资源简介

1.2.3　全称量词和存在量词
第一课时　含有量词的命题
课标要求 素养要求
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
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自主梳理
1.量词
“每一个”和“有一个”叫作量词，两者分别叫作全称量词和存在量词.
2.全称命题
“任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号“ ”表示.设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M(当x取值a∈M时，p(a)成为一个命题).则语句“对M的任意一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫做全称命题.用符号简单的表示为 x∈M，p(x).
3.特称命题
“存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号“ ”表示.语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作特称命题，用符号简单的表示为 x∈M，p(x).
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)“有些三角形中三个内角相等”是特称命题.(√)
(2)特称命题“ x∈R，x2＜0”是真命题.(×)
提示　不存在x∈R，使得x2<0成立.
(3)“三角形内角和是180°”是全称命题.(√)
(4)“ x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(√)
(5)“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×)
提示　是无理数，但()2＝3是有理数.
2.下列不是全称量词的是(　　)
A.任意一个 B.所有的
C.每一个 D.很多
答案　D
解析　很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词.
3.下列不是存在量词的是(　　)
A.有些 B.至少有一个
C.有一个 D.所有
答案　D
解析　A，B，C中的量词都是存在量词，D中的量词是全称量词，故选D.
4.(多选题)下列特称命题中，是真命题的是(　　)
A. x∈Z，x2－2x－3＝0
B.至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C. x∈R，|x|<0
D.有些自然数是奇数
答案　ABD
解析　A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；
B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；
D中，3既是自然数又是奇数，所以D是真命题；
C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题.故选ABD.
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题型一　全称命题与特称命题的识别
【例1】　判断下列命题是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.
解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.
思维升华　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练1】　判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解　(1)全称命题.表示为 n∈N，n2≥0.
(2)特称命题. 一次函数，它的图象过原点.
(3)全称命题. 二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二　全称命题与特称命题的真假的判断
【例2】　判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意矩形的对角线相等；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解　(1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)是真命题.
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以特称命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
思维升华　判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.
【训练2】　判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2) x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3) x∈R，x2>0.
解　(1)该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是特称命题.
∵2x2＋x＋1＝2＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称命题.
x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
题型三　依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例3】　已知命题p： x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图象总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围.
解　命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图象总在x轴上方，显然不能恒成立；
②当a≠0时，由二次函数y＝ax2＋2x＋3的图象总在x轴上方，得即∴a>.
综上，a的取值范围为.
思维升华　根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
【训练3】　命题p：任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.
解　因为一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，如图所示，故b≥0.
INCLUDEPICTURE "../../../补2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../补2.TIF" \* MERGEFORMAT
所以实数b的取值范围为[0，＋∞).
INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.
3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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一、选择题
1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何正方形都是平行四边形.
其中全称命题的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　命题①②④都是全称命题.
2.下列命题中特称命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题.
3.已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，4) B.(4，＋∞)
C.(－∞，0) D .[4，＋∞)
答案　B
解析　∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.
4.下列四个命题：
①一切实数均有相反数；② a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.
其中，真命题的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；④为真命题.
5.下列全称命题中真命题的个数为(　　)
①对于任意实数x，都有x＋2>x；
②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立；
③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④ x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　①②③为真命题，当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，故④为假命题.
二、填空题
6.给出下列三个命题：
① x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；
③ x，y∈R，x2＋y2≤1.
其中全称命题是________(填序号).
答案　①②
解析　②省略了量词“所有的”.
7.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案　{a|a≤3}
解析　对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
8.命题p： x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”).
答案　特称命题　假
三、解答题
9.试判断下列全称命题的真假：
(1) x∈R，x2＋1≥2；
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
(3)每个二次函数都有最小值.
解　(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“ x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.
(3)对于y＝ax2＋bx＋c，当a<0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.
10.判断下列特称命题的真假：
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
解　(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
∴“ x∈Z，x3<1”是真命题.
(2)真命题，如梯形.
(3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题.
