资源简介

(共42张PPT)
2.3　一元二次不等式
2.3.1　一元二次不等式及其解法
第一课时　一元二次不等式及其解法(一)
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
课标要求
素养要求
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.一元二次不等式的概念
一元二次不等式 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
解集ax2＋bx＋c>0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c<0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
点睛
一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.　
2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
R
?
?
1.思考辨析，判断正误
(1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.( )
提示　当a≠0时，ax2＋x－1<0是一元二次不等式.
(2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式.( )
提示　x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式.
(3)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( )
×
×
√
2.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析　②④一定是一元二次不等式.
B
3.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是__________________.
{x|x>3或x<－2}
4.不等式x2<2的解集是_____________.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　二次项系数大于0的一元二次不等式的解法
【例1】　求不等式4x2－4x＋1>0的解集.
解　因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.
思维升华
【训练1】　求不等式2x2－3x－2≥0的解集.
题型二　二次项系数小于0的一元二次不等式的解法
【例2】　解不等式－x2＋2x－3>0.
解　不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是?.
将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本题的关键之处.
思维升华
【训练2】　求不等式－3x2＋6x>2的解集.
解　不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
题型三　解含参数的一元二次不等式
【例3】　解关于x的不等式(a∈R)：
(1)2x2＋ax＋2>0；
解　(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}.
(2)x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，有aa2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以不等式的解集为{x|x≠0}；
当0a2，所以不等式的解集为{x|xa}；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>1时，有aa2}.
解含参数的一元二次不等式的步骤
思维升华
【训练3】　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).
解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
1.(1)通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程提升数学抽象素养.
(2)借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养直观想象素养.
(3)通过会解一元二次不等式培养数学运算素养.
2.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法是：
(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类.
(2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.
(3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
D
2.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N＋，x≤5}，则A∩B等于(　　)
A.{1，2，3} B.{1，2}
C.{4，5} D.{1，2，3，4，5}
B
又x∈N＋且x≤5，则x＝1，2.
D
A.{a|－22}
C.{a|a≤－2或a≥2} D.{a|－2≤a≤2}
解析　由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，∴Δ≤0，
即a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
D
5.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A.{x|0C.{x|x<－2或x>1} D.{x|－1解析　根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－2B
二、填空题
6.不等式－x2＋5x>6的解集是________.
解析　不等式－x2＋5x>6变形为x2－5x＋6<0，
因式分解为(x－2)(x－3)<0，解得2∴不等式－x2＋5x>6的解集为{x|2{x|27.不等式－1{x|－3≤x<－2或0∴－3≤x<－2或08.若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________.
解析　由题意知，不等式x2＋mx＋1>0对应的函数的图象在x轴的上方，所以Δ＝m2－4×1×1<0，所以－2(－2，2)
三、解答题
9.求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3>0；　
解　对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
(2)－x2＋8x－3>0；
解　对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
解　(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
10.解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
解　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，
所以①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a②当a＝－1时，原不等式的解集为?；
③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－111.若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|3C.{a|3D
解析　由题意，得原不等式可转化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，解得1当a<1时，解得a当a＝1时，不符合题意.
故实数a的取值范围是{a|－2≤a<－1或312.不等式x2－3|x|＋2≤0的解集为_________________________.
解析　原不等式等价于|x|2－3|x|＋2≤0，即1≤|x|≤2.
当x≥0时，1≤x≤2；当x<0时，－2≤x≤－1.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}.
{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}
13.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
解　(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，
解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)·(x－2)>0，
a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；
14.对于实数x，当且仅当n≤x[2，8)
又当且仅当n≤x课标要求 素养要求
借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的联系，提升数学抽象与数学运算素养.
INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.简单的分式不等式的解法
INCLUDEPICTURE "../../../+1.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../+1.tif" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT
系数化为正，大于零要取“两端”，小于零要取“中间”.　　　
2.一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立 ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)不等式≥0的解集为{x|x≥1或x≤0}.(×)
提示　分式不等式中的分母不等于1，解集为{x|x>1或x≤0}.
