资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第19讲 垂直平分线、角平分线及轨迹
利用线段的垂直平分线和角平分线的性质添加辅助线，解决相关角度与边长之间的关系是几何证明中又一个重点内容，更加完善了证明边角关系的知识体系．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
模块一：线段的垂直平分线
线段的垂直平分线：
（1）线段的垂直平分线的性质定理给 ( http: / / www.21cnjy.com )我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有线段的垂直平分线时，往往在线段的垂直平分线上选择适当的点添加线段；
（2）线段的垂直平分线性质定理的逆定理，是证明某个点在某条线上的一个重要方法；
（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等．
【例1】 如图，在中，是的中垂线，分别交，于点，．若的周长为8，，求的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5
【分析】
根据题意可知，然后根据是的中垂线，得，即可得的长度．
【详解】
解：∵的周长为8，
又∵，
∴，
又∵是的中垂线，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是根据题意推出．
【例2】 M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点________、________在线段________的垂直平分线上．2·1·c·n·j·y
【答案】M N
【分析】
根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可得点M、N都在AB的垂直平分线上．
【详解】
解：∵
∴点M在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点N在线段的垂直平分线上，即点M、N在线段的垂直平分线上．
故填M、N、AB．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线定理，掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解答本题的关键．
【例3】 如图，根据已知条件，填写由此得出的结论．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）∵中，，∴_____．
（2）∵中，，∴垂直平分_____．
（3）∵中，，∴_______．
（4）∵中，，∴________．
【答案】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质，等边对等角可得；
（2）根据等腰三角形的性质，三线合一可得；
（3）根据三线合一可得；
（4）根据三线合一可得；
【详解】
（1）∵中，，∴．
（2）∵中，，∴垂直平分．
（3）∵中，，∴．
（4）∵中，，∴．
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【例4】 如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】7cm
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质求出BE+AE的长，再根据△ABE的周长为16cm，即可求出AB的长．
【详解】
解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴BE+AE＝CE+AE＝AC＝9cm，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB＝16﹣（BE+AE）＝16﹣9＝7cm．
【点睛】
本题比较简单，应用的知识点为：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
【例5】 如图，在中，， ．用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为，交于（只需要保留作图痕迹，不需要写作法）；21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】作图见教师．
【分析】
利用尺规作出线段AB的垂直平分线即可．
【详解】
解：依题意得，如下图，直线DE即为所求作．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查作线段的垂直平分线，熟悉相关作图方法是解题的关键．
【例6】 如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，交的延长线于点F，连结，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见教师
【分析】
根据线段的垂直平分线得出AF＝DF，推出∠F ( http: / / www.21cnjy.com )AD＝∠ADF，根据角平分线得出∠DAB＝∠CAD，推出∠FAC＝∠B，根据∠FAB＝∠BAC＋∠FAC和∠ADF＝∠B＋∠BAC推出即可．
【详解】
证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠B，
∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，
即∠BAF＝∠ACF．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )外角性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．
【例7】 如图，在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：AD是EF的垂直平分线．
【答案】见教师．
【教师】由题意，可知DE=DF，在△ADE和△ADF中，
∠AED =∠AFD=90°，AD=AD，DE=DF，
所以
∴A、D在EF的垂直平分线上，
所以AD是EF的垂直平分线．
【总结】考查垂直平分线和角平分线的综合运用．
【例8】 如图，在中，边的垂直平分线相交于点P．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证；
（2）点P是否也在边的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
【答案】（1）见教师；（2）在，见教师．
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得， ( http: / / www.21cnjy.com )PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC；
（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．
【详解】
解：（1）∵点P是的垂直平分线上的点，
∴．
同理．
∴．
（2）∵PA=PC，
∴点P在边AC的垂直平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线上（和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等．
点P也在边的垂直平分线上，由此可以得出，三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理及逆定理 ( http: / / www.21cnjy.com )：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【例9】 如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作、和、，始终有，请大家考虑一下伞杆与B、C的连线的位置关系为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】垂直
【详解】
解：如图，连接、，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，点D在线段的垂直平分线上，
∴根据两点确定一条直线得出直线是线段的垂直平分线，
故答案为：垂直．
【点睛】
