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第21讲 勾股定理及两点间的距离公式
本章节主要讲解两部分内容 ( http: / / www.21cnjy.com )，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛．21世纪教育网版权所有
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模块一：勾股定理的证明及应用
1、 勾股定理：
（1） 直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；
（2） 应用勾股定理解决实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．【来源：21·世纪·教育·网】
【例1】 （1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；
（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．
【例2】 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，8 ( http: / / www.21cnjy.com )），B（﹣6，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ___．
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【例3】 如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　）www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．7
【例4】 如图，在Rt△ABC中，∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B＝90°，以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，则AB＝（　　）21*cnjy*com
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A．5 B．7 C． D．
【例5】 如图，在Rt中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
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（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．
【例6】 如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D是边AB上一点，DE与AC相交，AB＝17．【版权所有：21教育】
（1）求证：∠EAC＝∠B．
（2）若BD＝5，求DE的长．
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【例7】 如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙 ( http: / / www.21cnjy.com )上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？
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【例8】 如图，AB两个村子在河边 ( http: / / www.21cnjy.com )CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A、B两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD选择水厂位置P确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．21*cnjy*com
【例9】 如图，等腰三角形ABC的底 ( http: / / www.21cnjy.com )边BC为8cm，腰AB、AC的长为5cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25cm/s的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间．
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模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用
2、 逆定理：
（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．
（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．
【例10】 下列命题中是假命题的是（ ）
A． 在△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形
B． 在△ABC中，若，则△ABC是直角三角形
C． 在△ABC中，若∠B：∠C：∠A=3:4:5，则△ABC是直角三角形
D． △ABC中，若，则△ABC是直角三角形
【例11】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；
（2）若△ABC的三边a、b、c满足则△ABC是________三角形．
【例12】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米
（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．
【例13】 的三边分别为a、b、c，且满足，
判断△ABC的形状．
【例14】 如图，公路上A、B两点相距25 ( http: / / www.21cnjy.com )千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在公路AB上建一车站E．2·1·c·n·j·y
（1） 若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处
（2） 若使得C、D两村到E站的距离和最小，E站建在离A站多少千米处
【答案】（1）；（2）．
模块三：两点间的距离公式
3、 距离公式：如果平面内有两点、，则A、B两点间的距离为：
．
（1） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB=；
（2） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB=．
【例15】 已知点A（2，2）、B（5，1）．
（1） 求A、B两点间的距离；
（2） 在轴上找一点C，使AC=BC．
【例16】 如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为　　21cnjy.com
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A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【例17】 如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（ ）
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A． B． C．6 D．3
【例18】 A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点 B．BC的中点
【例19】 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点
【例20】 如图，高速公路上有A、B两点相距 ( http: / / www.21cnjy.com )25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km．www.21-cn-jy.com
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A．5 B．10 C．15 D．25
【例21】 如图，长方体的高为9m，底面是边长为6m的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为(　　)21·世纪*教育网
A．10m B．12m C．15m D．20m
【例22】 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（ ）个．【来源：21cnj*y.co*m】
A．4 B．6 C．8 D．12
【例23】 在锐角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．21教育名师原创作品
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1．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则线段AD1的长为（　　）
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A．5cm B．5cm C．5cm D．3cm
2．如图，已知中，，，在上取一点，上取一点，使得，过点作，交于点，过点作．则的度数为（）
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A． B． C． D．
3．（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲
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1．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是边AC上任意一点，AD⊥BP于D，CE⊥DC交BP于点E．21教育网