(2)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)
提示　需要讨论所给出的不等式是否为一元二次不等式.
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(√)
2.不等式≤0的解集为________.
答案　
解析　原不等式等价于
即即－故原不等式的解集为.
3.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝________.
答案　{x|0解析　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0∴A∩B＝{x|04.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7答案　3
解析　由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.∴－7×(－1)＝，故a＝3.
INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　三个“二次”之间的关系
【例1】　已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解　(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，且a<0，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.
思维升华　应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.
【训练1】　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
解　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.
由根与系数的关系得得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
题型二　简单分式不等式的解法
【例2】　解不等式：
(1)<0；
(2)≥0；
(3)>1.
解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
∴－1故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
∴∴
即－故原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为－1>0，
∴>0，∴>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}.
思维升华　简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.
【训练2】　解下列不等式.
(1)≥0；(2)>1.
解　(1)原不等式可化为
解得∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为
>0，化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为.
题型三　不等式的恒成立问题
【例3】　设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解　(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则 －4∴m的取值范围为{m|－4(2)y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，∴只需m<即可.
∴m的取值范围为.
思维升华　(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
【训练3】　对任意的x∈R，函数y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________.
答案　{a|－2解析　由题意知，y开口向上，故要使y>0恒成立，
只需Δ<0即可，
即(a－4)2－4(5－2a)<0，
解得－2INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系提升直观想象素养与数学运算素养.
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.
3.三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|－1C.{x|－1≤x≤1} D.{x|－1答案　B
解析　原不等式 ∴－1≤x<1.
2.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1A.A?B B.B?A
C.A＝B D.A∩B＝
答案　B
解析　A＝{x|－13.如果关于x的不等式x2A.－81 B.81
C.－64 D.64
答案　B
解析　不等式x2x2－ax－b<0，其解集是{x|1解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故选B.
4.不等式≥1的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为
解得≤x<2，则原不等式的解集为，
故选B.
5.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|a<2} B.{a|a≤2}
C.{a|－2答案　D
解析　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立；
当a－2≠0时，
解得－2二、填空题
6.不等式>0的解集为________.
答案　{x|x>－5且x≠2}
解析　>0 x>－5且x≠2.
7.不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1或x>a}，其中a≠－1，则a的取值范围为________.
答案　{a|a>－1}
解析　x(x－a＋1)>a (x＋1)(x－a)>0.
∵解集是{x|x<－1或x>a}，∴a>－1.
8.关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________.
答案　{m|m<0}
解析　∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}.
三、解答题
9.若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围.
解　当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，
只需解得a>.
综上，所求实数a的取值范围为.
10.关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.
解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，
∴m<2x2－8x＋6恒成立，
设y＝2x2－8x＋6，
则当x＝2时，y的最小值为－2.
∴m<－2.
∴实数m的取值范围为{m|m<－2}.
INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.已知关于x的不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集为(　　)
A. B.
C.{x|－32}
答案　A
解析　∵ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3∴ax2－5x＋b＝0的根为－3，2，
即－3＋2＝，－3×2＝，
解得a＝－5，b＝30，
则不等式bx2－5x＋a>0可化为30x2－5x－5>0，
即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，故选A.
12.对任意a∈[－1，1]，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A.(1，3) B.(－∞，1)∪(3，＋∞)
C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)
答案　B
解析　设z＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
当a∈[－1，1]时，z恒大于零.
x<1或x>3.
13.(1)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
(2)对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围.
解　(1)令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在1≤x≤2上恒成立.
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得
∴m的取值范围是{m|m<－5}.
INCLUDEPICTURE "../../../S117.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S117.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，
即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立.
∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.
∵－1≤x≤1，
∴x－2<0.
∴a<＝＝2－x.
令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，∴a<1.
故a的取值范围为{a|a<1}.
INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是 ，则实数a的取值范围是________，若不等式的解集为{x|x≥1或x≤－3}，则a＝________.
答案　(－1，0]　1
解析　当a＝0时，－2≥0，解集为 ，满足题意；当a≠0时，a满足条件
解得－1综上可知，a的取值范围是(－1，0].
