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第3章 函数的概念与性质
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
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1.早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.
1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示“幂”.
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2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”
3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数
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1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”
1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元.
19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念——函数.
[读图探新]——发现现象背后的知识
例：新中国成立后共进行了六次人口普查,各次普查得到的人口数据如下表：
年份 1953 1964 1982 1990 2000 2010
总人口数（亿） 5.9 6.9 10.1 11.3 12.7 13.4
　函数的概念(图一)　　　　　　　　　函数的表示(图二)
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函数的最值(图三)　　　　　　　　　函数的奇偶性(图四)
问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？
问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？
问题3：天安门是轴对称图形，联想一下：如何用自然语言描述函数的图象特征呢？
链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图象法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.
3.1　函　数
3.1.1　对函数概念的再认识
课标要求 素养要求
1.在初中用变量关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系了解函数的概念.2.理解函数概念及构成函数的三要素，会判断两函数是否为同一函数.3.理解函数的对应关系，会求函数值. 通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养和数学运算素养.
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自主梳理
1.初中函数的概念(函数是变量与变量之间的确定性对应关系)：
如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
2.函数的概念(将函数看成两个集合之间的对应关系)：
设A、B是两个非空实数集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么就称这样的对应关系f：A→B为集合A到集合B的一个函数，也记作y＝f(x)(x∈A)，其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x∈A对应的数y叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，值域是集合B的子集.
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(1)y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f是对应关系(可以是解析式、图象、表格或文字描述等).
(2)函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示.　　　
3.函数三要素
一个函数f(x)有三个要素：对应关系、定义域和值域.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)对于函数f：A→B，当x1∈A，x2∈A，x1≠x2时，可能有f(x1)＝f(x2).(√)
(2)集合A＝{正方形}，可以作为某个函数的定义域.(×)
提示　函数的定义域即集合A必须为非空数集.
(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.(×)
提示　在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.
2.下图中能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　)
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答案　D
解析　对于A选项，当x＝0时，有两个y值与之对应；
对于B选项和C选项，有一个x与两个y对应的情形；
对于D选项，每个x都有唯一的y值与之对应，故选D.
3.若f(x)＝x2－，则f(3)＝________.
答案　7
解析　f(3)＝9－＝9－2＝7.
4.已知f(x)＝ax2＋3，若f(－1)＝－1，则a＝________.
答案　－4
解析　f(－1)＝a＋3＝－1，∴a＝－4.
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题型一　函数关系的判断
【例1】　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
解　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数.
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数.
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.
思维升华　判断对应关系是否为函数关系，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.
【训练1】　已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是(　　)
A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x
C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x
答案　D
解析　根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确.
题型二　函数相等
【例2】　下列函数中哪个与函数y＝x相等？
(1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
解　(1)y＝()2＝x(x≥0)，定义域不同，所以不是相等函数；
(2)y＝＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域相同，所以与y＝x是相等函数；
(3)y＝＝|x|＝y≥0；且当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以与y＝x不是相等函数；
(4)y＝的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以与y＝x不是相等函数.
思维升华　在两个函数中，只有当定义域、对应关系分别对应相同时，两函数才相等.值域相同，只是前两个要素相同的必然结果.
【训练2】　下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝，g(x)＝x＋3；
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是________(填序号).
答案　⑤
解析　①f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是相等函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是相等函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系分别对应相同，故是相等函数.
题型三　求函数值
【例3】　已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)当a≠－2时，求f(a＋1)，g(a－1).
解　(1)因为f(x)＝，
所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
(3)f(a＋1)＝＝.
g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.
思维升华　已知f(x)的解析式时，用a替换解析式中的x即得f(a)的值，且f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或代数式，对f(g(a))的值应由内向外逐层求出.
【训练3】　已知f(x)＝(x≠－1).
(1)求f(0)及f的值；
(2)求f(1－x)及f(f(x)).
解　(1)f(0)＝＝1.
∵f＝＝，
∴f＝f＝＝.
(2)f(1－x)＝＝(x≠2).
f(f(x))＝f＝＝x(x≠－1).
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1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象和数学运算素养.
2.y＝f(x)仅为y是x的函数的数学表示，f(x)不表示f与x的乘积.
3.函数的三要素包括：定义域、对应关系和值域，其中定义域和对应关系分别对应相同的两个函数是相等函数.
4.因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，所以两个函数是不是同一个函数，与函数用什么字母表示无关，例如，函数y＝f(x)＝x2，x∈A与函数u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.设f：x→y＝x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是(　　)
A.{1} B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0}
答案　D
解析　若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02 B，故选D.
2.对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是(　　)
A.f(a)∈B
B.f(a)有且只有一个
C.若f(a)＝f(b)，则a＝b
D.若a＝b，则f(a)＝f(b)
答案　C
3.下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A.y＝x－1和y＝
B.y＝x0和y＝1
C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D.f(x)＝和g(x)＝
答案　D
解析　A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
4.设f(x)＝，则等于(　　)
A.1 B.－1
C. D.－
答案　B
解析　∵f(2)＝＝，f＝＝－，
∴＝－1.
5.已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是(　　)
A.π2 B.π
C. D.不确定
答案　B
解析　由函数解析式可知该函数为常函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.
二、填空题
6.若f(x)＝，则f(1)＝________.
答案　
解析　f(1)＝＝.
7.已知函数f(x)＝，f(a)＝3，则实数a＝____________.
答案　12
解析　f(a)＝＝3，∴a＝12.
