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(共39张PPT)
第二课时　表示集合的方法
针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
课标要求
素养要求
在集合的表示过程中，经历由具体到抽象，由自然语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
点睛
1.列举法
定义：把集合中的元素__________出来，这叫列举法.
规则：数学里用列举法表示集合，常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用______分隔，无限集一般不能用列举法表示.
一一列举
逗号
列举法对有限集情有独钟，但自然数集、整数集也可用列举法来表示，但不能用来表示实数集.　　
2.描述法
(1)定义：把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这叫做描述法.
(2)规则：有些集合用一句话描述起来不方便，通常在大括号里先写出集合元素的________________，再画一条竖线，然后竖线后列出这些元素要满足的__________.
一般属性或形式
相关条件
数学里最常用的一类集合叫______，设a，b是两个实数，a实数集R可以用区间表示为________________，符号∞读作“无穷大”或“无穷”.－∞和＋∞分别读作“负无穷大”(或“负无穷”)和“正无穷大”(或“正无穷”).
3.区间
区间
(a，b)
[a，b]
(－∞，＋∞)
1.思考辨析，判断正误
(1){1}＝1.( )
提示　{1}表示一个集合，它里面只有一个元素1，两者不相等.
(2){(1，2)}＝{x＝1，y＝2}( )
提示　{(1，2)}＝{(x，y)|x＝1，y＝2}.
(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}.( )
(4){x|x2＝1}＝{－1，1}.( )
(5)区间不可能是空集.( )
×
×
√
√
√
2.用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N＋}为(　　)
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
解析　∵x－2<3，∴x<5.
又x∈N＋，∴x＝1，2，3，4.故选B.
B
3.集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A.方程y＝2x－1
B.点(x，y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
解析　本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D.
D

4.用符号“∈”或“ ”填空.
(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1__________A；
(2)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8__________C，9.1__________C.
解析　(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，
∴－1 A.
(2)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴8∈C，9.1 C.

∈
课堂互动
题型剖析
2
题型一　用列举法表示集合
【例1】　用列举法表示下列集合.
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合.
解　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0，1}.
(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开.
(2)列举法表示的集合的种类
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}；
③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0，1，2，3，…}.
思维升华
【训练1】　用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20的所有素数组成的集合.
解　(1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}.
(2)设由1～20的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
题型二　用描述法表示集合
【例2】　试用描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解　(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号.
(2)说明该集合中元素的性质.
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内.
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.
思维升华
【训练2】　用描述法表示下列集合.
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解　(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
题型三　集合表示的综合应用
【例3】　用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2>6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
解　(1){0，－1}；
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；
(3){x|x>8}；(4){1，2，3，4，5，6}；
解集用列举法表示为{(4，－1)}.
(1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围.
(2)方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示.注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式.
思维升华
【训练3】　(1)下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　)
A.{x|x＝1} B.{y|(y－1)2＝0}
C.{x＝1} D.{1}
解析　由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.
C
②⑤
序号 判断 原因分析
① 否 ①中含两个元素，且都是方程；而方程组的解集中只有一个元素，是一个点
② 能 ②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同
③ 否 ③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素
④ 否 ④没有用花括号“{　　}”括起来，不表示集合
⑤ 能 ⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组的解对应相等
⑥ 否 ⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号(　　)，条件中“或”也要改为“且”
1.通过学习集合的表示方法培养数学抽象与数学运算的素养.
2.一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.下列四个集合中，不同于另外三个的是(　　)
A.{y|y＝2} B.{x＝2}
C.{2} D.{x|x2－4x＋4＝0}
解析　集合A，C，D都表示集合{2}
B
2.下列集合中，是空集的是(　　)
A.{x|x2＋3＝3} B.{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}
C.{x|－x2≥0} D.{x|x2－x＋1＝0}
解析　{x|x2＋3＝3}＝{0}≠?；
函数y＝－x2的图象上有无数多个点，
∴{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}为无限集；
{x|－x2≥0}＝{0}≠?；
方程x2－x＋1＝0，判别式Δ＝1－4<0，无解，
∴{x|x2－x＋1＝0}＝?.
D
A.{2，3} B.{(2，3)}
C.{x＝2，y＝3} D.(2，3)
B
4.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是(　　) A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}
B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}
C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}
D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}
B
解析　由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，
∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合.
5.已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B
C.x1＋x2∈B D.x1＋x2＋x3∈A
解析　∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3为偶数，故D错误.
D
二、填空题
6.集合A＝{x∈R|1≤x<3}用区间表示为________.
[1，3)
7.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________.
解析　根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，有3个元素.
