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1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命　题
理解命题的概念和命题的构成，能判断给定的陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式.
课标要求
素养要求
通过学习体会数学抽象及逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.命题的概念
判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一，这种语句叫做______，成立的命题叫作________，不成立的叫作________.
命题
真命题
假命题
2.猜想的概念
数学中暂时不知道真假的命题可以叫作______.
猜想
如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的______，记作______读作“______”，显然p也是綈p的否定，在p和綈p两者之中，一定有一个为____，有一个为____.
3.否定
否定
綈p
非p
真
假
命题都具有“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的______，q叫作命题的______.
条件和结论互换了位置这时称一个是另一个的________.
4.命题的构成及逆命题
条件
结论
逆命题
1.思考辨析，判断正误
(1)任何命题都由条件和结论构成.( )
(2)并非所有的语句都是命题.( )
(3)所有三角形的内角和均为180°( )
√
√
√
2.下列语句中，不能成为命题的是(　　)
A.5>12
B.x>0
C.若a＝b，b＝c，则a＝c
D.三角形的三条中线交于一点
解析　分析各语句是否能判断出真假，A假，C真，D真，在未给x赋值之前，不能判断x>0的真假，所以x>0不是命题.
B
3.命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为__________________，结论为____________________.
等腰三角形
两个底角相等
课堂互动
题型剖析
2
题型一　命题的概念与命题真假的判断
【例1】　判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假.
(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)所有的质数都是奇数；
(4)5x>4x；
(5)x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(6)未来是多么美好啊！
(7)你是高二的学生吗？
(8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.
解　(1)是命题，而且是真命题.
(2)是命题，且是假命题.如图所示，四边形ABCD，
当AB＝AD，BC＝CD且AB≠BC时，对角线AC也垂直于BD.
(3)是命题，且是假命题.因为2是质数，但不是奇数.
(4)不是命题.因为x是未知数，不能判断真假.
(5)是命题，而且是真命题.因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立.
(6)是感叹句，不涉及真假，不是命题.
(7)是疑问句，不涉及真假，不是命题.
并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
思维升华
【训练1】　下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由.
(1)x≥16；
(2)一个实数不是正数就是负数；
(3)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；
(4)空集是任何非空集合的真子集；
(5)指数函数是增函数吗？
解　(1)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.
(2)是假命题.因为0既不是正数也不是负数.
(3)是真命题.代入验证即可.
(4)是真命题.由空集的定义和性质不难得出.
(5)不是命题.因为是疑问句无法判断真假.
题型二　命题结构的转换
【例2】　(1)“在同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”改为“若p，则q”的形式.
解　命题的条件：在同一个平面内，两条直线平行于同一条直线.
命题的结论：这两条直线平行.
“若p，则q”的形式：在同一个平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行.
解　①已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2，假命题.
③若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0，真命题.
④若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，真命题.
命题改写中的注意事项
任何命题都由条件和结论构成，“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论是隐含的，还需要把这个命题补充完整后再进行改写.
思维升华
【训练2】　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假.
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)负数的立方仍是负数.
解　(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数.真命题.
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根.假命题.
(3)若一个数是负数，则它的立方仍是负数.真命题.
题型三　命题的否定
【例3】　判断下列命题的真假并写出它们的否定.
(1)若p≤1，则方程为x2＋2x＋p＝0有实根；
(2)若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；
(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为0.
解　(1)真命题，否定：若p≤1，则方程x2＋2x＋p＝0无实根.
(2)真命题，否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是偶数.
(3)真命题，否定：若x2＋y2＝0，则x，y不全为0.
一个命题的否定与原命题的真假相反，命题的否定只要否定命题的结论即可.
思维升华
【训练3】　判断下列命题的真假，并写出命题的否定.
(1)若一个平面四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点.
解　(1)真命题，否定：若一个平面四边形的对角互补，则该四边形不是圆的内接四边形.
(2)假命题，否定：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴无交点.
1.通过对命题概念及真假的判断的学习，提升数学抽象及逻辑推理素养.