8.下列各对函数中是相等函数的是________(填序号).
①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0；
②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；
④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
答案　②④
解析　①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系分别对应相同，是相等函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是相等函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系分别对应相同，是相等函数.
三、解答题
9.已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].
解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
(2)∵f(x)＝，
∴f(1)＝＝，
∴f[f(1)]＝f＝＝.
10.下列各组中的两个函数是否为相等的函数？
(1)y1＝，y2＝x－5；
(2)y1＝，y2＝.
解　(1)两函数定义域不同，所以两函数不相等.
(2)y1＝的定义域为{x|x≥1}，而y2＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，定义域不同，所以两函数不相等.
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11.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　)
A.1 B.0
C.－1 D.2
答案　A
解析　∵f(x)＝ax2－1，
∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
12.已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________；f(a)＝________.
答案　3　a2＋2
解析　f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
由2x＋1＝a得x＝，
∴f(a)＝f＝4＋4×＋3＝a2＋2.
13.已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－4)，f的值.
解　(1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－5}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠2}，
所以这个函数的定义域是{x|x≥－5}∩{x|x≠2}＝{x|x≥－5且x≠2}.
(2)f(－4)＝＋＝1－＝.
f＝＋＝－＝－.
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现.
解　(1)由f(x)＝＝1－，
所以f(2)＝1－＝，f＝1－＝.
f(3)＝1－＝，f＝1－＝.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f＝1.
证明如下：f(x)＋f＝＋
＝＋＝1.(共41张PPT)
第3章
3.1 函 数
3.1.1　对函数概念的再认识
1.在初中用变量关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系了解函数的概念.
2.理解函数概念及构成函数的三要素，会判断两函数是否为同一函数.
3.理解函数的对应关系，会求函数值.
课标要求
素养要求
通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.初中函数的概念(函数是变量与变量之间的确定性对应关系)：
如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的__________，变量y都有______的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
每一个值
唯一
2.函数的概念(将函数看成两个集合之间的对应关系)：
设A、B是两个______实数集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个数x，在集合B中都有______的数y和它对应，那么就称这样的对应关系f：A→B为集合A到集合B的一个函数，也记作y＝f(x)(x∈A)，其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x∈A对应的数y叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，值域是集合B的______.
非空
任何
唯一
子集
点睛
(1)y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f是对应关系(可以是解析式、图象、表格或文字描述等).
(2)函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示.　
一个函数f(x)有三个要素：__________、________和______.
3.函数三要素
对应关系
定义域
值域
1.思考辨析，判断正误
(1)对于函数f：A→B，当x1∈A，x2∈A，x1≠x2时，可能有f(x1)＝f(x2).( )
(2)集合A＝{正方形}，可以作为某个函数的定义域.( )
提示　函数的定义域即集合A必须为非空数集.
(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )
提示　在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.
√
×
×
2.下图中能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　)
D
解析　对于A选项，当x＝0时，有两个y值与之对应；
对于B选项和C选项，有一个x与两个y对应的情形；
对于D选项，每个x都有唯一的y值与之对应，故选D.
7
-4
4.已知f(x)＝ax2＋3，若f(－1)＝－1，则a＝________.
解析　f(－1)＝a＋3＝－1，∴a＝－4.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　函数关系的判断
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
解　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数.
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数.
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.
判断对应关系是否为函数关系，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.
思维升华
【训练1】　已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是(　　)
D
解析　根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确.
题型二　函数相等
【例2】　下列函数中哪个与函数y＝x相等？
在两个函数中，只有当定义域、对应关系分别对应相同时，两函数才相等.值域相同，只是前两个要素相同的必然结果.
思维升华
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是________(填序号).
解析　①f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是相等函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是相等函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系分别对应相同，故是相等函数.
⑤
题型三　求函数值
(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))的值；(3)当a≠－2时，求f(a＋1)，g(a－1).
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.
已知f(x)的解析式时，用a替换解析式中的x即得f(a)的值，且f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或代数式，对f(g(a))的值应由内向外逐层求出.
思维升华
(2)求f(1－x)及f(f(x)).
1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象和数学运算素养.
2.y＝f(x)仅为y是x的函数的数学表示，f(x)不表示f与x的乘积.
3.函数的三要素包括：定义域、对应关系和值域，其中定义域和对应关系分别对应相同的两个函数是相等函数.
4.因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，所以两个函数是不是同一个函数，与函数用什么字母表示无关，例如，函数y＝f(x)＝x2，x∈A与函数u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.设f：x→y＝x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是(　　)
A.{1} B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0}
解析　若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02 B，故选D.
D
2.对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是(　　)
A.f(a)∈B
B.f(a)有且只有一个
C.若f(a)＝f(b)，则a＝b
D.若a＝b，则f(a)＝f(b)
C
3.下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
D
解析　A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
B
5.已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是(　　)
B
解析　由函数解析式可知该函数为常函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.
12
8.下列各对函数中是相等函数的是________(填序号).
①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0；
②④
解析　①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；
③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是相等函数；
④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系分别对应相同，是相等函数.
10.下列各组中的两个函数是否为相等的函数？
解　(1)两函数定义域不同，所以两函数不相等.
11.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　)
A.1 B.0 C.－1 D.2
解析　∵f(x)＝ax2－1，
∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
A
12.已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________；f(a)＝________.
解析　f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
3
a2＋2
所以这个函数的定义域是{x|x≥－5}∩{x|x≠2}＝{x|x≥－5且x≠2}.

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