题考查了线段的垂直平分线定理和两点确定一条直线等知识点，注意：①到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，②两点确定一条直线．【版权所有：21教育】
模块二：角平分线
2、角平分线：
（1）角的平分线性质定理给 ( http: / / www.21cnjy.com )我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有角平分线时，往往在角的平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段；
（2）角平分线性质定理的逆定理，是证明两个角相等的一个重要方法；
（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形三条边的距离相等．
【例10】 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE＝CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB＝45°．其中正确结论的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】
证明△DAC≌△EAB，再利用全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质即可判断①；②由全等三角形的性质可得∠ADC=∠AEB，再由∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD=90°，证得∠EOD=90°即可判断② ；过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即A0平分∠BOD即可判断④；根据现有条件无法证明OA平分∠CAE即可判断③．
【详解】
解：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC=∠EAB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠AEB，故①正确；
∵∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD=90°，
∴∠AED+∠EDO+∠AEB=90°，
∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠EOD=90°，
∴BE⊥CD，故②正确；
如图，过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，
∵△DAC≌△EAB，
∴，
∴AM=AN，
∴OA平分∠BOD，
∵BE⊥CD，
∴∠BOD=90°，
∴∠AOD=∠AOB=45°，故④正确；
根据现有条件无法证明OA平分∠CAE，故③错误，
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与定义，以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解答本题的关键．21教育网
【例11】 如图，在中，和的平分线、相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①；
②当时，；
③若，，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】B
【分析】
由角平分线的定义结合三角形内角和可判定①，在 ( http: / / www.21cnjy.com )AB上取一点H，使BH=BE，进而可证△HBO≌△EBO，则有∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AH=AF，进而可判定②，作OG⊥AC于G，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可判定③．
【详解】
解：∵和的平分线、相交于点，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴，
∵OB=OB，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴，
∴，故②正确；
作OG⊥AC于G，OM⊥AB于M，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵和的平分线、相交于点，
∴点在的平分线上，
∴，
∴，故③正确；
故选B．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【例12】 如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，，且，求的面积．
【答案】（1）（1）40°；（2）证明见教师；（3）．
【分析】
（1）根据直角三角形的性质求出∠FAE，根据补角的定义计算，得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H ( http: / / www.21cnjy.com )，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴，即
，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．21·cn·jy·com
【例13】 如图，中，是的角平分线，，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】证明见教师
【分析】
先利用等角的余角相等得到∠BCD =∠A， ( http: / / www.21cnjy.com )再利用角平分线定义得到∠ACE=∠DCE，接着利用三角形外角性质得∠BEC=∠ACE +∠A =∠DCE +∠BCD，即∠BEC =∠BCE，于是可判断BC=BE，然后根据等腰三角形的性质易得EF=CF．【出处：21教育名师】
【详解】
CDAB，
∠BDC= 90°，
∠BCD+∠CBD= 90°，
∠A +∠CBD = 90°，
∠BCD =∠A，
CE是∠ACD的角平分线，
∠ACE=∠DCE，
∠BEC=∠ACE +∠A =∠DCE +∠BCD，
∠BEC =∠BCE，
BC = BE，
，
EF= CF．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，涉及余角的定义，角平分线和三角形外角，有一定综合性，难度一般，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．
【例14】 （1）如图1△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，则有：；
（2）如图2：△ABC中，∠ABC的外角角平分线和∠ACB的外角角平分线相交于点P，
则有：；
（3）如图3：△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角角平分线相交于点P，则有：．
【难度】★★
【答案】略．
【教师】（1）
；
（2）
（3）∵∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB+∠ACP=∠ACB+(∠A+∠ABC)，
∴∠PBC+∠PCB=∠ACB+∠ABC+∠A
∴
=．
【总结】本题主要考查三角形的内角和与外角性质的综合运用，注意对结论的熟记．
【例15】 已知： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°（_______________），
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
PO＝PO（______________），
PD＝PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（_____________），
∴ ∠ POD＝___________，
∴点P在∠AOB的平分线上．
角平分线的判定：到角两边距离相等的点在________．
几何语言：
∵P是∠AOB 内的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E且PD＝PE，
∴OP是∠AOB的平分线（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
【答案】垂直的定义 公共边 HL ∠POE 这个角的平分线上
