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“模型构建连接体问题”专题讲解
【动力学的极值和临界问题】
1．对临界问题和极值问题的认识
(1)极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的问题。
在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
(2)临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的问题。
2．动力学中常见的临界问题的类型
(1)摩擦力发生突变
摩擦力是由于互相挤压的物体间有相对运动趋势或相对运动产生的，根据静摩擦力和滑动摩擦力的特点，可知摩擦力的突变情况有以下几种：
①静摩擦力为零是运动趋势的方向发生变化的临界条件。
②静摩擦力最大是物体恰好保持相对静止或相对滑动的临界条件。
(2)弹力发生突变
弹力是由物体间的挤压或拉伸产生的，对研究对象产生弹力的常见的接触物有轻绳、轻杆、弹簧、接触面。依据接触物产生弹力的特点，可知弹力的突变情况有以下几种：
①弹力为零是物体与接触面脱离的临界条件。
②弹力为零是弹簧(轻杆)对物体产生压力还是拉力的临界条件，也是轻绳松弛与绷紧的临界条件。
③轻绳的张力(或弹簧的拉力、轻杆承受的拉力或压力)达到最大是轻绳崩断(弹簧发生非弹性形变、轻杆断裂)的临界条件。
3．处理临界问题的三种方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端情况，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能，或变化过程中可能出现临界条件也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题，假设是某种可能，或假设出现临界条件，会出现什么情况
数学法 将物理量间关系用数学式子表达出来，结合已知量的取值范围和其他物理条件，根据数学表达式解出临界值(此方法也可用于求解极值问题)
【技巧点拨】
处理动力学中的临界问题的关键是临界条件的挖掘。绳断与不断的临界条件是绳中的张力等于绳所能承受的最大拉力；两物体接触与分离的临界条件是两物体间的弹力等于零；两物体即将发生相对滑动的临界条件是两物体间的摩擦力等于最大静摩擦力；加速度逐渐减小的变加速运动速度最大的临界条件是加速度等于零。
【典例示范】
1.如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离h时，B与A分离。下列说法正确的是(　　)
A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长
B．B和A刚分离时，它们的加速度为g
C．弹簧的劲度系数等于
D．在B与A分离之前，它们做匀加速直线运动
[答案]　C
[解析]　A、B分离前，A、B共同做加速运动，由于F是恒力，而弹簧弹力是变力，故A、B做变加速直线运动，故D错误；当两物体要分离时，A、B间弹力FAB＝0，且F＝mg，对B：F－mg＝ma，对A：kx－mg＝ma，可得a＝0，故A、B分离时，弹簧仍处于压缩状态，A、B错误；设用恒力F拉B前弹簧压缩量为x0，则2mg＝kx0，A、B刚分离时，x＝，h＝x0－x，解以上各式得k＝，C正确。
2.如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。
(1)当滑块至少以多大的加速度向右
运动时，线对小球的拉力等于零？
(2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？
(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？
答案　(1)g　(2)g　(3)mg
解析　
(1)当线对小球的拉力FT＝0时，小球受重力mg和斜面支持力FN作用，如图甲所示，则
FNcos45°＝mg
FNsin45°＝ma
解得a＝g，故当滑块向右的加速度为g时线对小球的拉力为0。
(2)假设滑块以加速度a1向左运动时，小球对滑块的压力恰好为0。小球受重力mg、线的拉力FT1作用，如图乙所示，由牛顿第二定律得
水平方向：FT1cos45°＝ma1，
竖直方向：FT1sin45°－mg＝0。
由上述两式解得a1＝g，
即当滑块至少以大小为g的加速度向左运动时，小球对滑块的压力为0。
(3)当滑块以加速度a′＝2g向左运动时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力FT′和重力mg的作用，如图丙所示，此时细线与水平方向间的夹角α＜45°。
由牛顿第二定律得
FT′cosα＝ma′，
FT′sinα＝mg，
解得FT′＝m＝mg。
【隔离法、整体法解决连接体问题】
1．“连接体”问题
所谓“连接体”，是指运动中的几个物体或上下叠放在一起或前后挤靠在一起或通过细绳、轻弹簧连在一起的物体组。在求解连接体问题时常常用到整体法与隔离法。
2．隔离法与整体法
(1)整体法：在分析连接体问题时，将整个物体系统作为整体分析研究的方法。在分析整体受外力时常采用整体法。
(2)隔离法：在分析连接体问题时，从研究问题的方便性出发，将物体系统中的某一部分物体隔离出来，单独分析研究的方法。
3．整体法、隔离法的选用
(1)整体法、隔离法的选取原则
当连接体内各物体具有相同的加速度(或运动情况一致)时，可以采用整体法；当连接体内各物体加速度不相同(或运动情况不一致)时，采用隔离法。
一般来说，求整体的外力时优先采用整体法，整体法分析时不要考虑各物体间的内力；
求连接体内各物体间的内力时只能采用隔离法。
(2)整体法、隔离法的交替运用
若连接体内各物体具有相同的加速度，且要求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二定律求作用力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。
4．运用隔离法解题的基本步骤
(1)明确研究对象。
(2)将研究对象从系统中隔离出来。
(3)对隔离出的研究对象进行受力分析，注意只分析其他物体对研究对象的作用力。
(4)寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解。
【技巧点拨】
整体法、隔离法交替运用是解决连接体问题的关键。若外力F未知，用隔离法求得物体的加速度，因系统内物体加速度完全相同，故再选择整体法求得F的大小；若F已知，用整体法求加速度，再用隔离法求相互作用力。
【典例示范】
1.如图所示，质量为m2的物块B放置在光滑水平桌面上，其上放置质量为m1的物块A，A通过跨过定滑轮的细线与质量为M的物块C连接，释放C，A和B一起以加速度a从静止开始运动，已知A、B间的动摩擦因数为μ1，则细线中的拉力大小为(　　)
A．Mg B．Mg＋Ma
C．Mg－Ma D．m1a＋μ1m1g
[答案]　C
[解析]　对物块A、B组成的整体，由牛顿第二定律得，T＝(m1＋m2)a，对物块C，Mg－T＝Ma，解得T＝Mg
－Ma，A、B错误，C正确；对物块A，T－f＝m1a，则T＝m1a＋f，因f为静摩擦力，故不一定等于μ1m1g，D错误。
2.如图所示，质量分别为m1和m2的物块A、B，用劲度系数为k的轻弹簧相连。当用力F沿倾角为θ的固定光滑斜面向上拉物块B，使两物块以相同的加速度共同加速运动时，弹簧的伸长量为________。
答案　
解析　对物块A、B和弹簧组成的整体分析得
F－(m1＋m2)gsinθ＝(m1＋m2)a①
隔离A得kx－m1gsinθ＝m1a②
联立①②式得x＝。

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