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第二课时 反比例函数的图象和性质(1)课堂实录
复习提问：
师：请同学们回忆反比例函数的定义，说一说反比例函数的表达式？（板书：）
学生口答，思考并认真回答
师：思考第二题（投影PPT2），谁来回答？
根据学生回答，分析巩固反比例函数定义。
新课引入：
师：正比例函数的图象形状、位置和性质还记得吗？（投影PPT3）
生：（集体回答）
师：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是 （投影PPT4）
生：是一条经过原点的直线
师：反比例函数 (k≠0 )的图象又是什么样子呢？
师：我们先回忆一下，画函数图象画的三个步骤是什么？
生：列表，描点，连线
师：下面我们就用这种方法来作反比例函数的图象
教师引导学生一起在黑板演示画出反比例函数的过程
师：注意列表时，自变量x的取值不能为0，且x的取值要易于计算，易于描点。（投影PPT5）
师：我们再看看，函数的图象是 ？（投影PPT6）
生：双曲线
师：函数的图象分布在 象限
生：分布在一、三象限。
师：在每个象限内，y随着x的增大而 。
师：下面我们来仿照例题：画出函数 的图象。（投影PPT7）
学生动手作图，一名学生上黑板演示
教师借助多媒体（投影PPT5—PPT6），按照“描点法”的步骤一步步指导学生作图.
教师讲解列表、描点、连线过程中需注意的问题：x不能为0、曲线的变化趋势
初步探图：
师：请同学们观察这两个函数有什么不同？（板书：K符号不同）
学生思考，小组讨论、交流，并举手回答
师：你发现这个函数的图象都是什么线？图象分布在 象限（投影PPT7）
生：双曲线，二、四象限）（板书：双曲线，二、四）
师：在各个象限内，y随着x的增大而
根据学生回答，借助多媒体演示
师：下面看看在电脑里用软件自动生成的反比例函图象是什么样子的？
用几何画板展示函数的图象，引导学生观察：
师：当x 的值无限接近于0时，双曲线与 轴 ，但与y轴是否相交？
生：与y轴无限靠近，但不相交。
师：而当x无限大或无限小时，双曲线又怎样变化？
生：双曲线无限靠近x轴。
师：再看看我改变k的值，图形的变化
教师操作：画出函数的图象
学生议论图象特点
生：图象的形状不变，也都在一、三象限，离原点距离更远一些。
师：现在再看看我改变k的符号，大家看看图象的变化。
教师操作：画出函数的图象
生：形状不变，只是位置改变，从一、三象限变到二、四。
讨论归纳：
教师借助多媒体引领，让学生从图象观察，归纳讨论：
画反比例函数的图象应注意什么？（投影PPT8）
反比例函数的性质，板书：
（1）图形：反比例函数y=k/x(k为常数，k≠0)的图像是 ；
（2）图象位置：当k＞0时，双曲线的两支分别位于 象限;当k＜0时，双曲线的两支分别位于 象限。
（3）函数增减性：当k＞0时,在每个象限内y值随x值的 ；当k＜0时,在每个象限内y值随x值的 。
学生小组合作，展开讨论、分析、观察、归纳，并思考回答
课堂练习：（投影PPT9－13）
课堂小结：
师：反比例函数的图象和性质是 （投影PPT14）
学生回答
课后作业：另见资料
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第十七章 反比例函数
17.1.2 反比例函数的
图像与性质（1）
复习提问
2. 下列函数中哪些是反比例函数？
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦
y = 3x-1
y = 2x2
y =
x
1
y =
2x
3
y = 3x
y =
x
1
y =
1
3x
1. 反比例函数关系式是什么？
x≠0 ，
y≠0
（k ≠0，k是常数）
自变量x的取值范围是什么？
函数y的取值范围是什么？
回 顾
正比例函数的图象形状、位置和性质
解析式
函数图象
图象的画法
图象性质 k＞0
k＜0
y=kx (k≠0)
一条直线
经过(0，0)，(1，k)的直线
一、三象限，y随着x的增大而增大
二、四象限，y随着x的增大而增小
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是( )
反比例函数 (k≠0)
的图象是什么样子呢？
思考：
还记得画函数图象的三个步骤是什么？
列表、描点、连线。
请画出函数 y = — 的图象。
6
x
解：
1．列表：
注意： ① x≠0
②列表时自变量
取值易于计算,
易于描点
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
连线
描点
y
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
654321
–6 –5–4 –3 -2-1 O 1 2 3 4 5 6
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… …
-1.5
-1
-1.2
-2
-3
-6
1.2
3
1.5
2
6
1
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
连线
描点
y
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
654321
–6 –5–4 –3 -2-1 O 1 2 3 4 5 6
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… …
-1.5
-1
-1.2
-2
-3
-6
1.2
3
1.5
2
6
1
思考：
图像是两条曲线 （ 双曲线），
位置分布在 象限；
每个象限内，y随x的增大而
一三
减小
H:\未命名.gsp
练习：仿照例题：画出函数 y = －— 的图象。