3
8.设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b＋c∈________.
解析　设a＝3k1，k1∈Z，b＝3k2＋1，k2∈Z，c＝3k3－1，k3∈Z，
则a＋b＋c＝3k1＋3k2＋1＋3k3－1＝3(k1＋k2＋k3)，
且k1＋k2＋k3∈Z，
∴a＋b＋c∈M.
M
三、解答题
9.已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相同吗？试说明理由.
解　集合A，B，C互不相同.理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}.
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}.
10.用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正整数因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.
解　(1)用描述法表示为{x∈Q|2(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}.
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}.
11.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是(　　)
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C.{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D.{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5}
解析　对于x＝4s－3，当s依次取1，2，3，4，5时，恰好对应的x的值为1，5，9，13，17.
D
12.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则a＝________，集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.
解析　由题意可知(－5)2－a·(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a}＝{2}，则其所有元素之和为2.
-4
2
13.已知集合A＝{(x，y)|2x－y＋m>0|}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，若(2，3)∈A，(2，3) B，试求实数m，n的取值范围.
解　∵(2，3)∈A，∴2×2－3＋m>0，∴m>－1.
∵(2，3) B，∴2＋3－n>0，∴n<5.
∴实数m，n的取值范围分别是{m|m>－1}，{n|n<5}.
14.设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B.
解　集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.
因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1.
所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0，(共41张PPT)
第1章
1.1 集　合
1.1.1　集　合
第一课时　集合与元素
1.通过实例，了解集合的含义.
2.理解元素与集合的属于关系.
3.理解集合中元素的特征并能利用它们进行解题.
课标要求
素养要求
在集合概念的形成中，经历由具体到抽象的过程，提升数学抽象素养与数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.元素与集合的概念
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个______或____，这些对象中的每一个，都叫做这个集合的一个______.
集合
集
元素
2.元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果____________________，就说a属于S ________ “a属于S”
不属于 如果______________________，就说a不属于S ________ “a不属于S”
a是集合S中的元素
a∈S
a不是集合S中的元素
a S
集合是数学中最基本的概念，具有以下基本属性：
(1)同一集合中的元素是__________的.
(2)集合中的元素是________，亦即给定一个集合，任何一个元素______或________这个集合是确定的.
(3)集合中的元素__________.
3.集合中元素的性质
互不相同
确定的
属于
不属于
没有顺序
通常用R＋表示全体正实数组成的集合；类似的有R－，Z＋，N＋，Q－，….
4.常用数集及表示符号
名称 自然数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ____ ____ ____ ____
N
Z
Q
R
元素个数有限的集合叫________ (或有穷集)，元素无限多的集合叫做________ (或无穷集)，没有元素的集合叫______，记作?；______也是有限集.
5.集合的分类
有限集
无限集
空集
空集
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)漂亮的花可以组成集合.( )
提示　“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.
(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.( )
提示　由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素.
(3)元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相同的.( )
提示　集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合.
×
×
×
2.下列给出的对象中，能组成集合的是(　　)
A.一切很大的数 B.好心人
C.漂亮的小女孩 D.方程x2－1＝0的实数根
D
3.下面说法正确的是(　　)
A.所有在N中的元素都在N＋中
B.所有不在N＋中的数都在Z中
C.所有不在Q中的实数都在R中
D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
C
3
4.方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中元素个数为________.
解析　这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　判断给定的对象能否构成集合
【例1】　考察下列每组对象能否构成一个集合.
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
解　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
思维升华
【训练1】　下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
解析　A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合.
B
题型二　元素与集合的关系
【例2】　给出下列关系：
B
要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.
思维升华

　
　∈

　∈
　∈
　∈

题型三　集合中元素的性质及应用
【例3】　已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
思维升华
【训练3】　已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值.
解　因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合要求.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
1.通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养.
2.研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据.　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.下列各组对象可以构成集合的是(　　)
A
2.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)
A.矩形 B.平行四边形
C.菱形 D.梯形
解析　由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.
D
3.(多选题)下列结论正确的是(　 　)
ABD
D
5.有下列说法：
①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合.
其中正确的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2 N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A.
A
4
解析　①②③④是正确的；⑤是错误的.
7.如果有一个集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是
_______________________.
8.已知集合P中元素x满足：x∈N，且2解析　∵x∈N，26
三、解答题
9.判断下列说法是否正确，并说明理由.
10.已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.若a∈A，试求实数a的值.
解　因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意.
综上所述，满足题意的实数a的值为1.
11.已知集合M有2个元素x，2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是________(填序号).