模块三： 综合
【例16】 如图，已知△ABC和△CDE均是 ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，
（1）求证：BD=AE ， 并求出∠DOE的度数；
（2）判断△CFG的形状并说明理由；
（3）求证：OA+OC=OB；
（4）判断下列两个结论是否正确，若正确请说明理由：①OC平分∠FOG；②CO平分∠FCG．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）证明见教师，60°；（2）等边三角形，理由见教师；（3）见教师；（4）①正确，理由见教师；②不正确
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，再由SAS判定△BCD≌△ACE，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）由AAS证明△ACG≌△BCF，得出CG=CF，即可得到△CFG是等边三角形；
（3）过点C作CM⊥AE于点M，C ( http: / / www.21cnjy.com )N⊥BD于点N，由全等三角形的对应角相等即可得到∠CDN=∠CEM，根据AAS证得△CDN≌△CEM；在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，根据全等三角形的性质可得出EM=DN，再由边与边之间的关系利用SSS即可证出△CMG≌△CNF，通过角的计算即可得出∠CPE=∠COD，再结合∠CDO=∠CEP利用AAS即可证出△COD≌△CPE，从而得出OD=PE，由边与边之间的关系即可找出BO=AO+OC即可；
（4）由△CDN≌△CEM，根据全等三角形的对应边相等即可得出CM=CN，结合角平分线的性质即可得出OC为∠BOE的角平分线，易得①成立．
【详解】
解：（1）∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°=∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE ，∠BDC=∠AEC，∠CBD=∠CAE，
∵∠DGO=∠CGE，
∴∠DOE=∠DCE=60°；
（2）∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=180°-60°-60°=60°，
∴∠BCA=∠ACG=60°，
在△BCF与△ACG中，
，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴CG=CF，
∵∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形；
（3）在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDN=∠CEM．
在△CDN和△CEM中，，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴EM=DN， CM=CN，
∴OC为∠BOE的角平分线，
∴∠BOC=∠EOC，
∵BD=AE，BF=AG，
∴MG=NF．
在△CMG和△CNF中，，
∴△CMG≌△CNF（SSS），
∴∠MCG=∠NCF，
∴∠MCN=∠GCF=60°，
∴∠MON=360°-∠MCN-90°-90°=120°．
∵∠BOC=∠EOC，
∴∠BOC=∠EOC=∠MON=60°，
∴∠COD=180°-∠BOC=120°．
∵CP=CO，∠COP=60°，
∴△COP为等边三角形，
∴∠CPO=60°，OP=OC，
∴∠CPE=180°-∠CPO=120°=∠COD．
在△COD和△CPE中，，
∴△COD≌△CPE（AAS），
∴OD=PE．
∴BO=BD-OD=AE-PE=AO+OP=AO+OC，
即AO+OC= BO；
（4）判断：①正确，②不正确，
过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△BCD≌△ACE，且CM、CN是对应边AE、BD边上的高，
∴CM=CN，
∴OC为∠BOE的角平分线，故结论①正确；
∵△BCD≌△ACE，而AC、DC不是对应边，
∴O到AC、DC的距离不一定相等，
∴CO不一定平分∠FCG，故结论②不正确．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【例17】 如图ABC，延长BA至点E，BD平分∠ABC，AD平分∠EAC．
（1）求证：∠ACB=2∠ADB；
（2）连接DC，判断AB+AC与BD+DC的大小关系，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见教师；（2）AB+AC【分析】
（1）根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到结论；
（2）在BA的延长线上截取AM，使AM=AC，连接MD，可证△ADC△ADM，结合BM【详解】
解：（1）∵BD平分∠ABC，AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，∠ABC＝2∠ABD，
∵∠EAD-∠ABD=∠ADB，∠EAC-∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB；
（2）在BA的延长线上截取AM，使AM=AC，连接MD．
∵AD平分∠EAC，
∴∠MAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ADC△ADM，
∴DC=MD，
∴BD+DC=BD+MD，AB+AC=AB+AM=BM，
∵在△BMD中，BM∴AB+AC( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边长的关系，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【例18】 如图①，在中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，交BC于E，交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见教师；（2）结论还成立，理由见教师
【分析】
（1）首先由，，根据两直线平行，同位角相等可得，，又由中，是它的角平分线，可得平分，再根据角平分线的性质，即可证得到的距离与到的距离相等；
（2）若点在的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立，同（1）证明即可．
【详解】
（1）证明：，，
，，
∵中，是它的角平分线，
，
，
即平分，
到的距离与到的距离相等；
（2）若点在的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．理由如下：
，，
，，
∵中，是它的角平分线，
，
，
即平分，
到的距离与到的距离相等．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用．
【例19】 在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若，求证：；
（3）当是等腰三角形时，请直接写出所有可能的与的数量关系．
【答案】（1）50°；（2）见教师；（3）、、
【分析】
（1）知道，，，分别为，的垂直平分线，用垂直平分线的性质可求；
（2），分别为，的垂直平分线，可得，求出可证；
（3）分别考虑AE=AG、、AG=GE时这三种情况即可．
【详解】
（1），，
；
，分别为，的垂直平分线，
，，
，，
；
（2），
，
，分别为，的垂直平分线，
，，
在与中，
（3）当是等腰三角形时
①当AE=AG时，
∴∠AEG=∠AGE，
∵，，
∴，
∴
②当时，
∴∠EAG=∠EGA，
∵，，
∴，
∵
∴
∴．
③当AG=GE时，同理可得
综上所述：、、．
【点睛】
此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【例20】 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于26cm．
（1）求的长．
（2）若，且，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）15cm；（2）见教师
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得出，，从而得出，根据等角对等边即可得出答案；
