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(共37张PPT)
1.2.2　充分条件和必要条件
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
3.通过典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解其数学定义与充要条件的关系.
课标要求
素养要求
通过对必要条件、充分条件、充要条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件、充要条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.充分条件与必要条件
(1)当“若p，则q”成立，即p q时，把p叫作q的__________，q叫做p的__________.
(2)p q可以理解为若p成立，则q一定成立，即p对于q的成立是______的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是______的.
(3)若p q，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件.
充分条件
必要条件
充分
必要
2.充要条件
(1)如果既有p q，又有q p，就记作p q.即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的______________，简称__________.
(2)如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的______和______互为充分必要条件.
(3)p是q的充分必要条件是指p成立__________q成立.
充分必要条件
充要条件
条件
结论
当且仅当
1.思考辨析，判断正误
(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的.( )
提示　不是唯一的，使结论成立的条件有多个.
(2)“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.( )
(3)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.( )
(4)xy>0是x>0，y>0的充要条件.( )
提示　必要不充分条件.
×
√
√
×
2.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).
必要
3.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件.
充要
解析　当x>1时，x3>1，当x3>1时，x>1.
充分
4.“a＝b”是“ac＝bc”的______条件(填“充分”或“必要”).
课堂互动
题型剖析
2
题型一　充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】　下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
解　(1)∵a＋b＝0 a2＋b2＝0；
a2＋b2＝0 a＋b＝0，
∴p是q的必要而不充分条件.
(2)∵四边形的对角线相等 四边形是矩形；
四边形是矩形 四边形的对角线相等，
∴p是q的必要而不充分条件.
判断充分条件和必要条件的方法：一是定义法；二是集合法，P是Q的充分不必要条件 集合P?Q，P是Q的必要而不充分条件 集合P?Q，P是Q的充要条件 集合P＝Q，P是Q的既不充分又不必要条件 集合P Q，且P Q；三是传递法，对于较复杂的关系，常用 ， 等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.
思维升华
【训练1】　指出下列各组命题中p是q的什么条件？
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(4)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
解　(1)因为x－2＝0 (x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0 x－2＝0，所以p是q的充分而不必要条件.
(2)因为两个三角形相似 两个三角形全等；但两个三角形全等 两个三角形相似，所以p是q的必要而不充分条件.
(3)在△ABC中，显然有∠A>∠B BC>AC，所以p是q的充要条件.
(4)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6 x＋y＝8，所以x＋y≠8 x≠2或y≠6，故p是q的充分而不必要条件.
题型二　充要条件的证明
【例2】　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明　先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p q.
思维升华
【训练2】　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型三　根据必要条件(充分条件)求参数的范围
【例3】　(1)已知P＝{x|a－4(2)已知p：a≤x≤a＋1，q：0解析　(1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P，
{a|－1≤a≤5}　
{a|0根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
思维升华
【训练3】　(1)若“x2或x<1”的充分而不必要条件，求m的取值范围.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且q是p的充分而不必要条件，求a的取值范围.
解　(1)由已知条件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1.
∴m的取值范围是(－∞，1]
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，
∴a≥1.
∴a的取值范围是[1，＋∞).
1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.
2.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.
4.充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.　　　　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析　∵a≤b≤c，∴a2＋b2＝c2 △ABC为直角三角形，故选C.
C
2.已知p：－2A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析　p：－2q：－1∵{x|－1∴p是q的必要而不充分条件，选B.
B
3.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析　当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，
所以p是q的充分而不必要条件.故选A.
A
C
5.“x＝1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为(　　)
D
解析　由题意，{1}是{x|x≤a}的子集，∴a≥1.故选D.
二、填空题
6.p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形全等，则p是q的________条件.
解析　p q，q p，故p是q的充要条件.
充要
7.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的充要条件是___________.
k<0且b≥0
解析　如图所示，要使一次函数y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则需k<0且b≥0.
充分而不必要
三、解答题
9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个作答).
(1)p：x－2＝0，q：x2－x－2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形为平行四边形；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解　(1)x－2＝0 x2－x－2＝0，但x2－x－2＝0 x－2＝0，故p是q的充分而不必要条件.
(2)对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，平行四边形的对角线不一定相等，故p是q的既不充分又不必要条件.
(3)a>b a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c a>b，故p是q的充要条件.
10.不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求a的值.
11.设A，B，C三个集合，则A?B是A?(B∪C)的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
A
解析　A?B A?(B∪C),但A?(B∪C) A?B，例如A＝Z，B＝N，C＝R，
所以A?B是A?(B∪C)的充分不必要条件，故选A.
12.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件但不是必要条件是(　　)
A.x＋y＝2 B.x＋y>2
C.x2＋y2>2 D.xy>1
解析　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意.
B
13.已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
证明　充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程.
综上知，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
14.已知p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，q：1－m≤a≤1＋m，m>0.若q是p的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
解　∵q是p的必要而不充分条件，∴p是q的充分而不必要条件.
对于p，依题意，知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，
∴－2≤a≤10.
设P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{a|1－m≤a≤1＋m，m>0}，
由题意知P?Q，
∴实数m的取值范围是[9，＋∞).1.2.2　充分条件和必要条件
课标要求 素养要求
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.通过典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解其数学定义与充要条件的关系. 通过对必要条件、充分条件、充要条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件、充要条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
INCLUDEPICTURE "../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.充分条件与必要条件
(1)当“若p，则q”成立，即p q时，把p叫作q的充分条件，q叫做p的必要条件.
(2)p q可以理解为若p成立，则q一定成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的.
(3)若pDq，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件.