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（1）求证：AD＝BE；
（2）BM平分∠ABD交CD的延长线于点M，求证：AB－DE＝DM；
（3）若AB＝4，P是AC的中点，请直接写出AD的长是_____．
2．勘测队按实际需要构建了平面真伯坐标系，并标示了A． B． C三地的坐标，数据如图（单位：km），铁路经过A，B两地．【出处：21教育名师】
（1）求A，B间的距离；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等请用尺规作图的方法确定点D，并求出CD21·cn·jy·com
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3．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．2-1-c-n-j-y
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（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
1．在一个长为2米，宽为1米的长方形草地 ( http: / / www.21cnjy.com )上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 ___米．
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2．如图是一个长方体盒子，已知，，则沿盒子表面从 点到点的最短路程是 ______．
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3．如图，在中，，，，边AB上有一动点P，将绕点C顺时针旋转90°得，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为，连接CP，，，则周长的最小值为______．
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4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
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（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是　 　；（填序号）
①3x2+4x+5＝0；②5x2+13x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2+2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
A
B
C
D
A
B
C
D
P
E
F
A
B
C
D
E
F
E’
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第21讲 勾股定理及两点间的距离公式
本章节主要讲解两部分内容，一 ( http: / / www.21cnjy.com )是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛．2-1-c-n-j-y
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模块一：勾股定理的证明及应用
1、 勾股定理：
（1） 直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；
（2） 应用勾股定理解决实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．21*cnjy*com
【例1】 （1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；
（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．
【答案】（1）2；（2）．
【教师】（1）由直角三角形性质推论即可得结论；
（2）设，则由勾股定理可得：，解得：，
∴．
【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的综合应用．
【例2】 如图，在平面直角坐标系中，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知点A（0，8），B（﹣6，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ___．
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【答案】
【分析】
根据条件可得到，用勾股定理求出AB的长，根据折叠的特点可知 通过求出的长，设则在中，，列式求解即可．
【详解】
解：点A（0，8），B（﹣6，0），
，
在中，
，
将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，
设则
在中，，
，
解得，
点C的坐标为
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查勾股定理和折叠问题的结合，属于综合题，难度一般，明白折叠的特点以及熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键．
【例3】 如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　）
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A． B． C． D．7
【答案】B
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC， 然后代入数据算即可得解．
【详解】
解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE= DF= AB，
∵AB= AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∠AFB = 90°，
∴BF= FC= 3，
∵BE⊥AC，
∴EF=BC = 3，
∴△DEF的周长DE+DF+EF=AB+3=7，
∴AB=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理知，
AF=
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
【例4】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，则AB＝（　　）
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A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，可知 通过求出的长，已知正方形的面积，可求出边长AC的长，最后根据勾股定理，求解即可．
【详解】
解：如图，
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以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，
以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，
在中，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理解三角形，属于基础题，熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键．
【例5】 如图，在Rt中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
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（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）；（2）1或；；（3）2或或
【分析】
（1）利用勾股定理即可求出结论；
（2）由题意可得：BP=3tcm，∠B≠90°，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；
（3）当是等腰三角形，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．
【详解】
解：（1）∵在中，，，，
∴BC=，
（2）由题意可得：BP=3tcm，∠B≠90°
当∠APB=90°时，易知点P与点C重合
∴BP = BC
即3t=3，
∴
当∠PAB=90°时，如下图所示
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∴CP=BP－BC=（3t－3）cm
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2
∴42＋（3t－3）2=（3t）2－52
解得：t=
综上：当为直角三角形时，t=1或；
（3）当是等腰三角形
当AB=AP时，如下图所示
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∵AC⊥BC
∴BP=2BC
即3t=2×3=6，
∴t=2；
当AB=BP时，如下图所示
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∴3t=5，
∴；
当AP=BP时，如下图所示
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则CP=BC－BP=（3t－3）cm，AP=BP=3t，
在Rt△APC中，
即
解得：t=．
综上：当为轴对称图形时，t=2或或．
【点睛】
此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．