【详解】
解：（1）∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵△BCD的周长等于26cm，
∴BC+CD+BD=26（cm），
∴BC+CD+DA=BC+AC=26（cm），
∵BC=11cm，
∴AC=15（cm），
（2）∵DA=DB，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
模块四：轨迹
点的轨迹：符合某些条件的所有的点的集合．
三个基本轨迹：
（1）和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
（2）在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆．
【例21】 （1）经过点A、B的圆的圆心的轨迹是_____________；
（2）到直线m距离等于a的点的轨迹是_____________________；
（3）以线段AB为腰，点B为底角顶点的等腰三角形另一顶点的轨迹
是___________________．
【答案】略．
【教师】（1）线段AB的垂直平分线；
（2）平行于直线m且到直线m的距离为a的两条直线；
（3）以B为圆心，AB长为半径的圆，去除AB所在直线与圆的交点．
【总结】本题主要考查最常见的三种轨迹．
【例22】 以下说法中错误的是（ ）
A． 到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆
B． 如果P是∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，且PM=PN，那么射线OP是∠AOB的平分线
C． 底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线
D． 经过P、Q两点的圆的圆心的轨迹是PQ的垂直平分线
【答案】C
【教师】底边的中点除外．
【总结】考查点的轨迹的运用．
【例23】 在△ABC内找一点P，使它到△ABC的三个顶点的距离都相等．
【答案】略．
【教师】作任意两条边的垂直平分线，这两条直线的交点即为点P．
【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．
【例24】 作图：
（1） 已知线段a、b，求做直角△ABC，使得∠C=90°，AB=b，BC=a；
（2） 已知∠AOB，点P及线段a，求作点Q，使得点Q到OA、OB的距离相等，且PQ=a．
【答案】略．
【教师】
（1）
（2）点Q 到角两边的距离相等，则点Q在角平分线上，PQ=a，则以P为圆心，a为半径 画圆，与角平分线的交点即为点Q．
【总结】本题主要考查尺规作图的运用．
1．如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则BCE的面积是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】
过点E作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图，过点E作于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，是等腰三角形底边上的中线，
，
平分，，，
，
又，
的面积，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2．如图，的面积是30cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作于点D，连接BD，则的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15cm2 B．14cm2 C．13cm2 D．12cm2
【答案】A
【分析】
由题意得AP平分∠BAC，延长CD交AB于点E，则易得△ADC≌△ADE，则有CD=ED，，由CD=ED可得，最后可得，从而求得结果．
【详解】
由题意得AP平分∠BAC，
即∠CAD=∠EAD
延长CD交AB于点E
∵CD⊥AP
∴∠ADC=∠ADE=90°
∵AD=AD
∴△ADC≌△ADE(ASA)
∴CD=ED，
∴BD是△BEC的边CE上的中线
∴
∴
∴
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了用尺规作角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形中线平分三角形面积的性质等知识；关键和难点是作辅助线．www.21-cn-jy.com
3．如图，AO，BO分别平分，，且点O到AB的距离，的周长为28，则的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7 B．14 C．21 D．28
【答案】D
【分析】
连接OC，过点O作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，则由角平分线的性质定理得：OE=OF=OD=2，再由即可求得结果．21·世纪*教育网
【详解】
解：连接OC，过点O作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，如图
∵AO平分，OE⊥AC， OD⊥AB
∴OE=OD=2
同理：OF=OD=2
∴OE=OF=OD=2
∵
∵
∴
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．21教育名师原创作品
4．如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点、，交于点，连接，．下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分．其中结论正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
由等边三角形的性质得出AB=DB，∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )D=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；由△ABE≌△DBC得到△ABE和△DBC面积等，且AE=CD，从而证得点B到AE、CD的距离相等，利用角平分线判定定理得到点B在角平分线上．
【详解】
解：∵△ABD、△BCE为等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正 ( http: / / www.21cnjy.com )确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP ( http: / / www.21cnjy.com )=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵△ABE≌△DBC
∴AE=CD，S△ABE=S△DBC，
∴点B到AE、CD的距离相等，
∴B点在∠AMC的平分线上，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
5．在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若．
①直接写出的大小；
②求证：．
（2）若图2，若，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）①120°；②见教师；（2）见教师
【分析】
（1）①综合三角形的内角和定理以及角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的定义求解即可；②利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得∠AFD=∠AFH，再结合①的结论进一步证明∠CFH=∠CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；21cnjy.com
（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取 ( http: / / www.21cnjy.com )S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF∥ET，即可对△DEF的面积进行转换，从而得出结论．