6
x
根据图象回答：
1、图象是 线；
2、图象分布在 象限；
3、在各个象限内，y随着x的增大而 ；
4、图象经过点（0.5， ）；
5、若A（x1,y1）,B(x2，y2)，是图象上的点，x1＜x2＜0，
则y1 y2（填“< = 或>”号）
双曲线
二、四
增大
-12
<
你认为作比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点,尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一些点,这样既可以方便连线 ，又可以使图象精确。
2 .描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错。
3.一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接。
4.图像是延伸的，注意不要画成有明确端点。
5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
议一议
图一
图三
图二
请同学们仔细观察并进行讨论这三幅图象画得对
还是不对？如果不对，它们分别错在哪里？为什么？
√
K的符号
双曲线
双曲线
一、三象限
二、四象限
每个象限内，
y随x的增大而减小
每个象限内，
y随x的增大而 增大
图像形状
图像位置
性质
K＞0
K＜0
总结反比例函数 的特点：
（k ≠0，k是常数）
y
x
o
x
y
o
下面给出了反比例函数 和
的图象，你能知道哪一个是 图象吗？为什么？
y=
-2
x
y=
2
x
y=
-2
x
“试金石”
“双胞胎”之间的差异
A：
x
y
o
B：
x
y
o
D：
x
y
o
C：
x
y
o
1、反比例函数y= - 的图象大致是（ ）
D
1.函数 的图像在第_____象限，函数 的图象在第 象限。
2. 双曲线 经过点（-3，___）
y =
x
5
y =
1
3x
3.函数 的图像在二、四象限，则m的取值范围是 ____ .
4.对于函数 ，这部分图像在第 ________象限.
y =
1
2x
m
x
y =
测一测
二、四
m < 0
一、三
9
1
一、三
回味无穷
小结 拓展
反比例函数的图象和性质
1、形状
反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.
因此称反比例函数的图象为双曲线;
2、位置
当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;
3、注意事项：
（1）因k≠0,x≠0故y≠0,所以它们都不与坐标轴相交。
（2）画图时注意其美观性（对称性、延伸性）：反比例函数的图象分别都是由两支曲线组成的，两个分支都无限趋近但永远不能与x轴和y轴相交。 　登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第二课时 反比例函数的图象和性质(1)教学建议
1、在学习本节课之前，学生已经一次函数及反比例的概念，已经有初步的数形结合的观察问题的能力，但初二学生是首次接触到双曲线这促比较特殊函数，学生可能可在下面风个环节中出错错：
（1）在“列表”这一环节：a、取点时x的值可能取0，b、取点时x的值不恰当，导致函数的不完整，不对称。所以应该要指导学生在列表时，自恋量x的取值可以选取绝对值相等而符号相反的数。
（2）在“连线”这一环节：学生画的连线可能会有商战，未能用光滑的线条连接。所以在这里要特别强调在将所选取的点连结时，应该是“光滑曲线”，为了使函数清明明显，可以学生注意尽量选取较多的坐标及对应的点。
（2）图象与x轴或y轴不相交：教师在黑板上画图和学生在自已在本子上作图，学生很难感受到双曲线的与坐标轴无限靠近，但不相交的特征，所以教师可以利用电脑软件《几何画板》来展作图展示图形的变化特征。
2、本课可采用的学习方式是：教师引导、师生互动、动手画图、动脑思考归纳的方式进行学习的。
总之，在教学过程中，注意发挥学生的主体作用，让学生能通过自主探究、合作学习来主动发现结论。
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第二课时 反比例函数的图象和性质(1)教学设计
民众中学 汪君
教学任务分析
教学目标 知识技能 ①理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式，②会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质。
数学思考 通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括的能力
解决问题 会画反比例函数图象，并能根据反比例函数图象和性质
情感态度 ①体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；②使学生体会事物是有规律地变化着的观点；③通过反比例函数图象的研究，渗透图象的直观形象美，激发学生的学习兴趣。
重点 反比例函数的图象、性质
难点 画反比例函数的图象
重点突出方法：并通过老师演示，学生自己动手操作，几何画板展示等多种方法体验反比例函数的图象及性质，数形结合进行强化理解。难点突破方法：结合图象帮助学生把本节知识条理化，细化各考点加以练习，多看图，引导学生从图象中获取信息。
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
类比旧知，引入新知类比联想，探究交流观察探究，发现规律巩固提高，应用新知（五）归纳反思，深化新知 回顾一次函数图象及性质，引入课题。师生互动，画出反比例函数的图象。归纳比较，探索反比例函数的性质。拓展训练，加深对反比例函数性质的理解，并能灵活运用。回顾学习内容，增强学生学习数学的热情。