【例6】 如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D是边AB上一点，DE与AC相交，AB＝17．
（1）求证：∠EAC＝∠B．
（2）若BD＝5，求DE的长．
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【答案】（1）见教师；（2）13
【分析】
（1）根据SAS证明△ACE≌△BCD ( http: / / www.21cnjy.com )，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得∠CAE=∠CBD，AE=BD=5，证得∠EAD=90°，根据勾股定理可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC＝∠B；
（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD，AE＝BD＝5，
∵AB＝17，
∴AD=17-5=12，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠CBD＝∠CAE＝45°，
∴∠EAD＝45°+45°＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝13
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【例7】 如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上 ( http: / / www.21cnjy.com )，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？
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【答案】梯子顶端下滑的距离是3米．
【分析】
利用勾股定理求得OB的长，设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x，然后根据勾股定理即可列方程求解；
【详解】
解：在直角△AOB中，OB=（m）．
设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x，
在Rt∠A'OB'中，根据勾股定理得，（12x）2+（9+x）2=225；
解得：x=0（舍）或x=3．
答：当梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离是3m时，与点B向外移动的距离有可能相等；
【点睛】
本题考查了勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确的求出下滑的距离．
【例8】 如图，AB两个村子在河边 ( http: / / www.21cnjy.com )CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A、B两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD选择水厂位置P确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．
【答案】10万元．
【教师】延长AC至点E，使得CE=AC，连接EB交CD于一点，，
则此时铺设水管费用最低．
过E作EF∥CD，交BD延长线于F
∵四边形CEFD是长方形，∴
∵，∴由勾股定理可得：
此时
∴总费用为万元．
【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．
【例9】 如图，等腰三角形ABC的底边BC为 ( http: / / www.21cnjy.com )8cm，腰AB、AC的长为5cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25cm/s的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间．
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【答案】7秒或25秒．
【分析】
根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长，再分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，从而可得到运动的时间．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，
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∵BC=8cm，
∴BD=CD=BC=4cm，
∴AD==3，
分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP2=PD2+AD2=PC2-AC2，
∴PD2+AD2=PC2-AC2，
∴PD2+32=（PD+4）2-52
∴PD=2.25，
∴BP=4-2.25=1.75=0.25t，
∴t=7秒，
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2.25，
∴BP=4+2.25=6.25=0.25t，
∴t=25秒，
∴点P运动的时间为7秒或25秒．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，解题的关键是分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．21教育名师原创作品
模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用
2、 逆定理：
（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．
（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．
【例10】 下列命题中是假命题的是（ ）
A． 在△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形
B． 在△ABC中，若，则△ABC是直角三角形
C． 在△ABC中，若∠B：∠C：∠A=3:4:5，则△ABC是直角三角形
D． △ABC中，若，则△ABC是直角三角形
【答案】C
【教师】A答案中：，且，∴，所以是直角三角形；B答案中：，∴，所以是直角三角形；
C答案中：，∴，∴，∴，
∴不是直角三角形；
D答案中：设，∵，所以是直角三角形．
【总结】考察判断直角三角形的方法．
【例11】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；
（2）若△ABC的三边a、b、c满足则△ABC是________三角形．
【答案】（1）直角三角形；（2）等腰三角形或直角三角形．
【教师】（1）直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，三边也满足勾股定理，所以得到的三
角形是直角三角形；
（2）由题意有：或，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．
【总结】考察勾股定理的应用．
【例12】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米
（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．
【答案】（1）24米；（2）15米．
【教师】（1）由题意可知：折断的旗杆的部分长度为，
则旗杆长为9+15=24米；
（2）由题意可得：可达到建筑物的高度为．
【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．
【例13】 的三边分别为a、b、c，且满足，
判断△ABC的形状．
【答案】见教师．
【教师】∵，
∴，∴．
∵，∴△ABC是直角三角形．
【总结】考察完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的运用．
【例14】 如图，公路上A、B两点相距 ( http: / / www.21cnjy.com )25千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在公路AB上建一车站E．21cnjy.com
（1） 若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处
（2） 若使得C、D两村到E站的距离和最小，E站建在离A站多少千米处
【答案】（1）；（2）．
【教师】（1）设，
∴，
∵，∴，
∴，即．
（2）找出C点关于AB的对称点F，联结DF交AB于点，
则此时的满足C、D两村到E站的距离和最小，
设，
∴，
∵，∴，
解得：，∴
【总结】考察勾股定理的应用，注意最小值的求法．
模块三：两点间的距离公式
3、 距离公式：如果平面内有两点、，则A、B两点间的距离为：
．
（1） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB=；
（2） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB=．
【例15】 已知点A（2，2）、B（5，1）．
（1） 求A、B两点间的距离；
（2） 在轴上找一点C，使AC=BC．
【答案】（1）；（2）．
【教师】（1）；
（2）设，
∵AC=BC，∴，，
∴．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例16】 如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为　　【版权所有：21教育】
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A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【答案】B
【分析】
把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离．