2.充要条件
(1)如果既有p q，又有q p，就记作p q.即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件.
(2)如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件.
(3)p是q的充分必要条件是指p成立当且仅当q成立.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的.(×)
提示　不是唯一的，使结论成立的条件有多个.
(2)“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.(√)
(3)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.(√)
(4)xy>0是x>0，y>0的充要条件.(×)
提示　必要不充分条件.
2.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).
答案　必要
3.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件.
答案　充要
解析　当x>1时，x3>1，当x3>1时，x>1.
4.“a＝b”是“ac＝bc”的______条件(填“充分”或“必要”).
答案　充分
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题型一　充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】　下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根.
解　(1)∵a＋b＝0Da2＋b2＝0；
a2＋b2＝0 a＋b＝0，
∴p是q的必要而不充分条件.
(2)∵四边形的对角线相等D四边形是矩形；
四边形是矩形 四边形的对角线相等，
∴p是q的必要而不充分条件.
(3)∵x＝1或x＝2 x－1＝；
x－1＝ x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件.
(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，
即m<－.∵m<－1 m<－；m<－Dm<－1，
∴p是q的充分而不必要条件.
思维升华　判断充分条件和必要条件的方法：一是定义法；二是集合法，P是Q的充分不必要条件 集合P?Q，P是Q的必要而不充分条件 集合P?Q，P是Q的充要条件 集合P＝Q，P是Q的既不充分又不必要条件 集合P Q，且P Q；三是传递法，对于较复杂的关系，常用 ，D等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.
【训练1】　指出下列各组命题中p是q的什么条件？
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(4)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
解　(1)因为x－2＝0 (x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0Dx－2＝0，所以p是q的充分而不必要条件.
(2)因为两个三角形相似D两个三角形全等；但两个三角形全等 两个三角形相似，所以p是q的必要而不充分条件.
(3)在△ABC中，显然有∠A>∠B BC>AC，所以p是q的充要条件.
(4)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6 x＋y＝8，所以x＋y≠8 x≠2或y≠6，故p是q的充分而不必要条件.
题型二　充要条件的证明
【例2】　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明　先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
思维升华　一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p q.
【训练2】　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型三　根据必要条件(充分条件)求参数的范围
【例3】　(1)已知P＝{x|a－4(2)已知p：a≤x≤a＋1，q：0答案　(1){a|－1≤a≤5}　(2){a|0解析　(1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P，
所以即
所以－1≤a≤5.
(2)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分而不必要条件，
∴M?N，
∴
解得0思维升华　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【训练3】　(1)若“x2或x<1”的充分而不必要条件，求m的取值范围.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且q是p的充分而不必要条件，求a的取值范围.
解　(1)由已知条件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1.
∴m的取值范围是(－∞，1]
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，
∴a≥1.
∴a的取值范围是[1，＋∞).
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1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.
2.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.
4.充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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一、选择题
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案　C
解析　∵a≤b≤c，∴a2＋b2＝c2 △ABC为直角三角形，故选C.
2.已知p：－2A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案　B
解析　p：－2q：－1∵{x|－1∴p是q的必要而不充分条件，选B.
3.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案　A
解析　当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，
所以p是q的充分而不必要条件.故选A.
4.使“x∈”成立的一个充分而不必要条件是(　　)
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{－1，3，5} D.x≤－或x≥3
答案　C
解析　选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈
”成立的一个充分而不必要条件.
5.“x＝1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为(　　)
A.a＝ B.a<
C.a<1 D.a≥1
答案　D
解析　由题意，{1}是{x|x≤a}的子集，∴a≥1.故选D.
二、填空题
6.p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形全等，则p是q的________条件.
答案　充要
解析　p q，q p，故p是q的充要条件.
7.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的充要条件是________.
答案　k<0且b≥0
解析　如图所示，要使一次函数y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则需k<0且b≥0.
INCLUDEPICTURE "../../补1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../补1.TIF" \* MERGEFORMAT
8.“a>1”是“<1”的________条件.
答案　充分而不必要
解析　若a>1，则<1，反之要<1，当a<0时也成立，不能推出a>1.
三、解答题
9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个作答).
(1)p：x－2＝0，q：x2－x－2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形为平行四边形；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解　(1)x－2＝0 x2－x－2＝0，但x2－x－2＝0Dx－2＝0，故p是q的充分而不必要条件.
(2)对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，平行四边形的对角线不一定相等，故p是q的既不充分又不必要条件.
(3)a>b a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c a>b，故p是q的充要条件.
10.不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求a的值.
解　3x＋a≥0化为x≥－.
由题意＝{x|x≥2}，
所以－＝2，a＝－6.
INCLUDEPICTURE "../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.设A，B，C三个集合，则A?B是A?(B∪C)的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案　A
解析　A?B A?(B∪C)，但A?(B∪C) A?B，例如A＝Z，B＝N，C＝R，所以A?B是A?(B∪C)的充分不必要条件，故选A.
12.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件但不是必要条件是(　　)
A.x＋y＝2 B.x＋y>2
C.x2＋y2>2 D.xy>1
答案　B
解析　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意.
13.已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
证明　充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
∵ac<0，∴x1·x2＝<0，∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程.
设两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0，∴ac<0.
综上知，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.已知p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，q：1－m≤a≤1＋m，m>0.若q是p的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
解　∵q是p的必要而不充分条件，∴p是q的充分而不必要条件.
对于p，依题意，知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，
∴－2≤a≤10.
设P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{a|1－m≤a≤1＋m，m>0}，
由题意知P?Q，
∴或解得m≥9，
∴实数m的取值范围是[9，＋∞).

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