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11.(多选题)命题“ 1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≥9 B.a≥11
C.a≥10 D.a≤10
答案　BC
解析　当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max，因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9，因为a≥9a≥10，a≥10 a≥9，又a≥9 a≥11，a≥11 a≥9，选BC.
12.给出下列命题：
① x∈R，x2－3x＋4>0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________.
答案　1
解析　∵对于二次函数y＝x2－3x＋4，Δ＝(－3)2－4×4<0，∴x2－3x＋4>0恒成立，∴①为真命题.
当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.
对 x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.
13.若 x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解　(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，
所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.
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14.下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是特称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号).
答案　①②　③④
解析　①是全称命题，是真命题；
②是全称命题，是真命题；
③含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；
④是特称命题，是真命题；
⑤是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.(共37张PPT)
1.2.3　全称量词和存在量词
第一课时　含有量词的命题
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
课标要求
素养要求
用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
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课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.量词
“每一个”和“有一个”叫作量词，两者分别叫作__________和__________.
全称量词
存在量词
2.全称命题
“任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号“ ”表示.设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M(当x取值a∈M时，p(a)成为一个命题).则语句“对M的任意一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫做全称命题.用符号简单的表示为____________________.
x∈M，p(x)
“存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号________表示.语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作特称命题，用符号简单的表示为____________________.
3.特称命题
“ ”
x∈M，p(x)
1.思考辨析，判断正误
(1)“有些三角形中三个内角相等”是特称命题.( )
(2)特称命题“ x∈R，x2＜0”是真命题.( )
提示　不存在x∈R，使得x2<0成立.
(3)“三角形内角和是180°”是全称命题.( )
(4)“ x∈R，x2＋1≥1”是真命题.( )
(5)“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.( )
√
×
√
√
×
2.下列不是全称量词的是(　　)
A.任意一个 B.所有的
C.每一个 D.很多
解析　很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词.
D
3.下列不是存在量词的是(　　)
A.有些 B.至少有一个
C.有一个 D.所有
解析　A，B，C中的量词都是存在量词，D中的量词是全称量词，故选D.
C
ABD
4.(多选题)下列特称命题中，是真命题的是(　 　)
A. x∈Z，x2－2x－3＝0
B.至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C. x∈R，|x|<0
D.有些自然数是奇数
解析　A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；
B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；
D中，3既是自然数又是奇数，所以D是真命题；
C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题.故选ABD.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　全称命题与特称命题的识别
【例1】　判断下列命题是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.
解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.
判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
思维升华
【训练1】　判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解　(1)全称命题.表示为 n∈N，n2≥0.
(2)特称命题. 一次函数，它的图象过原点.
(3)全称命题. 二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二　全称命题与特称命题的真假的判断
【例2】　判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意矩形的对角线相等；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解　(1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)是真命题.
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以特称命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.
思维升华
【训练2】　判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2) x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3) x∈R，x2>0.
解　(1)该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是特称命题.
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称命题.
x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
题型三　依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例3】　已知命题p： x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图象总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围.
解　命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图象总在x轴上方，显然不能恒成立；
根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
思维升华
【训练3】　命题p：任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.
解　因为一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，如图所示，故b≥0.
所以实数b的取值范围为[0，＋∞).
1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.
3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何正方形都是平行四边形.
其中全称命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　命题①②④都是全称命题.
C
2.下列命题中特称命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题.
B
3.已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，4) B.(4，＋∞)
C.(－∞，0) D.[4，＋∞)
解析　∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.
B
4.下列四个命题：
①一切实数均有相反数；② a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.
其中，真命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；④为真命题.
C
5.下列全称命题中真命题的个数为(　　)
①对于任意实数x，都有x＋2>x；
②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立；
③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④ x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　①②③为真命题，当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，故④为假命题.
C
二、填空题
6.给出下列三个命题：
① x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；
③ x，y∈R，x2＋y2≤1.
其中全称命题是________(填序号).
解析　②省略了量词“所有的”.
①②
7.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是_______________.
解析　对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
{a|a≤3}
8.命题p： x∈R，x2＋2x＋5＝0是_____________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”).