【详解】
解：如图：展开后线段的长度是圆柱中半圆的周长，
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圆柱底面直径、高，为的中点，
，
在中，，
蚂蚁从点爬到点的最短距离为，
故选：．
【点睛】
本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
【例17】 如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．6 D．3
【答案】C
【分析】
由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6．
【详解】
解：作点关于、的对称点分别为点和点，
连接交和于点和点，，连接、；
再和上分别取一动点和（不同于点和，
连接，，和，如图1所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，，
，
又，
，，
，
时周长最小；
连接，过点作于的延长线于点，
如图示2所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，，，
，
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，，
在△中，由勾股定理得：
．
，
故选：C．
【点睛】
本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度．www.21-cn-jy.com
【例18】 A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点 B．BC的中点
C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点
【答案】A
【分析】
先计算AB2=2890000 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．
【详解】
解：如图
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB2=2890000，B ( http: / / www.21cnjy.com )C2=640000，AC2=2250000
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴活动中心P应在斜边AB的中点．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．
【例19】 如图，高速公路上有A、B两点相 ( http: / / www.21cnjy.com )距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．10 C．15 D．25
【答案】C
【分析】
根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15km．
所以，E应建在距A点15km处．
故选：C．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【例20】 如图，长方体的高为9m，底面是边长为6m的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为(　　)21·世纪*教育网
A．10m B．12m C．15m D．20m
【答案】C
【详解】
试题教师：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）AB=；
（2）AB=，
由于15<，
则蚂蚁爬行的最短路程为15米．
故选C．
点睛：展开时要根据实际情况将图形按不同形式展开，再计算．
【例21】 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（ ）个．
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【详解】
试题分析：根据格点的定义可知：到坐标原点O的距离为10的格点在以点O为圆心，半径是10的圆上，所以此圆与坐标轴的4个交点符合题意，又，所以在第一象限内有点（6，8）和（8，6）两个，根据对称轴可知：其它三个象限内也各有2个点，所以到坐标原点O的距离为10的格点共有12个，故选D．
考点：1．勾股数2．点的坐标．
【例22】 在锐角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．
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【答案】4
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，
则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC cos45°=×=4．
∴CM+MN的最小值为4．
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【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
1．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则线段AD1的长为（　　）
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A．5cm B．5cm C．5cm D．3cm
【答案】B
【分析】
先求出∠ACD=30°，再根据旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )角求出∠ACD1=45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】
解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，
∴∠DCE=90°-30°=60°，
∴∠ACD=90°-60°=30°，
∵旋转角为15°，
∴∠ACD1=30°+15°=45°，
又∵∠CAB=45°，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴∠ACO=∠BCO=45°，
∵CA=CB，
∴AO=CO=AB=，
∵DC=，
∴D1C=DC=，
∴D1O=-=，
在Rt△AOD1中，AD1==，
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点．
2．如图，已知中，，，在上取一点，上取一点，使得，过点作，交于点，过点作．则的度数为（）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据勾股定理逆定理可得∠ACB＝90°，因为，利用两直线平行同旁内角互补可得出∠GCF的度数，结合∠BCG= ∠ACB －∠GCF可求出∠BCG的度数，再利用两直线平行，内错角相等即可求出∠CBD的度数．
【详解】
解：在△ABC中AC=24，AB=25，BC=7 ，
，
，
△ABC为直角三角形，
∠ACB=90°，
，，
∠GCF=180°-∠EFC=44°，
∠BCG=∠ACB - ∠GCF=46°，
又，
，
∠CBD= ∠BCG= 46°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理以及平行线的性质，利用勾股定理的逆定理，找出∠ACB＝90°是解题的关键．
3．（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲
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【答案】（1）；（2）；（3）昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲
【分析】
（1）利用勾股定理求出斜对角线的长即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）由题意的最短路径相等，设昆虫甲从顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，列出方程求解即可．
【详解】
（1）最长的为斜对角线：=；
（2）这根细线的长为：=；
（3）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中，
∵x>0，解得：
答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲．
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【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键．
1．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是边AC上任意一点，AD⊥BP于D，CE⊥DC交BP于点E．21·cn·jy·com
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（1）求证：AD＝BE；
（2）BM平分∠ABD交CD的延长线于点M，求证：AB－DE＝DM；
（3）若AB＝4，P是AC的中点，请直接写出AD的长是_____．
【答案】（1）见教师；（2）见教师；（3）．
【分析】
（1）先证∠DAC=∠CBE，再证∠ACD=∠BCE，从而得，进而即可得到结论；
（2）由∠CBM+∠ABM=45°，∠MBD+∠M=∠CDE=45°，结合∠ABM=∠MBD，可得∠M=∠CBM，于是得CM=CB，结合AB=CB，DE=CD，即可得到结论；www-2-1-cnjy-com
（3）过点C作CH⊥DE于点H，可得，设AD=CH=HE=BE=x，可得BC=，进而即可得到答案．21*cnjy*com
【详解】
解：（1）∵AD⊥BP，
∴∠ADP=90°，
∵∠ADP+∠DAC+∠APD=∠BPC+∠CBE+∠BCP=180°，∠ADP=∠BCP=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAC=∠CBE，
