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(共41张PPT)
第4章
4.1　实数指数幂和幂函数
4.1.1　有理数指数幂
1.理解n次方根，n次根式的概念及运算.
2.进行根式及分数指数幂的化简求值.
课标要求
素养要求
理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，提升学生数学抽象素养和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.根式
(1)若一个实数x的________ (n≥2，n∈N)等于a，
即__________，就说x是a的n次方根.
(2)a的n次方根
n次方
xn＝a
正数a
根指数
2.根式的性质
(1)______ 没有偶次方根.
负数
0
a
a
－a
3.分数指数幂
在a>0时，对于任意有理数r，s，仍有下列运算法则：
ar·as＝__________，(ar)s＝________，(ab)r＝__________ (b>0).
4.有理指数幂的运算
ar＋s
ars
arbr
1.思考辨析，判断正误
√
×
提示　当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.
×
提示　当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立.
×
2.若x3＝6，则x＝________，若x2＝6，则x＝________.
m－2
4.化简
3
课堂互动
题型剖析
2
题型一　根式的化简、求值
【例1】　化简：
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
思维升华
题型二　根式与分数指数幂化简
【例2】　将下列根式化成分数指数幂形式(式中字母a为正数)：
思维升华
【训练2】　用分数指数幂表示下列各式：
题型三　有理数指数幂的运算
指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
思维升华
(2)化简下列各式(式中字母均为正数)：
②法一　由内向外化
法二　由外向内化
1.理解根式的概念及运算性质，由分数指数幂与根式的互化，得到有理数指数幂的运算，提升数学抽象素养和数学运算素养.
课堂小结
3.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.
4.有理数指数幂的运算法则：ar·at＝ar＋t，(ar)t＝art，(ab)r＝arbr，其中a，b>0，r、t为有理数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.已知m10＝2，则m等于(　　)
解析　∵m10＝2，∴m是2的10次方根.
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数.
D
A.1－2x B.0
C.2x－1 D.(1－2x)2
∵2x>1，∴1－2x<0，
∴|1－2x|＝－(1－2x)＝2x－1.
C
B
B
B
二、填空题
1
－4
8.已知3a＝2，3b＝5，则32a－b＝________.
三、解答题
9.将下列根式化为分数指数幂的形式：
10.计算：
A.m2－2 B.2－m2 C.m2＋2 D.m2
C
∴a＋a－1－2＝5，∴a＋a－1＝7，
7
3
13.计算下列各式：
∵a，b，c都是正整数，70＝2×5×7，a≤b≤c，
∴a＝2，b＝5，c＝7.第4章 幂函数、指数函数和对数函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍.”经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》(“Mirifici logarithmorum canonis descriptio”)中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(Nap logX).
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[读图探新]——发现现象背后的知识
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1.细胞分裂的个数可以用指数函数模型来研究.
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2.宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代.这就是考古学家常用的碳14测年法.
3.溶液pH值的变化规律可以用对数函数模型来表示.
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问题1：你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律的吗？
问题2：人们经常用光年来表示距离的遥远，用天文数字来表示数字的庞大.古时候，人们是如何来计算这些“天文数字”的呢？
问题3：你知道同底的指数函数与对数函数有什么关系吗？
链接：对数的发明让天文学家欣喜若狂，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数字，简化了数的运算.
在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长，放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律，在本章我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化进行比较，并学着选择合适的函数关系构造函数模型解决上面提出的问题.
4.1　实数指数幂和幂函数
4.1.1　有理数指数幂
课标要求 素养要求
1.理解n次方根，n次根式的概念及运算.2.进行根式及分数指数幂的化简求值. 理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，提升学生数学抽象素养和数学运算素养.
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自主梳理
1.根式
(1)若一个实数x的n次方(n≥2，n∈N)等于a，
即xn＝a，就说x是a的n次方根.
(2)a的n次方根
当n为奇数时，数a的n次方根记作，当a>0时，
>0；
当a＝0时，＝0；当a<0时，<0.
当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫做算术根，记作.
(3)根式：式子叫做根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫做被开方数.
2.根式的性质
(1)负数没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.
(3)( )n＝a(n∈N＋，且n>1).
(4)＝a(n为大于1的奇数).
(5) ＝|a|＝(n为大于1的偶数).
3.分数指数幂
当a>0，m，n∈N且n≥2时，规定＝a，＝a－.
4.有理指数幂的运算
在a>0时，对于任意有理数r，s，仍有下列运算法则：
ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(b>0).
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)当a≥0时，表示一个数.(√)
(2)实数a的n次方根有且只有一个.(×)
提示　当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.
(3)( )n＝.(×)
提示　当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立.
(4)2＝.(×)
提示　2＝＝2.
2.若x3＝6，则x＝________，若x2＝6，则x＝________.
答案　　±
3.a－(a>0)化为根式的形式为________.
答案　
解析　a－＝＝.
4.化简
(1)＝________，(2)＝________，
(3)5－＝________.