2.判断一个语句是否为命题的一般思路：先看该语句是否为陈述句，若不是陈述句，就不是命题；若是陈述句，再看该语句是否能判断真假，若能判断真假就是命题，否则，就不是命题.　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析　①③④是命题.
C
2.命题“若a，b是任意实数，则|a|＋|b|>0”的逆命题是(　　)
A.若a，b是任意实数，则|a|＋|b|＝0
B.若a，b是任意实数，则|a|＋|b|≤0
C.若|a|＋|b|>0，则a，b是任意实数
D.若|a|＋|b|≤0，则a，b是任意实数
解析　逆命题的条件为原命题的结论，结论为原命题的条件.
C
3.命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为(　　)
A.若两个三角形全等，则它们的面积相等
B.若两个三角形的面积相等，则两个三角形全等
C.若两个三角形的面积相等，则两个三角形不全等
D.若两个三角形不全等，则它们的面积不相等
解析　若p，则q的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等.
A
4.命题“相似三角形的面积一定相等”的否定是(　　)
A.相似三角形的面积一定不相等
B.相似三角形的面积不一定相等
C.相似三角形的面积可能相等
D.相似三角形的面积无法判断是否相等
解析　命题的否定只否定结论即可.
B
5.有下列命题：①(a＋1)x2＋4ax＋1＝0是一元二次方程；②一次函数y＝kx＋2与y轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.其中真命题有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　命题①中，当a＝－1时，方程是一元一次方程；命题②中，一次函数y＝kx＋2与y轴有一个交点(0，2)，故②为真命题；命题④中，空集不是空集的真子集；命题③为真命题.
B
二、填空题
6.命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆命题为_______________________.
若a＋b是偶数，则a，b都是偶数
7.命题“实数的平方是非负数”的否定为___________________.
实数的平方是负数
8.已知下列四个命题：
①a是正数；②b是负数；③a＋b是负数；④ab是非正数.
选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题是_______________
_________________________.
若a是正数且a＋b
是负数，则b是负数
三、解答题
9.判断下列命题的真假.
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若两三角形的两对角分别相等，则这两三角形全等.
解　(1)为假命题，当c＝0时不成立.
(2)该命题为假命题.
10.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.
(1)36是12和18的最小公倍数；
(2)当a>1时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根；
(3)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
解　(1)命题：若一个数是36，则它是12和18的最小公倍数.其是真命题.
(2)命题：若a>1，则方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根.其是假命题.
(3)命题：已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.其是假命题.
11.(多选题)下列命题是假命题的是(　 　)
A.mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B.抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点
C.“若a＝b，则a＋c＝b＋c”是真命题
D.一个数不是合数就是质数
ABD
解析　A中当m＝0时不是一元二次方程；B中当Δ<0时不成立；C是真命题；D是假命题，1既不是合数也不是质数.
12.有下列三个命题，其中真命题的序号是________.
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的逆命题.
③“矩形的对角线互相垂直”的逆命题.
解析　①的逆命题：若x，y互为倒数则xy＝1，为真命题；②的逆命题：周长相等的三角形为相似三角形，为假命题；③的逆命题：对角线互相垂直的四边形为矩形，为假命题.
①
13.已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根.若p和q都为假命题，求m的取值范围.
解得m>2，即p：m>2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0.
解得1∵p和q都为假命题，
∴{m|m≤2}∩{m|m≤1，或m≥3}＝{m|m≤1}.
∴m的取值范围是{m|m≤1}.
14.设A，B为两个集合，下列四个命题：
①A?B 对任意x∈A，有x B；
②A?B A∩B＝?；
③A?B A?B；
④A?B 存在x∈A，使得x B.
其中真命题的序号是________.
④
解析　若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则集合A，B满足A?B，但2∈A，2∈B，故①，②错.若取A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A，B满足A ?B，但A B，故③是错误的.1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命　题
课标要求 素养要求
理解命题的概念和命题的构成，能判断给定的陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式. 通过学习体会数学抽象及逻辑推理素养.