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
问题1　我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？问题2　画出反比例函数与的图象（1）前面我们学习过画函数图象，现在有哪位同学能告诉老师，画函数图象的关键问题是什么？（2）在选值时，你认为要注意什么问题呢？（3）　反比例函数的图象是什么样的？（4）请观察反比例函数的图象，有哪些特征？　　（5）　是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？　　问题3　反比例函数与的图象有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？问题4　当k取不同的值，上述结论是否适用于所有的反比例函数？问题与情境 教师提出问题。学生思考、交流、回答问题，老师根据学生活动情况为后面学习反比例函数的图象和性质作铺垫。老师先引导学生思考，示范画出反比例函数的图象，再让学生尝试画出反比例函数的图象。　师生互动，鼓励学生类比一次函数图象的画法，探索画出反比例函数图象。教师在引导学生画反比例函数图象时，应重点关注：（1）学生在列表时，是否注意到自变量的取值范围，同时，既要使自变量的聚会有一定的代表性，又不至于使自变量值太大或太小，以便于描点和全面反映出图象的特征。（2）一般情况下，找出的点越多，图象越精细。（3）连线时，必须按照自变量由小到大（或由大到小）的顺序，并且用平滑曲线连接。教师提出问题。学生观察思考，回答问题，并使学生了解反比例函数的图象是一种双曲线。通过电脑软件《几何画板》动态演示函数，在k取不同值时，图象的相同和不同点。师生行为 通过复习正比例函数的图象和性质，以及研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图象和性质做好铺垫图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识。通过类比正比例函数，引导学生观察图象的形状、位置、变化趋势，感受“形”的特征，感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图象的特征，在活动中，让学生自己去观察、发现、总结，实现学生主动参与，探究新知的目的。通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，加强对反比例函数图象特性以及它们　　设计意图
问题5　观察函数函数，在k取不同值时的图象。你能发现它们有共同特征以及不同点吗？每个函数的图象分别位于哪几个象限？在每个象限内，y随x的变化如何变化？问题6　试金石（例题讲评）问题7　小结拓展 注意：（1）在k取不同的正值时，图象的相同和不同点。（2）当上述的k值都变为其相反数时，图象又会有什么不同。（3）当k值在增大或减小时，图象与坐标轴的位置关系。师生互动，讲练结合，在讲练过程中（1）注意引导学生联系反比例函数图象的性质进行说明。　（2）注意数形结合，理解函数的性质。师：反比例函数的图象与性质：形状：图象：注意事项：在活动中老师要关注：学生是否养成归纳、整理、总结的好习惯；评价学生是否全面理解并掌握了反比例函数的性质。 之间的相互转化关系的认识。通过归纳，培养学生抽象概括能力。通过一系列的练习，可以实现知识向能力的转化。教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯在总结说出反比例函数的图象特征的过程中，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力，以及经历通过画出函数图象，并利用图形研究函数性质的过程。
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第二课时 反比例函数的图象和性质(1)同步练习
1、画出函数的图象：
解：列表：
x .... ...
y .... ...
描点：
连线：
根据图象回答：
（1）图象是 线；
（2）图象分布在 象限；
（3）在各个象限内，y随着x的增大而 ；
（4）图象经过点（0.5， ）；
（5）若A（x1,y1）,B(x2，y2)，是图象上的点，x1＜x2＜0，则y1 y2（填“< = 或>”号）
2、反比例函数的图象是________，过点(，____)，其图象两支分布在_ __象限；
3、 已知函数的图象两支分布在第二、四象限内，则的范围是_________
4、 双曲线经过点(，)，则；当x<0时，y随着x的增大而
5、 当x＜0时，下列图象中表示函数y=－的图象是( )
7、若A（x1,y1）,B(x2，y2)，C（x3,y3）都是反比例函数y=－的图象上的点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1,y2,y3由小到大的顺序是__________.
8、已知某县的粮食产量为a(a为常数)吨，设该县平均每人粮食产量为y吨，人口数为x，则y与x之间的函数关系的图象可能是下图中的__________，并说明你的理由.
EMBED MSPhotoEd.3
9、 如图为反比例函数的图象，则它的解析式为_________.
10、 正比例函数y=2x与反比例函数y=在同一坐标系的大致图象为（ ）
11、.已知y与x的部分取值满足下表：
x －6 －5 －4 －3 －2 －1 2 3 4 5 6 ……
y 1 1.2 1.5 2 3 6 －3 －2 －1.5 －1.2 －1 ……
（1）试猜想y与x的函数关系可能是你们学过的哪类函数，并写出这个函数的解析式.（不要求写x的取值范围）
（2）简要叙述该函数的性质.