【详解】
（1）①解：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，
∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，
∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)= ×120°=60°，
∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；
②证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，
在△ADF和△AHF中，
∴△ADF≌△AHF(SAS)，
∴∠AFD=∠AFH，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFH=∠CFE，
由①可知，∠AFC=120°，
∴∠CFE=180°-120°=60°，
∴AFH=∠CFE=60°，
∴∠CFH=60°，
即：∠CFH=∠CFE，
在△CFH和△CFE中，
∴△CFH≌△CFE(ASA)，
∴CE=CH，
∵AC=AH+CH，
∴AC=AD+CE；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAF=∠SAF，
在△ADF和△ASF中，
∴△ADF≌△ASF(SAS)，
同理可证△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，
∴DF=SF，DE=SE，FT=FE，
∴△DEF≌△SEF，
∴，，，
且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，
由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°，
∴∠CFE=180°-135°=45°，
∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，
∴∠CFT=135°-∠AFS =90°，
∴CF⊥SF，
又∵FT=FE，CT=CE，
∴CF垂直平分EF，
即：CF⊥ET，
∴SF∥ET，
∴，
∴
∵，
∴．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
6．如图，在中，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】（1）见教师；（2）
【分析】
（1）利用基本作作图，作线段AB的垂直平分线即可；
（2）根据线段的垂直平分线的性质得AE＝BE，则∠EAB＝∠B＝60°，然后根据三角形外角性质计算∠AEC的度数．
【详解】
（1）分别以，为圆心，大于长为半径画弧，交于两点；
作经过以上两点的直线，分别交线段于，交于，直线即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）解：是线段的垂直平分线，
，
．
．
【点睛】
本题考查了作图，基本作图：熟练掌握基本作图 ( http: / / www.21cnjy.com )（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
1．已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．
①作的平分线交于点
②过点作于点且
③取中点，连接
④过点作，垂足为
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①③④
【分析】
利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可．
【详解】
解：①、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，
∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；
②、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误；
③、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；
④、利用HL判断出△PCA≌△PCB，
∴CA=CB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
2．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将 ( http: / / www.21cnjy.com )△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：________；(只填写序号)2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①②④
【分析】
根据折叠的全等性质,垂直平分线的性质,平行线的判定定理,外角的性质等判断即可
【详解】
解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，
∴∠1=∠2，A=AC，DC=D，
∴AD垂直平分C′C；
∴①，②都正确；
∵B＝D， DC=D，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴B＝D= DC，
∴∠3=∠B，∠4=∠5，
∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC；
∴③错误；
根据折叠的性质，得∠ACD=∠AD=∠B+∠3=2∠3，
∵∠ACB的角平分线交AD于点E，
∴2（∠6+∠5）=2∠B，
∴
∴D ∥EC
∴④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查了折叠的性质，平行线的判定，外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各种基本性质是解题的关键.www-2-1-cnjy-com
3．如图，在中，点C为直角顶点，，O为斜边的中点，将绕着点O沿逆时针方向旋转至，运动过程中，当恰为轴对称图形时，的度数为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】52°或76°或64°
【分析】
如图1，连接AP，根据直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=26°，于是得到θ=2×26°=52°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×38°=76°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=64°．21*cnjy*com
【详解】
解：∵△BCP恰为轴对称图形，
∴△BCP是等腰三角形，
如图1，连接AP，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵O为斜边中点，OP=OA，
∴BO=OP=OA，
∴∠APB=90°，
当BC=BP时，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，
∴∠ACP=∠APC，
∴AC=AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP=∠ABC=26°，
∴θ=2×26°=52°，
当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BC=CP，BO=PO，
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB=90°，
∵OB=OC，
∴∠BCH=∠ABC=26°，
∴∠CBH=64°，
∴∠OBH=38°，
∴θ=2×38°=76°；
当PB=PC时，如图3，
( http: / / www.21cnjy.com / )
连接PO并延长交BC于G，连接OC，
∵∠ACB=90°，O为斜边中点，
∴OB=OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO=90°，
∵∠ABC=26°，
∴θ=∠BOG=64°，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为52°或76°或64°，