INCLUDEPICTURE "../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.命题的概念
判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一，这种语句叫做命题，成立的命题叫作真命题，不成立的叫作假命题.
2.猜想的概念
数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想.
3.否定
如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作綈p读作“非p”，显然p也是綈p的否定，在p和綈p两者之中，一定有一个为真，有一个为假.
4.命题的构成及逆命题
命题都具有“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论.
条件和结论互换了位置这时称一个是另一个的逆命题.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)任何命题都由条件和结论构成.(√)
(2)并非所有的语句都是命题.(√)
(3)所有三角形的内角和均为180°(√)
2.下列语句中，不能成为命题的是(　　)
A.5>12
B.x>0
C.若a＝b，b＝c，则a＝c
D.三角形的三条中线交于一点
答案　B
解析　分析各语句是否能判断出真假，A假，C真，D真，在未给x赋值之前，不能判断x>0的真假，所以x>0不是命题.
3.命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为________，结论为______________.
答案　等腰三角形　两个底角相等
4.命题“若α＝，则tan α＝1”的否定为________.
答案　若α＝，则tan α≠1.
INCLUDEPICTURE "../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　命题的概念与命题真假的判断
【例1】　判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假.
(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)所有的质数都是奇数；
(4)5x>4x；
(5)x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(6)未来是多么美好啊！
(7)你是高二的学生吗？
(8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.
解　(1)是命题，而且是真命题.(2)是命题，且是假命题.如图所示，四边形ABCD，当AB＝AD，BC＝CD且AB≠BC时，对角线AC也垂直于BD.(3)是命题，且是假命题.因为2是质数，但不是奇数.(4)不是命题.因为x是未知数，不能判断真假.(5)是命题，而且是真命题.因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立.(6)是感叹句，不涉及真假，不是命题.(7)是疑问句，不涉及真假，不是命题.(8)是命题，且是假命题.如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数.
INCLUDEPICTURE "../../B3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../B3.TIF" \* MERGEFORMAT
思维升华　并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
【训练1】　下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由.
(1)x≥16；
(2)一个实数不是正数就是负数；
(3)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；
(4)空集是任何非空集合的真子集；
(5)指数函数是增函数吗？
解　(1)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.
(2)是假命题.因为0既不是正数也不是负数.
(3)是真命题.代入验证即可.
(4)是真命题.由空集的定义和性质不难得出.
(5)不是命题.因为是疑问句无法判断真假.
题型二　命题结构的转换
【例2】　(1)“在同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”改为“若p，则q”的形式.
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.
①已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
②当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
③当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
④当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.
解　(1)命题的条件：在同一个平面内，两条直线平行于同一条直线.
命题的结论：这两条直线平行.
“若p，则q”的形式：在同一个平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行.
(2)①已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2，假命题.
②若m>，则mx2－x＋1＝0无实根，真命题.
③若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0，真命题.
④若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，真命题.
思维升华　命题改写中的注意事项
任何命题都由条件和结论构成，“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论是隐含的，还需要把这个命题补充完整后再进行改写.
【训练2】　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假.
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)负数的立方仍是负数.
解　(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数.真命题.
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根.假命题.
(3)若一个数是负数，则它的立方仍是负数.真命题.
题型三　命题的否定
【例3】　判断下列命题的真假并写出它们的否定.
(1)若p≤1，则方程为x2＋2x＋p＝0有实根；
(2)若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；
(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为0.
解　(1)真命题，否定：若p≤1，则方程x2＋2x＋p＝0无实根.
(2)真命题，否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是偶数.
(3)真命题，否定：若x2＋y2＝0，则x，y不全为0.
思维升华　一个命题的否定与原命题的真假相反，命题的否定只要否定命题的结论即可.
【训练3】　判断下列命题的真假，并写出命题的否定.
(1)若一个平面四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点.
解　(1)真命题，否定：若一个平面四边形的对角互补，则该四边形不是圆的内接四边形.
(2)假命题，否定：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴无交点.
INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.通过对命题概念及真假的判断的学习，提升数学抽象及逻辑推理素养.