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
②
解得x≠－1，x≠1且x≠3，
当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0，2，故①可能正确；
当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1，1不满足互异性，故②不正确，③显然正确.
12.在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素.
解析　易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素.
1
13.已知方程ax2－3x＋2＝0，a∈R的实根组成集合A.
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值，并写出该元素；
(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.
4第1章 集合与逻辑
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
康托尔与集合论
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翻开高中数学课本，首先映入眼帘的数学概念是集合.研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，而且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么集合论正是构成这座大厦的基石.其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一.
康托尔(Georg Cantor，1845～1918)，德国数学家，生于俄罗斯圣彼得堡，自幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博士学位，以后一直在哈雷大学任教，从事数学教学与研究.
[读图探新]——发现现象背后的知识
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先生，
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请你告诉我，集合是什么？”而集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动.数学家激动地喊：“找到了，找到了，这就是一个集合”.
问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全一样的吗？网中的“大鱼”能构成集合吗？
问题2：渔民网中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？
问题3：如果有两个渔民都在打鱼，他们各自渔网中的鱼的种类组成两个集合，那么求这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什么运算？将两个渔网中的鱼组成的集合中鱼的种类合在一起的过程又是集合的哪种运算？
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链接：数学家所说的集合是指渔网中的鱼，很显然渔网中的对象都是确定的、无序的和互异的；渔网中的鱼组成的集合是湖中的鱼组成集合的一部分，是湖中鱼构成集合的一个子集；两个渔网中相同鱼的种类组成的集合是两个集合的交集，两个渔网中的鱼的种类合在一起就构成了两个集合的并集.
1.1　集　合
1.1.1　集　合
第一课时　集合与元素
课标要求 素养要求
1.通过实例，了解集合的含义.2.理解元素与集合的属于关系.3.理解集合中元素的特征并能利用它们进行解题. 在集合概念的形成中，经历由具体到抽象的过程，提升数学抽象素养与数学运算素养.
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自主梳理
1.元素与集合的概念
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集，这些对象中的每一个，都叫做这个集合的一个元素.
2.元素与集合的关系　
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合S中的元素，就说a属于S a∈S “a属于S”
不属于 如果a不是集合S中的元素，就说a不属于S a S “a不属于S”
3.集合中元素的性质
集合是数学中最基本的概念，具有以下基本属性：
(1)同一集合中的元素是互不相同的.
(2)集合中的元素是确定的，亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的.
(3)集合中的元素没有顺序.
4.常用数集及表示符号
名称 自然数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N Z Q R
通常用R＋表示全体正实数组成的集合；类似的有R－，Z＋，N＋，Q－，….
5.集合的分类
元素个数有限的集合叫有限集(或有穷集)，元素无限多的集合叫做无限集(或无穷集)，没有元素的集合叫空集，记作?；空集也是有限集.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)漂亮的花可以组成集合.(×)
提示　“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.
(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.(×)
提示　由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素.
(3)元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相同的.(×)
提示　集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合.
2.下列给出的对象中，能组成集合的是(　　)
A.一切很大的数 B.好心人
C.漂亮的小女孩 D.方程x2－1＝0的实数根
答案　D
3.下面说法正确的是(　　)
A.所有在N中的元素都在N＋中
B.所有不在N＋中的数都在Z中
C.所有不在Q中的实数都在R中
D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
答案　C
4.方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中元素个数为________.
答案　3
解析　这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素.
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题型一　判断给定的对象能否构成集合
【例1】　考察下列每组对象能否构成一个集合.
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体.
解　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
思维升华　判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
【训练1】　下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
答案　B
解析　A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合.
题型二　元素与集合的关系
【例2】　给出下列关系：
①∈R；② Q；③|－3| N；④|－|∈Q，⑤0 N，其中正确的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　是实数，①对；
不是有理数，②对；
|－3|＝3是自然数，③错；
|－|＝为无理数，④错；
0是自然数，⑤错.故选B.
思维升华　要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.
【训练2】　用符号“∈”或“ ”填空.
设集合A是正整数的集合，则0________A，______A，(－1)0________A；
(2)设集合D是由满足y＝x2的有序实数对(x，y)组成的，则－1________D，
(－1，1)________D；
(3)设集合M由可表示为a＋b(a∈Z，b∈Z)的实数构成，则0________M，________M，________M.
答案　(1) 　 　∈　(2) 　∈　(3)∈　∈　
解析　(1)0不是正整数，不是正整数，(－1)0＝1是正整数；
(2)－1不是有序实数对，所以－1 D，(－1，1)满足y＝x2，故(－1，1)∈D；
(3)因为0＝0＋0×，所以0∈M，因为＝1＋1×，所以∈M，因为＝＋1×， Z，所以 M.
