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(共42张PPT)
§3　不等式
3.1　不等式的性质
第一章　预备知识
情境导学·探新知
NO.1
>
＝
<
>
＝
<
a>c
>
>
>
>
<
>
<
合作探究·释疑难
NO.2
类型1　数式的大小比较
类型2　不等式的性质
类型3　不等式的性质的应用
当堂达标·夯基础
NO.3
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4不等式的性质
学 习 目 标 核 心 素 养
1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．(重点)2．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点) 1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养．2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养.
1．如何比较两个实数的大小？
2．等式的基本性质有哪些？
3．不等式的基本性质有哪些？
知识点1　实数大小比较的基本事实
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a2．符号表示
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
(2)p q的含义是什么？
[提示]　(1)是．
(2)p q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．
1.当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
[提示]　∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.
[答案]　m3>m2－m＋1
知识点2　不等式的性质
性质1：如果a>b，且b>c，那么a>c.
性质2：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质3：(1)如果a>b，c>0，那么ac>bc；
(2)如果a>b，c<0，那么ac性质4：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质5：(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；
(2)如果a>b>0，c性质6：当a>b>0时，>，其中n∈N＋，n≥2.
(1)若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
(2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
[提示]　(1)a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立．
(2)不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．
2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
[答案]　C
3.下列命题正确的是(　　)
A．a>b，c≠0 ac2>bc2 B．aC．a>b且cb＋d D．a>b a2>b2
[答案]　A
4.若a>b>0，n>0，则________.(填“>”“<”或“＝”)
[答案]　<
类型1　数式的大小比较
【例1】　(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
[解]　(1)(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1).
∵x<1，
∴x－1<0.
又2＋>0，
∴(x－1)<0.
即x3－1<2x2－2x.
(2)∵a－＝＝，
又∵a>0，
∴当a>1时，>0，
有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；
当01．利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
2．作商法比较大小
如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法图示如下：
依据 a>0，b>0>1 a>b；＝1 a＝b；<1 a1 ab
应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小
步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论
1．若x∈R，y∈R，则(　　)
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
A　[因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.]
2．已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．
[解]　由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)·(x＋2y)，
∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，
∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，
即x3－2y3>xy2－2x2y.
类型2　不等式的性质
【例2】　(1)已知b<2a,3dA．2a－c>b－3d B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c
(2)若c>a>b>0，求证：>.
(1)C　[(1)由于b<2a,3d(2)证明：因为a>b>0 －a<－b c－a因为c>a，所以c－a>0.
所以0上式两边同乘，
得>>0.
又因为a>b>0，所以>.]
1．利用不等式的性质判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
C　[因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.]
4．若a>b>0，c.
[证明]　∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，两边同乘，
得0<<.
又e<0，
∴>.
类型3　不等式的性质的应用
【例3】　已知12＜a＜60,15＜b＜36，求a－b，的取值范围．
[解]　∵15＜b＜36，
∴－36＜－b＜－15.
又12＜a＜60，
∴12－36＜a－b＜60－15.
∴－24＜a－b＜45.
又＜＜，
∴＜＜.
∴＜＜4.
1．在例3的条件下，求a－b的取值范围．
[解]　 ∵12＜a＜60,15＜b＜36，
∴6∴－62．若将本例中的条件改为“2≤a－b≤4,1≤a＋b≤2”，求2a－b的取值范围．
[解]　 设2a－b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即2a－b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是 ，解得
∴2a－b＝＋.
又∵2≤a－b≤4,1≤a＋b≤2，
∴≤＋≤7.
即≤2a－b≤7.
求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用“若等式恒成立，则等式两边对应项系数相等”求出待定系数的取值，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．
5．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
[解]　设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.
故a＋3b的取值范围为－≤a＋3b≤1.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式 x≥2 的含义是指x不小于2.(　　)
(2) 若 a>b，则ac>bc.(　　)
(3)当n∈N*时，若a>b，则an>bn.(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
2．设P＝3x2－x＋1，Q＝2x2＋x则(　　)
A．P≥Q B．P≤Q
C．P>Q D．PA　[因为P－Q＝x2－2x＋1＝2≥0，所以P≥Q.]