2.判断一个语句是否为命题的一般思路：先看该语句是否为陈述句，若不是陈述句，就不是命题；若是陈述句，再看该语句是否能判断真假，若能判断真假就是命题，否则，就不是命题.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.下列语句中，是命题的有(　　)
①? A；②x>1；③若a是素数，则a是偶数；
④＝2.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案　C
解析　①③④是命题.
2.命题“若a，b是任意实数，则|a|＋|b|>0”的逆命题是(　　)
A.若a，b是任意实数，则|a|＋|b|＝0
B.若a，b是任意实数，则|a|＋|b|≤0
C.若|a|＋|b|>0，则a，b是任意实数
D.若|a|＋|b|≤0，则a，b是任意实数
答案　C
解析　逆命题的条件为原命题的结论，结论为原命题的条件.
3.命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为(　　)
A.若两个三角形全等，则它们的面积相等
B.若两个三角形的面积相等，则两个三角形全等
C.若两个三角形的面积相等，则两个三角形不全等
D.若两个三角形不全等，则它们的面积不相等
答案　A
解析　若p，则q的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等.
4.命题“相似三角形的面积一定相等”的否定是(　　)
A.相似三角形的面积一定不相等
B.相似三角形的面积不一定相等
C.相似三角形的面积可能相等
D.相似三角形的面积无法判断是否相等
答案　B
解析　命题的否定只否定结论即可.
5.有下列命题：①(a＋1)x2＋4ax＋1＝0是一元二次方程；②一次函数y＝kx＋2与y轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.其中真命题有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案　B
解析　命题①中，当a＝－1时，方程是一元一次方程；命题②中，一次函数y＝kx＋2与y轴有一个交点(0，2)，故②为真命题；命题④中，空集不是空集的真子集；命题③为真命题.
二、填空题
6.命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆命题为________.
答案　若a＋b是偶数，则a，b都是偶数
7.命题“实数的平方是非负数”的否定为________.
答案　实数的平方是负数
8.已知下列四个命题：
①a是正数；②b是负数；③a＋b是负数；④ab是非正数.
选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题是____________.
答案　若a是正数且a＋b是负数，则b是负数
三、解答题
9.判断下列命题的真假.
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若两三角形的两对角分别相等，则这两三角形全等.
解　(1)为假命题，当c＝0时不成立.
(2)该命题为假命题.
10.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.
(1)36是12和18的最小公倍数；
(2)当a>1时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根；
(3)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
解　(1)命题：若一个数是36，则它是12和18的最小公倍数.其是真命题.
(2)命题：若a>1，则方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根.其是假命题.
(3)命题：已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.其是假命题.
INCLUDEPICTURE "../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.(多选题)下列命题是假命题的是(　　)
A.mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B.抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点
C.“若a＝b，则a＋c＝b＋c”是真命题
D.一个数不是合数就是质数
答案　ABD
解析　A中当m＝0时不是一元二次方程；B中当Δ<0时不成立；C是真命题；D是假命题，1既不是合数也不是质数.
12.有下列三个命题，其中真命题的序号是________.
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的逆命题.
③“矩形的对角线互相垂直”的逆命题.
答案　①
解析　①的逆命题：若x，y互为倒数则xy＝1，为真命题；②的逆命题：周长相等的三角形为相似三角形，为假命题；③的逆命题：对角线互相垂直的四边形为矩形，为假命题.
13.已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根.若p和q都为假命题，求m的取值范围.
解　若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则
解得m>2，即p：m>2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0.
解得1∵p和q都为假命题，
∴{m|m≤2}∩{m|m≤1，或m≥3}＝{m|m≤1}.
∴m的取值范围是{m|m≤1}.
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14.设A，B为两个集合，下列四个命题：
①A?B 对任意x∈A，有x B；
②A?B A∩B＝?；
③A?B A?B；
④A?B 存在x∈A，使得x B.
其中真命题的序号是________.
答案　④
解析　若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则集合A，B满足A B，但2∈A，2∈B，故①，②错.若取A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A，B满足A B，但A B，故③是错误的.

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