题型三　集合中元素的性质及应用
【例3】　已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－.
思维升华　利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
【训练3】　已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值.
解　因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合要求.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
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1.通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养.
2.研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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一、选择题
1.下列各组对象可以构成集合的是(　　)
A.正三角形全体 B.的近似值
C.接近10的数 D.比较大的数
答案　A
2.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)
A.矩形 B.平行四边形
C.菱形 D.梯形
答案　D
解析　由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.
3.(多选题)下列结论正确的是(　　)
A.0∈N B.∈Q
C.0 Q D.－1∈Z
答案　ABD
4.已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)
A.0 M B.1∈M
C.－2 M D.2∈M
答案　D
解析　①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2，0，2，故选D.
5.有下列说法：
①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合.
其中正确的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　A
解析　N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2 N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A.
二、填空题
6.已知①∈R；②∈Q；③0 N＋；④π Q；⑤－4 Z.正确的个数为________.
答案　4
解析　①②③④是正确的；⑤是错误的.
7.如果有一个集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________.
答案　x≠0，1，2，
解析　由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0，1，2，.
8.已知集合P中元素x满足：x∈N，且2答案　6
解析　∵x∈N，2三、解答题
9.判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)2，，，，这些数组成的集合有5个元素；
(2)方程(x－3)(x＋1)2＝0的解组成的集合有3个元素.
解　(1)不正确.∵＝，＝，
∴这个集合有3个元素.
(2)不正确.方程(x－3)(x＋1)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素.
10.已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.若a∈A，试求实数a的值.
解　因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意.
综上所述，满足题意的实数a的值为1.
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11.已知集合M有2个元素x，2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是________(填序号).
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
答案　②
解析　依题意
解得x≠－1，x≠1且x≠3，
当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0，2，故①可能正确；
当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1，1不满足互异性，故②不正确，③显然正确.
12.在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素.
答案　1
解析　易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素.
13.已知方程ax2－3x＋2＝0，a∈R的实根组成集合A.
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值，并写出该元素；
(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.
解　(1)若a＝0，则方程为一元一次方程，它有唯一解x＝，符合题意；
若a≠0，则因为A中只有一个元素，所以方程有两个相等的实根.
由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
此时，集合A中只有一个元素.
综上所述，当a＝0时，集合A中只有一个元素；
当a＝时，集合A中只有一个元素.
(2)若集合A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解.
由得a>.
结合(1)，可知实数a的取值范围是a≥或a＝0.
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14.由实数x，－x|x|，，()2，－组成的集合中最多含有________个元素.
答案　4
解析　由题可知x≥0，所以x，－x|x|，，()2，－分别可化为x，－x2，x，x2，－x，故由实数x，－x|x|，，()2，－组成的集合中最多含有4个元素.第二课时　表示集合的方法
课标要求 素养要求
针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 在集合的表示过程中，经历由具体到抽象，由自然语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.
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自主梳理
1.列举法
定义：把集合中的元素一一列举出来，这叫列举法.
规则：数学里用列举法表示集合，常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔，无限集一般不能用列举法表示.
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列举法对有限集情有独钟，但自然数集、整数集也可用列举法来表示，但不能用来表示实数集.　　　
2.描述法
(1)定义：把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这叫做描述法.
(2)规则：有些集合用一句话描述起来不方便，通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后竖线后列出这些元素要满足的相关条件.
3.区间
数学里最常用的一类集合叫区间，设a，b是两个实数，a实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，符号∞读作“无穷大”或“无穷”.－∞和＋∞分别读作“负无穷大”(或“负无穷”)和“正无穷大”(或“正无穷”).
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1){1}＝1.(×)
提示　{1}表示一个集合，它里面只有一个元素1，两者不相等.
(2){(1，2)}＝{x＝1，y＝2}(×)
提示　{(1，2)}＝{(x，y)|x＝1，y＝2}.
(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}.(√)
(4){x|x2＝1}＝{－1，1}.(√)
(5)区间不可能是空集.(√)
2.用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N＋}为(　　)
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
答案　B
解析　∵x－2<3，∴x<5.
又x∈N＋，∴x＝1，2，3，4.故选B.
3.集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A.方程y＝2x－1
B.点(x，y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
答案　D
解析　本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D.
4.用符号“∈”或“ ”填空.
(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1__________A；
(2)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8__________C，9.1__________C.
答案　(1) 　(2)∈　
解析　(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，
∴－1 A.
(2)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴8∈C，9.1 C.