特称命题
假
三、解答题
9.试判断下列全称命题的真假：
(1) x∈R，x2＋1≥2；
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
(3)每个二次函数都有最小值.
解　(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“ x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.
(3)对于y＝ax2＋bx＋c，当a<0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.
10.判断下列特称命题的真假：
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
解　(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
∴“ x∈Z，x3<1”是真命题.
(2)真命题，如梯形.
(3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题.
11.(多选题)命题“ 1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≥9 B.a≥11
C.a≥10 D.a≤10
解析　当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max，因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9，因为a≥9 a≥10，a≥10 a≥9，又a≥9
a≥11，a≥11 a≥9，选BC.
BC
12.给出下列命题：
① x∈R，x2－3x＋4>0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________.
解析　∵对于二次函数y＝x2－3x＋4，Δ＝(－3)2－4×4<0，∴x2－3x＋4>0恒成立，∴①为真命题.
1
对 x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.
13.若 x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解　(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，
所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.
14.下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是特称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号).
①②
③④
解析　①是全称命题，是真命题；
②是全称命题，是真命题；
③含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；
④是特称命题，是真命题；
⑤是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.(共36张PPT)
第二课时　含量词命题的否定
1.能正确使用存在量词对全称命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对特称命题进行否定.
课标要求
素养要求
通过全称命题与特称命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.命题的否定
一般地，命题“ x∈I，p(x)”的否定是“ x∈I，綈p(x)”；命题“ x∈I，p(x)”的否定是“ x∈I，綈p(x)”即
綈( x，p(x)) x，綈p(x)
綈( x，p(x)) x，綈p(x)
2.常见正面词语的否定举例如下：
正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是
否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个
否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个
1.思考辨析，判断正误
(1)命题“ x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称命题.( )
提示　应该是特称命题.
(2)若命题綈p是特称命题，则命题p是全称命题.( )
×
√
2.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是____________________.
对任意的x∈R，2x>0
解析　特称命题的否定是全称命题.
3.已知命题p： x>2，x－2>0，则綈p是____________________.
x>2，x－2≤0
{a|－2≤a≤2}
4.若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为_________________.
解析　法一　由题意，知命题“对任意实数x，使x2＋ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝a2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.
法二　由题意，知命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”是假命题.
若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”是真命题，
则Δ＝a2－4×1×1>0，
解得a>2或a<－2，
故所求实数a的取值范围是{a|－2≤a≤2}.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　全称命题的否定
【例1】　写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解　(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形.
(3)其否定为： a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.
全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
思维升华
【训练1】　写出下列全称命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
解　(1)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.
(3)该命题的否定为：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)该命题的否定为：存在实数x，使得x2＋1<0.
题型二　特称命题的否定
【例2】　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p： x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形.
解　(1)綈p： x>1，x2－2x－3≠0(假).
(2)綈p：所有的素数都不是奇数(假).
(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形(假).
特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p： x∈M，p(x)成立 綈p： x∈M，綈p(x)成立.
思维升华
【训练2】　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.
题型三　根据全称命题、特称命题的否定求参数
【例3】　已知命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解　因为綈p为假命题，所以命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为{m|m>－4}.(说明：本题也可利用二次函数y＝x2－2x＋5＋m的图象恒在x轴上方，转化为对应方程Δ<0进行解题)
1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.
2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.
思维升华
【训练3】　已知命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解　因为綈p为假命题，所以命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即 x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}.(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ>0进行解题)
1.通过学习全称命题、特称命题的否定的概念，提升数学抽象素养，通过特称命题、全称命题否定的综合应用培养逻辑推理素养.
2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.　　　　　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A. x∈R，|x|＋x2<0 B. x∈R，|x|＋x2≤0
C. x∈R，|x|＋x2<0 D. x∈R，|x|＋x2≥0
解析　此全称命题的否定为： x∈R，|x|＋x2<0.
C
2.下列命题中，为真命题的全称命题是(　　)
A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B.菱形的两条对角线相等
C. x∈R，x2＝x
D.一次函数y＝kx＋b(k>0)，y随x的增大而增大
解析　A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，所以选D.