故答案为：52°或76°或64°．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．
4．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 ___．（只填写序号）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①②③④⑤
【分析】
①根据，，即可得解；
②先证明是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得结论；
③根据“边角边”即可证明；
④根据可得，再结合进而可以判断；
⑤由结合④即可得结论．
【详解】
解：①∵，
，
，
，故①正确；
②是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又平分，
是的垂直平分线，
，故②正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
③，，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，故③正确；
④，
，
∵；
；故④正确；
⑤，
，故⑤正确．
综上所述①②③④⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
5．如图，是的角平分线，则__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】BD：DC
【分析】
过点D作DE垂直于AB，DF垂直于AC，由A ( http: / / www.21cnjy.com )D为角BAC的平分线，根据角平分线定理得到DE＝DF，再根据三角形的面积公式表示出△ABD与△ACD的面积之比，进而即可得到答案．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．过点A作AM⊥BC，记AM=h，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∴S△ABD：S△ACD＝（AB DE）：（AC DF）＝AB：AC
∵S△ABD：S△ACD＝（BD h）：（DC h）＝BD：DC，
∴ BD：DC．
故答案是：BD：DC．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质定理：角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问题．
6．如图，在中，AD是角平分线，E，F分别为AC，AB上的点，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）DE与DF有何数量关系？请说明理由．（可根据答卷图中的提示解答）
【答案】（1）见教师；（2），理由见教师
【分析】
（1）及，即可证得结论；
（2）DE=DF．过点D分别作于点M，于点N，由角平分线的性质定理可证明，从而问题解决．
【详解】
（1），
（2），
理由如下：
过点D分别作于点M，于点N，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
是角平分线，
，
，
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定与性质，构造两个垂直是本题的关键．
A
B
C
E
F
D
A
B
C
P
图1
A
B
C
P
图2
A
B
C
P
图3
A
B
C
A
B
O
(2)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第19讲 垂直平分线、角平分线及轨迹
利用线段的垂直平分线和角平分线的性质添加辅助线，解决相关角度与边长之间的关系是几何证明中又一个重点内容，更加完善了证明边角关系的知识体系．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
模块一：线段的垂直平分线
线段的垂直平分线：
（1）线段的垂直平分线的性质定理给我们 ( http: / / www.21cnjy.com )提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有线段的垂直平分线时，往往在线段的垂直平分线上选择适当的点添加线段；
（2）线段的垂直平分线性质定理的逆定理，是证明某个点在某条线上的一个重要方法；
（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等．
【例1】 如图，在中，是的中垂线，分别交，于点，．若的周长为8，，求的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例2】 M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点________、________在线段________的垂直平分线上．21世纪教育网版权所有
【例3】 如图，根据已知条件，填写由此得出的结论．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）∵中，，∴_____．
（2）∵中，，∴垂直平分_____．
（3）∵中，，∴_______．
（4）∵中，，∴________．
【例4】 如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例5】 如图，在中，， ．用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为，交于（只需要保留作图痕迹，不需要写作法）；2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例6】 如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，交的延长线于点F，连结，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例7】 如图，在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：AD是EF的垂直平分线．21*cnjy*com
【例8】 如图，在中，边的垂直平分线相交于点P．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证；
（2）点P是否也在边的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
【例9】 如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作、和、，始终有，请大家考虑一下伞杆与B、C的连线的位置关系为________．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
模块二：角平分线
2、角平分线：
（1）角的平分线性质定理给我们提供了 ( http: / / www.21cnjy.com )证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有角平分线时，往往在角的平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段；【出处：21教育名师】
（2）角平分线性质定理的逆定理，是证明两个角相等的一个重要方法；
（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形三条边的距离相等．
【例10】 如图，已知△ABC和△ADE都 ( http: / / www.21cnjy.com )是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE＝CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB＝45°．其中正确结论的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【例11】 如图，在中，和的平分线、相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
①；
②当时，；
③若，，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【例12】 如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，，且，求的面积．