∵CE⊥DC，即：∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，即：∠ACD=∠BCE，
∵AC＝BC，
∴，
∴AD＝BE；
（2）如图所示：
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∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠CBM+∠ABM=45°，
∵，
∴CD=CE，
∵CE⊥DC，
∴∠CDM=45°，
∴∠MBD+∠M=∠CDE=45°，
又∵BM平分∠ABD，
∴∠ABM=∠MBD，
∴∠M=∠CBM，
∴CM=CB，
∴CB-CD=CM-CD=DM，
∵AB=CB，DE=CD，
∴AB－DE＝CB-CD= DM；
（3）过点C作CH⊥DE于点H，
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∵∠APD=∠CPH，∠ADP=∠CHP=90°，AP=CP，
∴，
∴CH=AD，
∵是等腰直角三角形，
∴CH=HE，
∴设AD=CH=HE=BE=x，则BH=2x，BC=，
∴，解得：x=（负值舍去），
∴AD=．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质， ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．
2．勘测队按实际需要构建了平面真伯坐标系，并标示了A． B． C三地的坐标，数据如图（单位：km），铁路经过A，B两地．
（1）求A，B间的距离；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等请用尺规作图的方法确定点D，并求出CD
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【答案】（1）20km；（2）13km，作图见详解
【分析】
（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；
（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x的值．
【详解】
解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，
∴AB＝12 （ 8）＝20（km）；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，
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由（1）可知：CE＝1 （ 17）＝18，AE＝12，
设CD＝x，
∴AD＝CD＝x，
由勾股定理可知：x2＝（18 x）2＋122，
∴解得：x＝13，
∴CD＝13（km）．
【点睛】
本题考查勾股定理，图形与坐标，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．【来源：21cnj*y.co*m】
3．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．【出处：21教育名师】
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（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
【答案】（1）米；（2）见教师，米
【分析】
（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'， ( http: / / www.21cnjy.com )连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，连接AB，
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由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
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驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
1．在一个长为2米，宽为1米 ( http: / / www.21cnjy.com )的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 ___米．21世纪教育网版权所有
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【答案】2.6
【分析】
如图，将木块展开，相当于 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为2+0.4=2.4米，因为长方形的宽为1米，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
长方形的长为2+0.4=2.4米，
长方形的宽为1米，
一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC，
米，
故答案为：2.6．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，难度一般，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键．
2．如图是一个长方体盒子，已知，，则沿盒子表面从 点到点的最短路程是 ______．
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【答案】．
【分析】
根据两点之间，线段最短，分有3种情况进行讨论，根据勾股定理求出即可．
【详解】
解：如图，把正面和左面展开，形成一个平面，两点之间线段最短．
( http: / / www.21cnjy.com / )
即；
如图，把正上面和上面展开，形成一个平面，两点之间线段最短．
( http: / / www.21cnjy.com / )
即．
如图，把右面和上面展开，形成一个平面，两点之间线段最短．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
故从点到点的最短路程为：．
综上所述，从点到点的最短路程为：．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，解题时注意分类思想的运用．【来源：21·世纪·教育·网】
3．如图，在中，，，，边AB上有一动点P，将绕点C顺时针旋转90°得，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为，连接CP，，，则周长的最小值为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
先根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，进而可知当CP的长度最小时，周长即可取得最小值，再根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，CP取得最小值，再利用勾股定理及等积法计算即可求得答案．
【详解】
解：由旋转可知：，，
∴是等腰直角三角形，
∴当CP的长度最小时，周长即可取得最小值，
∵边AB上有一动点P，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵，，，
∴，
∵当CP⊥AB时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用以及等积法的应用，熟练掌握旋转的性质以及垂线段最短是解决本题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
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（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是　 　；（填序号）
①3x2+4x+5＝0；②5x2+13x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2+2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
【答案】（1）②；（2）；（3）证明见教师
【分析】
(1)根据a，b，c是Rt△ABC的三边长，分别列出等式然后判断直角是否为∠C，即可得出结果；
(2) 将x=-1代入“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0得：，根据△ABC的周长为2+2，得到，代入，求值即可；
(3) 计算 再利用可得出 即可得出结果．
【详解】
解：（1）①3x2+4x+5＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且b为直角边，
3x2+4x+5＝0不是“直系一元二次方程”；
②5x2+13x+12＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且c为直角边，
3x2+4x+5＝0是“直系一元二次方程”，
故答案为：②；
（2） x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，
代入x＝﹣1，得：，
又△ABC的周长为2+2，
，
；
（3）证：ax2+cx+b＝0，
该方程必有实数根．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理，方程的解，一元二次方程根的判别式等知识，运用整体思想进行变形是解题的关键．21教育网
A
B
C
D
A
B
C
D
P
E
F
A
B
C
D
E
F
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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