3．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则(　　)
A．b<0，c<0 B．b>0，c>0
C．b>0，c<0 D．0D　[由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，
又∵b>c，∴04．已知A＝a2＋b2－4a＋2b＋5，则A与0的大小关系是________．
A≥0　[A＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝2＋2≥0.]
5．若x＜y＜0，则(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小关系是________．
>　[(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．]
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7(共46张PPT)
§3　不等式
3.2　基本不等式
第一章　预备知识
情境导学·探新知
NO.1
x＝y
a＝b
算术平均值
算术
几何
合作探究·释疑难
NO.2
类型1　利用基本不等式证明不等式
类型2　利用基本不等式求最值
类型3　利用基本不等式解应用题
数学阅读·拓视野
NO.3
当堂达标·夯基础
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4基本不等式
学 习 目 标 核 心 素 养
1．掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立)．(重点、易错点)2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．(难点) 1．利用基本不等式求最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
　
1．基本不等式的内容是什么？
2．算术平均值和几何平均值的概念是什么？
3．基本不等式成立的条件是什么？
4．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
知识点1　重要不等式与基本不等式
1．重要不等式
对任意实数x和y有≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立．
2．基本不等式
设a≥0，b≥0，有≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值．
基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
(2)基本不等式成立的条件“a≥0，b≥0”能省略吗？请举例说明．
[提示]　(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
(2)不能，如≥是不成立的．
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立
B．若a，b同号，则＋≥2
C．若a>0，b<0，则ab≤恒成立
D．若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2
[答案]　BD
2.不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________．
x>2y　[因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y.]
知识点2　基本不等式与最值
当x，y均为正数时，下面的命题均成立：
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值；
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2.
x＋的最小值是2吗？
[提示]　当x>0时，x＋的最小值是2.
当x<0时，x＋没有最小值．
3.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是________．
4　[因为a>0，所以a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时，等号成立．]
4.已知0　　[因为0所以1－x>0，
所以x(1－x)≤2＝2＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.]
类型1　利用基本不等式证明不等式
【例1】　已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
[证明]　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
(变设问)在本例条件下，求证：＋＋≥9.
[证明]　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，
所以＋＋
＝＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用．
1．已知a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥3.
[证明]　∵a，b，c均为正实数，
∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，
＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，
＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，
将上述三式相加得＋＋≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
∴＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
即＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．
类型2　利用基本不等式求最值
【例2】　(1)已知x>2，则x＋的最小值为________．
(2)若0(3)若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________．
(1)6　(2)　(3)9　[(1)因为x>2，
所以x－2>0，
所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6.
(2)因为0所以1－2x>0，
所以x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤2＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，
即当x＝时，等号成立，所以x(1－2x)的最大值为.
(3)因为x>0，y>0，x＋4y＝1，
所以＋＝＋＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
所以＋的最小值为9.]
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
(2)并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值．
(3)配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B．25
C．9 D．36
B　[因为x>0，y>0，且x＋y＝8，所以(1＋x)·(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，当且仅当x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25.]
类型3　利用基本不等式解应用题
【例3】　某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
[解]　(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，
则y＝0.5x2·＋800·
＝150(0(2)由(1)得y＝150≥300＝12 000，
当且仅当x＝，即x＝40时取等号．
故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少．
利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：
(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；
(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；
(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．
3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
5　8　[每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．]
基本不等式的拓广应用
阅读下列材料．
二元基本不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立．
证明：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以(a＋b)2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立．
三元基本不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．
证明：设d为正数，由二元基本不等式，
得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立．
令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，
由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．
[问题探究]
当满足什么条件时，可以利用三元基本不等式求的最小值？
[提示]　当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元基本不等式求的最小值.
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B　[由a2＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．]
2．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　)
A．ab≤2 B．ab≤
C．≥ D．≤2
D　[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由 ≥得，ab≤2∴≥2，故选D.]
3．下列各不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
B　[仅②④正确．]
4．已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是________．
　[因为a＋2b≥2.所以2≤2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等号．]
5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
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