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第二课时 反比例函数的图象与性质(1)课件
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第十七章
反比例函数
17.1.2反比例函数的
图像与性质(1)
Page·1
复习提问
1.反比例函数关系式是什么？
k
y
(k≠0，k是常数)
X
自变量x的取值范围是什么？
x≠0，
函数y的取值范围是什么？
y≠0
2.下列函数中哪些是反比例函数？
①y=3x-1
②
y=2x2
④y
3
⑤
y=3x
⑦
3x
Page 2
回顾
正比例函数的图象形状、位置和性质
解析式
y=kx
(k≠0)
函数图象
一条直线
图象的画法
经过(0,0)，(1，k)的直线
图象性质
k>0
一、三象限，y随着x的增大而增大
二、四象限，y随着x的增大而增小
k<0
Page 3
学习
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是（一条直线）
反比例函数y=
(k≠0)
X
的图象是什么样子呢？
思考：还记得画函数图象的三个步骤是什么？
列表、描点、连线。
注意：①x≠0
②列表时自变量
请画出函数y=
的图象。
取值易于计算，
X
易于描点
解：1.列表：
Page 4
列表（在自变量取值范围内取一些值，并计算相应的函数值
X
-65-43-2
1
1
2
3
4
5
6
6
-1
-1.2-1.5
-2
-3
-6
6
3
21.5
1.2
1
X
6
描点
5
4
3
2
1
连线
6-54-3-2-1
9
123
456
X
23
456
5
列表（在自变量取值范围内取一些值，并计算相应的函数值
X
65
432
1
56
6
v=
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
6
32
1.5
1.2
1
6
6
描点
5
4
3
尤
2
1
连线
6-$-4-3-2-1
9
12345
6
X
23
思考：
图像是两条曲线（双曲线）
位置分布在一三象限：
每个象限内，y随x的增大而
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第二课时 反比例函数的图象和性质(1)教学反思
　　　　　民众中学　　汪君
1．本节课的内容是反比例函数的图象与性质，旨在进一步熟悉作函数图象的主要步骤即列表、描点、连线.理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合.逐步明确研究函数的一般要求，反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，进行语言表述，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力.同时可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质.
2．本节课的学习方式主要采用探究性学习与接受性学习相结合方式，重点放在反比例函数图象的特征与性质的探究与掌握上，力求通过这一过程使学生感受从“特殊”到“一般”的认知过程，感悟数形结合、分类、归纳、运动与变化的数学思想。
3．在教学中，主要让学生进行操作活动.通过描点、连线，了解反比例函数的图象是两支双曲线，且是独立的两支双曲线，由于k值的不同，分布的象限不同，函数值随自变量的变化而相应的变化以不问，让学生自己亲自得出的结果更容易掌握及汇忆牢固，由学生自己进行语言描述能发展学生的语言表达能力，同时通过互相补充修小，可以增进彼此问的合作交流意识和友谊. 通过小组分工合作，在画具体函数图象的过程中,探索反比例函数图象特征，根据图象特征，总结画法，感受数学的图像美，简洁美。培养团队合作意识。
4．用多媒体教学解决重点难点。数学学科的特点是逻辑严密、思维抽象。初中学生的认知发展尚未成熟，缺乏逻辑严谨性，导致思考问题不全面，从而对数学中抽象的性质定理较难理会，而多媒体教学技术可以通过其图象及数据的处理功能在教师的操作下，层层深入地引导他们运用形象思维和直觉思维来处理问题，减少学习困难。在本节课的重点难点的解决过程中我都利用了几何画板的动态演示功能，在学生讨论反比例函数性质时，学生通过观察函数图象得出：“当k>0时，Y值随自变量X的增大而减小；当k<0时，Y值随自变量X的增大而增大”。这个结论是不完善的，必须补上“在每一象限内”这一条件。我处理这个问题时是利用多媒体图象的分解和组合技术通过在函数图象的两个分支上各取一个点，引导学生去比较相应的X、Y值的变化情况，让他们自己领会出应将上述结论改为“在每一象限内，当k>0时，Y值随自变量X的增大而减小；当k<0时，Y值随自变量X的增大而增大”。
5.本节课的教学需改进两方面:①教师应及时发现学生思维的亮点，加以鼓励，充分调动学习的积极性，使学生学习真正成为自觉行为；②引导学生思考问题，探索问题更应注意技巧，做到教学随机应变。③在准备环节上，没有考虑到教室电脑有病毒的问题，让上课过程中的超链接（链接到几何画板软件上）打不开，从而影响了上课进程。
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