【例13】 如图，中，是的角平分线，，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例14】 （1）如图1△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，则有：；
（2）如图2：△ABC中，∠ABC的外角角平分线和∠ACB的外角角平分线相交于点P，
则有：；
（3）如图3：△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角角平分线相交于点P，则有：．
【难度】★★
【例15】 已知： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°（_______________），
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
PO＝PO（______________），
PD＝PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（_____________），
∴ ∠ POD＝___________，
∴点P在∠AOB的平分线上．
角平分线的判定：到角两边距离相等的点在________．
几何语言：
∵P是∠AOB 内的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E且PD＝PE，
∴OP是∠AOB的平分线（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
模块三： 综合
【例16】 如图，已知△ABC和△CDE ( http: / / www.21cnjy.com )均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，21cnjy.com
（1）求证：BD=AE ， 并求出∠DOE的度数；
（2）判断△CFG的形状并说明理由；
（3）求证：OA+OC=OB；
（4）判断下列两个结论是否正确，若正确请说明理由：①OC平分∠FOG；②CO平分∠FCG．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例17】 如图ABC，延长BA至点E，BD平分∠ABC，AD平分∠EAC．
（1）求证：∠ACB=2∠ADB；
（2）连接DC，判断AB+AC与BD+DC的大小关系，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例18】 如图①，在中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，交BC于E，交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例19】 在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若，求证：；
（3）当是等腰三角形时，请直接写出所有可能的与的数量关系．
【例20】 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于26cm．
（1）求的长．
（2）若，且，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
模块四：轨迹
点的轨迹：符合某些条件的所有的点的集合．
三个基本轨迹：
（1）和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
（2）在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆．
【例21】 （1）经过点A、B的圆的圆心的轨迹是_____________；
（2）到直线m距离等于a的点的轨迹是_____________________；
（3）以线段AB为腰，点B为底角顶点的等腰三角形另一顶点的轨迹
是___________________．
【例22】 以下说法中错误的是（ ）
A． 到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆
B． 如果P是∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，且PM=PN，那么射线OP是∠AOB的平分线www.21-cn-jy.com
C． 底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线
D． 经过P、Q两点的圆的圆心的轨迹是PQ的垂直平分线
【例23】 在△ABC内找一点P，使它到△ABC的三个顶点的距离都相等．
【例24】 作图：
（1） 已知线段a、b，求做直角△ABC，使得∠C=90°，AB=b，BC=a；
（2） 已知∠AOB，点P及线段a，求作点Q，使得点Q到OA、OB的距离相等，且PQ=a．
1．如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则BCE的面积是（　　）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．6 C．8 D．12
2．如图，的面积是30cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作于点D，连接BD，则的面积是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15cm2 B．14cm2 C．13cm2 D．12cm2
3．如图，AO，BO分别平分，，且点O到AB的距离，的周长为28，则的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7 B．14 C．21 D．28
4．如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点、，交于点，连接，．下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分．其中结论正确的有（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若．
①直接写出的大小；
②求证：．
（2）若图2，若，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
6．如图，在中，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
1．已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．【来源：21cnj*y.co*m】
①作的平分线交于点
②过点作于点且
③取中点，连接
④过点作，垂足为
( http: / / www.21cnjy.com / )
2．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ ( http: / / www.21cnjy.com )ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：________；(只填写序号)21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
3．如图，在中，点C为直角顶点，，O为斜边的中点，将绕着点O沿逆时针方向旋转至，运动过程中，当恰为轴对称图形时，的度数为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
4．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 ___．（只填写序号）
( http: / / www.21cnjy.com / )
5．如图，是的角平分线，则__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
6．如图，在中，AD是角平分线，E，F分别为AC，AB上的点，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）DE与DF有何数量关系？请说明理由．（可根据答卷图中的提示解答）
A
B
C
E
F
D
A
B
C
P
图1
A
B
C
P
图2
A
B
C
P
图3
A
B
C
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