D
3.命题“ x>0，x2＝x－1”的否定是(　　)
A. x>0，x2≠x－1 B. x≤0，x2＝x－1
C. x>0，x2≠x－1 D. x≤0，x2＝x－1
解析　特称命题的否定是全称命题.
A
4.下列特称命题是假命题的是(　　)
A.存在实数a，b，使ab＝0
B.有些实数x，使得|x＋1|<1
C.有些直角三角形，其中一条直角边长度是斜边长度的一半
D.有些实数x，使得x2<0
解析　任意实数x，x2≥0，故选D.
D
5.下列命题中的假命题是(　　)
B
解析　A中命题是全称命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；
B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；
C中命题是特称命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；
二、填空题
6.命题“任意x∈R，3x≥0”的否定是________________.
存在x∈R，3x<0
解析　全称命题的否定是特称命题，故“任意x∈R，3x≥0”的否定是“存在x∈R，3x<0”.
7.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是__________________________.
存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
解析　由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.
8.命题“每个函数都有最大值”的否定是_____________________.
有些函数没有最大值
解析　命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填：有些函数没有最大值.
三、解答题
9.写出下列命题的否定，并判断其真假.
10.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：2的平方是正数；
(2)p：实数的平方都是正数；
解　(1)綈p：2的平方不是正数，假命题.
(2)綈p：实数的平方不都是正数，真命题.
11.将“x2＋y2≥2xy对任意实数x，y恒成立”改写成符号形式为(　　)
A. x，y∈R，x2＋y2≥2xy
B. x，y∈R，x2＋y2≥2xy
C. x>0，y>0，x2＋y2≥2xy
D. x<0，y<0，x2＋y2≥2xy
解析　由全称命题的形式，知选A.
A
12.若命题“ x∈R，x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是___________.
解析　由已知得“ x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，
则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，
即实数m的取值范围是[2，6].
[2，6]
13.已知命题p： x∈[1，3]，都有m≥x，命题q： x∈[1，3]，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围.
解　由题意知命题p，q都是真命题.
由 x∈[1，3]，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.
由 x∈[1，3]，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，
因为两者同时成立，
故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.
又m为整数，所以m＝1，第二课时　含量词命题的否定
课标要求 素养要求
1.能正确使用存在量词对全称命题进行否定.2.能正确使用全称量词对特称命题进行否定. 通过全称命题与特称命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
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自主梳理
1.命题的否定
一般地，命题“ x∈I，p(x)”的否定是“ x∈I，綈p(x)”；命题“ x∈I，p(x)”的否定是“ x∈I，綈p(x)”即
綈( x，p(x)) x，綈p(x)
綈( x，p(x)) x，綈p(x)
2.常见正面词语的否定举例如下：
正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是
否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个
否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)命题“ x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称命题.(×)
提示　应该是特称命题.
(2)若命题綈p是特称命题，则命题p是全称命题.(√)
2.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________.
答案　对任意的x∈R，2x>0
解析　特称命题的否定是全称命题.
3.已知命题p： x>2，x－2>0，则綈p是________.
答案　 x>2，x－2≤0
4.若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为________.
答案　{a|－2≤a≤2}
解析　法一　由题意，知命题“对任意实数x，使x2＋ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝a2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.
法二　由题意，知命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”是假命题.
若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”是真命题，
则Δ＝a2－4×1×1>0，
解得a>2或a<－2，
故所求实数a的取值范围是{a|－2≤a≤2}.
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题型一　全称命题的否定
【例1】　写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解　(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形.
(3)其否定为： a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.
思维升华　全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
【训练1】　写出下列全称命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
解　(1)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.
(3)该命题的否定为：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)该命题的否定为：存在实数x，使得x2＋1<0.
题型二　特称命题的否定
【例2】　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p： x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形.
解　(1)綈p： x>1，x2－2x－3≠0(假).
(2)綈p：所有的素数都不是奇数(假).
(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形(假).
思维升华　特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p： x∈M，p(x)成立 綈p： x∈M，綈p(x)成立.
【训练2】　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3) x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.