若不等式的解集为{x|x≥1或x≤－3}，
∴a≠0且1×(－3)＝，解得a＝1.(共43张PPT)
第二课时　一元二次不等式及其解法(二)
借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
课标要求
素养要求
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的联系，提升数学抽象与数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.简单的分式不等式的解法
点睛
系数化为正，大于零要取“两端”，小于零要取“中间”.　　　
2.一元二次不等式恒成立问题
1.思考辨析，判断正误
×
提示　分式不等式中的分母不等于1，解集为{x|x>1或x≤0}.
(2)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
提示　需要讨论所给出的不等式是否为一元二次不等式.
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.( )
×
√
解析　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0∴A∩B＝{x|0{x|03
4.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7解析　由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　三个“二次”之间的关系
解得a＝－6，c＝－1.
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.
思维升华
【训练1】　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
解　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.
题型二　简单分式不等式的解法
解　原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
故原不等式的解集为{x|x<－2}.
简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.
思维升华
【训练2】　解下列不等式.
解　原不等式可化为
题型三　不等式的恒成立问题
【例3】　设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围；
解　若m＝0，显然－1<0恒成立；
∴m的取值范围为{m|－4(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解　y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
思维升华
【训练3】　对任意的x∈R，函数y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为____________.
解析　由题意知，y开口向上，故要使y>0恒成立，
只需Δ<0即可，
即(a－4)2－4(5－2a)<0，
解得－2{a|－21.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系提升直观想象素养与数学运算素养.
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.
3.三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题.　　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
B
A.{x|－1C.{x|－1≤x≤1} D.{x|－12.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1A.A?B B.B?A
C.A＝B D.A∩B＝
解析　A＝{x|－1B
3.如果关于x的不等式x2A.－81 B.81
C.－64 D.64
解析　不等式x2B
解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故选B.
B
5.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|a<2} B.{a|a≤2}
C.{a|－2解析　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立；
D
解得－2二、填空题
{x|x>－5且x≠2}
7.不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1或x>a}，其中a≠－1，则a的取值范围为____________.
解析　x(x－a＋1)>a (x＋1)(x－a)>0.
∵解集是{x|x<－1或x>a}，∴a>－1.
{a|a>－1}
{m|m<0}
三、解答题
9.若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围.
解　当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，
解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，
∴m<2x2－8x＋6恒成立，
设y＝2x2－8x＋6，
则当x＝2时，y的最小值为－2.
∴m<－2.
∴实数m的取值范围为{m|m<－2}.
11.已知关于x的不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集为(　　)
A
解析　∵ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3∴ax2－5x＋b＝0的根为－3，2，
解得a＝－5，b＝30，则不等式bx2－5x＋a>0可化为30x2－5x－5>0，
12.对任意a∈[－1，1]，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A.(1，3) B.(－∞，1)∪(3，＋∞)
C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析　设z＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
当a∈[－1，1]时，z恒大于零.
B
13.(1)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
解　令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在1≤x≤2上恒成立.
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
∴m的取值范围是{m|m<－5}.
(2)对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围.
解　∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，
即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立.
∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.
∵－1≤x≤1，
∴x－2<0.
故a的取值范围为{a|a<1}.
14.不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是 ，则实数a的取值范围是________，若不等式的解集为{x|x≥1或x≤－3}，则a＝________.
(－1，0]
1
解得－1综上可知，a的取值范围是(－1，0].
若不等式的解集为{x|x≥1或x≤－3}，2.3　一元二次不等式
2.3.1　一元二次不等式及其解法
第一课时　一元二次不等式及其解法(一)
课标要求 素养要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
解集ax2＋bx＋c>0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c<0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.　　　 INCLUDEPICTURE "../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT
2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 INCLUDEPICTURE "../../../S118.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S118.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S119.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S119.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S120.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S120.TIF" \* MERGEFORMAT
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(×)
提示　当a≠0时，ax2＋x－1<0是一元二次不等式.
(2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式.(×)
提示　x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式.
