)，B正确，A、C、D错误。
2.如图所示，x t图像反映了甲、乙两车在同一条直道上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则(　　)
A．甲车的加速度大小为4.0 m/s2
B．乙车的加速度大小为1.6 m/s2
C．5 s时两车速度相等
D．乙车的初位置在x0＝75 m处
答案　B
解析　位移—时间图像的斜率等于速度，可知甲车做匀速运动，加速度为零，A错误；乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则t＝10 s时，速度为零，将其0～10 s的运动逆向看成初速度为0的匀加速直线运动，则s＝at2，根据图像有：x0＝a·(10 s)2,20 m＝a·(5 s)2，解得a＝1.6 m/s2，x0＝80 m，B正确，D错误；5 s时，v甲＝ m/s＝4 m/s，v乙＝at＝8 m/s，C错误。
3.物体a、b从同一位置沿同一直线运动的v t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．t＝2 s时，a、b的速度方向均发生改变
B．t＝4 s时，a、b相距20 m
C．前4 s，a、b均做匀变速直线运动
D．前4 s，a与b的加速度始终相同
[答案]　B
[解析]　由图像可知，前4 s，a的速度都为正方向，b的速度都为负方向，所以t＝2 s时，a、b的速度方向均没有发生改变，A错误；图线与时间轴围成的面积表示位移，则t＝4 s时，a、b相距Δx＝×4×5 m－ m＝20 m，B正确；图像的斜率表示加速度，由图像可知，前4 s，a、b的加速度方向都发生了变化，不是匀变速直线运动，C错误；图像的斜率表示加速度，由图像可知，前4 s，a与b的加速度方向始终相反，D错误。

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