(3)命题的否定是“ x，y∈Z，x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.
题型三　根据全称命题、特称命题的否定求参数
【例3】　已知命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解　因为綈p为假命题，所以命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为{m|m>－4}.(说明：本题也可利用二次函数y＝x2－2x＋5＋m的图象恒在x轴上方，转化为对应方程Δ<0进行解题)
思维升华　1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.
2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.
【训练3】　已知命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解　因为綈p为假命题，所以命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即 x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}.(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ>0进行解题)
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1.通过学习全称命题、特称命题的否定的概念，提升数学抽象素养，通过特称命题、全称命题否定的综合应用培养逻辑推理素养.
2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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一、选择题
1.命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A. x∈R，|x|＋x2<0 B. x∈R，|x|＋x2≤0
C. x∈R，|x|＋x2<0 D. x∈R，|x|＋x2≥0
答案　C
解析　此全称命题的否定为： x∈R，|x|＋x2<0.
2.下列命题中，为真命题的全称命题是(　　)
A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B.菱形的两条对角线相等
C. x∈R，x2＝x
D.一次函数y＝kx＋b(k>0)，y随x的增大而增大
答案　D
解析　A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，所以选D.
3.命题“ x>0，x2＝x－1”的否定是(　　)
A. x>0，x2≠x－1 B. x≤0，x2＝x－1
C. x>0，x2≠x－1 D. x≤0，x2＝x－1
答案　A
解析　特称命题的否定是全称命题.
4.下列特称命题是假命题的是(　　)
A.存在实数a，b，使ab＝0
B.有些实数x，使得|x＋1|<1
C.有些直角三角形，其中一条直角边长度是斜边长度的一半
D.有些实数x，使得x2<0
答案　D
解析　任意实数x，x2≥0，故选D.
5.下列命题中的假命题是(　　)
A. x∈R，|x|＋1>0 B. x∈N＋，(x－1)2>0
C. x∈R，|x|<1 D. x∈R，＋1＝2
答案　B
解析　A中命题是全称命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题.
二、填空题
6.命题“任意x∈R，3x≥0”的否定是________.
答案　存在x∈R，3x<0
解析　全称命题的否定是特称命题，故“任意x∈R，3x≥0”的否定是“存在x∈R，3x<0”.
7.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________________.
答案　存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
解析　由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.
8.命题“每个函数都有最大值”的否定是______________.
答案　有些函数没有最大值
解析　命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填：有些函数没有最大值.
三、解答题
9.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x∈R，x2＋2x＋2≤0.
解　(1)綈p： x∈R，x2－x＋＜0，假命题.
∵ x∈R，x2－x＋＝≥0，
∴綈p是假命题.
(2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题.
(3)綈r： x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题.
∵ x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，
∴綈r是真命题.
10.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：2的平方是正数；
(2)p：实数的平方都是正数；
(3)p：<0.
解　(1)綈p：2的平方不是正数，假命题.
(2)綈p：实数的平方不都是正数，真命题.
(3)綈p：≥0，真命题.
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11.将“x2＋y2≥2xy对任意实数x，y恒成立”改写成符号形式为(　　)
A. x，y∈R，x2＋y2≥2xy
B. x，y∈R，x2＋y2≥2xy
C. x>0，y>0，x2＋y2≥2xy
D. x<0，y<0，x2＋y2≥2xy
答案　A
解析　由全称命题的形式，知选A.
12.若命题“ x∈R，x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________.
答案　[2，6]
解析　由已知得“ x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2，6].
13.已知命题p： x∈[1，3]，都有m≥x，命题q： x∈[1，3]，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围.
解　由题意知命题p，q都是真命题.
由 x∈[1，3]，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由 x∈[1，3]，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.
INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.是否存在整数m，使得命题“ x≥－，－5<3－4m解　假设存在整数m，使得命题“ x≥－，－5<3－4m因为当x≥－时，x＋1≥，
所以－5<3－4m<，解得又m为整数，所以m＝1，
故存在整数m＝1，使得命题“ x≥－，－5<3－4m

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