(3)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(√)
2.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案　B
解析　②④一定是一元二次不等式.
3.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________.
答案　{x|x>3或x<－2}
4.不等式x2<2的解集是________.
答案　{x|－INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　二次项系数大于0的一元二次不等式的解法
【例1】　求不等式4x2－4x＋1>0的解集.
解　因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，
所以原不等式的解集为.
思维升华　当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.
【训练1】　求不等式2x2－3x－2≥0的解集.
解　∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是.
题型二　二次项系数小于0的一元二次不等式的解法
【例2】　解不等式－x2＋2x－3>0.
解　不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是?.
思维升华　将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本题的关键之处.
【训练2】　求不等式－3x2＋6x>2的解集.
解　不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－，x2＝1＋，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是.
题型三　解含参数的一元二次不等式
【例3】　解关于x的不等式(a∈R)：
(1)2x2＋ax＋2>0；
(2)x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解　(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1＝(－a－)，x2＝(－a＋).
当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}.
(2)将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，有aa2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以不等式的解集为{x|x≠0}；
当0a2，所以不等式的解集为{x|xa}；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>1时，有aa2}.
思维升华　解含参数的一元二次不等式的步骤
INCLUDEPICTURE "../../../S109.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S109.TIF" \* MERGEFORMAT
【训练3】　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).
解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为.
INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.(1)通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程提升数学抽象素养.
(2)借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养直观想象素养.
(3)通过会解一元二次不等式培养数学运算素养.
2.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法是：
(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类.
(2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.
(3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A. B.
C.? D.
答案　D
解析　原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
2.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N＋，x≤5}，则A∩B等于(　　)
A.{1，2，3} B.{1，2}
C.{4，5} D.{1，2，3，4，5}
答案　B
解析　∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－又x∈N＋且x≤5，则x＝1，2.
3.若00的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵01，∴>t.
∴(t－x)>0 (x－t)<0 t4.若使有意义的x取值为实数集R，则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|－22}
C.{a|a≤－2或a≥2} D.{a|－2≤a≤2}
答案　D
解析　由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，∴Δ≤0，
即a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
5.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A.{x|0C.{x|x<－2或x>1} D.{x|－1答案　B
解析　根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－2二、填空题
6.不等式－x2＋5x>6的解集是________.
答案　{x|2解析　不等式－x2＋5x>6变形为x2－5x＋6<0，
因式分解为(x－2)(x－3)<0，解得2∴不等式－x2＋5x>6的解集为{x|27.不等式－1答案　{x|－3≤x<－2或0解析　∵
∴－3≤x<－2或08.若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________.
答案　(－2，2)
解析　由题意知，不等式x2＋mx＋1>0对应的函数的图象在x轴的上方，所以Δ＝m2－4×1×1<0，所以－2三、解答题
9.求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3>0；　　　(2)－x2＋8x－3>0；
(3)x2－4x－5≤0; (4)－4x2＋18x－≥0.
解　(1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
(4)原不等式可化为≤0，
所以原不等式的解集为.
10.解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
解　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，
所以①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a②当a＝－1时，原不等式的解集为?；
③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|3B.{a|－2C.{a|3D.{a|－2≤a<－1或3答案　D
解析　由题意，得原不等式可转化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，解得1当a<1时，解得a当a＝1时，不符合题意.
故实数a的取值范围是{a|－2≤a<－1或312.不等式x2－3|x|＋2≤0的解集为________.
答案　{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}
解析　原不等式等价于|x|2－3|x|＋2≤0，即1≤|x|≤2.
当x≥0时，1≤x≤2；当x<0时，－2≤x≤－1.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}.
13.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
解　(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，
解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)·(x－2)>0，
对应方程的两个根为x1＝，x2＝2.
①当02，
所以原不等式的解集为；
②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为
.
(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则<2，所以原不等式的解集为.
综上，a<0时，原不等式的解集为；
a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；
0a>1时，原不等式的解集为.
INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.对于实数x，当且仅当n≤x答案　[2，8)
解析　4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，
又当且仅当n≤x

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