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题型一　用列举法表示集合
【例1】　用列举法表示下列集合.
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合.
解　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0，1}.
思维升华　(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开.
(2)列举法表示的集合的种类
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}；
③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0，1，2，3，…}.
【训练1】　用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20的所有素数组成的集合.
解　(1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}.
(2)设由1～20的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
题型二　用描述法表示集合
【例2】　试用描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解　(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10思维升华　用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号.
(2)说明该集合中元素的性质.
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内.
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.
【训练2】　用描述法表示下列集合.
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解　(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
题型三　集合表示的综合应用
【例3】　用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2>6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
(5)方程组的解集.
解　(1){0，－1}；
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；
(3){x|x>8}；(4){1，2，3，4，5，6}；
(5)解集用描述法表示为，
解集用列举法表示为{(4，－1)}.
思维升华　(1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围.
(2)方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示.注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式.
【训练3】　(1)下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　)
A.{x|x＝1} B.{y|(y－1)2＝0}
C.{x＝1} D.{1}
(2)有下面六种表示方法
①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|；③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥{x，y|x＝－1或y＝2}.
其中，能正确表示方程组的解集的是________(填序号).
答案　(1)C　(2)②⑤
解析　(1)由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.
(2)
序号 判断 原因分析
① 否 ①中含两个元素，且都是方程；而方程组的解集中只有一个元素，是一个点
② 能 ②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同
③ 否 ③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素
④ 否 ④没有用花括号“{　　}”括起来，不表示集合
⑤ 能 ⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组的解对应相等
⑥ 否 ⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号(　　)，条件中“或”也要改为“且”
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1.通过学习集合的表示方法培养数学抽象与数学运算的素养.
2.一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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一、选择题
1.下列四个集合中，不同于另外三个的是(　　)
A.{y|y＝2} B.{x＝2}
C.{2} D.{x|x2－4x＋4＝0}
答案　B
解析　集合A，C，D都表示集合{2}
2.下列集合中，是空集的是(　　)
A.{x|x2＋3＝3}
B.{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}
C.{x|－x2≥0}
D.{x|x2－x＋1＝0}
答案　D
解析　{x|x2＋3＝3}＝{0}≠?；
函数y＝－x2的图象上有无数多个点，
∴{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}为无限集；
{x|－x2≥0}＝{0}≠?；
方程x2－x＋1＝0，判别式Δ＝1－4<0，无解，
∴{x|x2－x＋1＝0}＝?.
3.将集合用列举法表示，正确的是(　　)
A.{2，3} B.{(2，3)}
C.{x＝2，y＝3} D.(2，3)
答案　B
解析　解方程组得所以用列举法表示为{(2，3)}.
4.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是(　　)
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A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}
B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}
C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}
D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}
答案　B
解析　由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，
∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合.
5.已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B
C.x1＋x2∈B D.x1＋x2＋x3∈A
答案　D
解析　∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3为偶数，故D错误.
二、填空题
6.集合A＝{x∈R|1≤x<3}用区间表示为________.
答案　[1，3)
7.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________.
答案　3
解析　根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，有3个元素.
8.设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b＋c∈________.
答案　M
解析　设a＝3k1，k1∈Z，b＝3k2＋1，k2∈Z，c＝3k3－1，k3∈Z，
则a＋b＋c＝3k1＋3k2＋1＋3k3－1＝3(k1＋k2＋k3)，
且k1＋k2＋k3∈Z，
∴a＋b＋c∈M.
三、解答题
9.已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相同吗？试说明理由.
解　集合A，B，C互不相同.理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}.
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}.
10.用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正整数因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.
解　(1)用描述法表示为{x∈Q|2(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}.
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}.
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11.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是(　　)
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C.{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D.{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5}
答案　D
解析　对于x＝4s－3，当s依次取1，2，3，4，5时，恰好对应的x的值为1，5，9，13，17.
12.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则a＝________，集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.
答案　－4　2
解析　由题意可知(－5)2－a·(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a}＝{2}，则其所有元素之和为2.
13.已知集合A＝{(x，y)|2x－y＋m>0|}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，若(2，3)∈A，(2，3) B，试求实数m，n的取值范围.
解　∵(2，3)∈A，∴2×2－3＋m>0，∴m>－1.
∵(2，3) B，∴2＋3－n>0，∴n<5.
∴实数m，n的取值范围分别是{m|m>－1}，{n|n<5}.
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14.设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B.
解　集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.
因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1.
由根与系数的关系得解得
所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0，
解得x＝－3±2，
所以B＝{－3－2，－3＋2}.

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