答案　(1)m－2　(2)3　(3)
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题型一　根式的化简、求值
【例1】　化简：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
解　(1)＝|3－π|＝π－3.
(2)＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
思维升华　n为奇数时，()n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，()n才有意义，且()n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|.
【训练1】　化简下列各式
(1)；(2)(a≤1)；(3)＋；(4)()4＋(x≥1)；(5)＋.
解　(1)＝－2.
(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)＋＝a＋|1－a|＝
(4)()4＋＝x－1＋2－x＝1.
(5)＋＝a－b＋|a－b|＝
题型二　根式与分数指数幂化简
【例2】　将下列根式化成分数指数幂形式(式中字母a为正数)：
(1)·；　(2)；
(3)·；　(4)()2·.
解　(1) ·＝a·a＝a；
(2)原式＝a·a·a＝a；
(3)原式＝a·a＝a；
(4)原式＝(a)2·a·b＝ab.
思维升华　在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝和a－＝＝，其中字母a要使式子有意义.
【训练2】　用分数指数幂表示下列各式：
(1)·(a＜0)；(2)(a，b＞0)；
(3)()(b＜0)；(4)(a，b>0).
解　(1)原式＝a·(－a)
＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a＜0)；
(2)原式＝ ＝ eq \r(3,ab)
＝(a·b)＝ab(a，b＞0)；
(3)原式＝(－b)××＝(－b)(b＜0)；
(4)原式＝＝a＋－b＋1－－2＝.
题型三　有理数指数幂的运算
【例3】　(1)计算：0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)化简：÷(a＞0).
解　(1)原式＝(0.43)－－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[a×·a×(－)]÷[a×(－)·a×]
＝a－＋－＝a0＝1.
思维升华　指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
【训练3】　(1)＝________.
(2)化简下列各式(式中字母均为正数)：
①··；
②(a>0，b>0).
(1)答案　
解析　＝＝＝＝.
(2)解　①原式＝x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y.
②法一　由内向外化
＝
＝＝
＝＝
＝(a2＋－·b－1－)＝(ab－)＝ab－.
法二　由外向内化
＝＝＝＝··
＝··＝ab－.
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1.理解根式的概念及运算性质，由分数指数幂与根式的互化，得到有理数指数幂的运算，提升数学抽象素养和数学运算素养.
2.掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝
3.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.
4.有理数指数幂的运算法则：ar·at＝ar＋t，(ar)t＝art，(ab)r＝arbr，其中a，b>0，r、t为有理数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.已知m10＝2，则m等于(　　)
A. B.－
C. D.±
答案　D
解析　∵m10＝2，∴m是2的10次方根.
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数.
∴m＝±.故选D.
2.化简(2x>1)的结果是(　　)
A.1－2x B.0
C.2x－1 D.(1－2x)2
答案　C
解析　＝|1－2x|，
∵2x>1，∴1－2x<0，
∴|1－2x|＝－(1－2x)＝2x－1.
3.化简的值是(　　)
A. B.－
C.± D.－
答案　B
解析　＝＝－.
4.＋＋＝(　　)
A.1－ B.－1
C. D.0
答案　B
解析　原式＝＋1－＋|1－|
＝|1－|＋1－＋－1＝－1.
5.化简[]的结果为(　　)
A.5 B.
C.－ D.－5
答案　B
解析　[]＝()＝5×＝5＝.
二、填空题
6.若x<0，则|x|－＋＝________.
答案　1
解析　∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋＝－x＋x＋1＝1.
7.计算：0.25×－4÷20－＝________.
答案　－4
解析　原式＝×16－4÷1－＝4－4－4＝－4.
8.已知3a＝2，3b＝5，则32a－b＝________.
答案　
解析　32a－b＝＝.
三、解答题
9.将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)()－(b>0).
解　(1)原式＝＝＝＝a.
(2)原式＝＝
＝＝＝＝x－.
(3)原式＝[(b－)]－＝b－××(－)＝b.
10.计算：
(1)－＋；
(2)＋－；
(3)×(＋1)＋(－)0.
解　(1)原式＝－＋
＝－＋＝.
(2)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋＝－8.
(3)原式＝×(＋1)＋1
＝×(＋1)＋1
＝(－1)×(＋1)＋1
＝(3－1)＋1＝1＋1＝2.
INCLUDEPICTURE "../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.设a－a－＝m，则＝(　　)
A.m2－2 B.2－m2
C.m2＋2 D.m2
答案　C
解析　将a－a－＝m平方得＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝＝m2＋2.
12.已知a－a－＝，则a＋a－1＝________，a＋a－＝________.
答案　7　3
解析　因为＝()2，
∴a＋a－1－2＝5，∴a＋a－1＝7，
而＝a＋a－1＋2＝9，
∴a＋a－＝3.
13.计算下列各式：
(1)＋2－2×－(0.01)0.5；
(2)＋0.1－2＋－3π0＋；
(3)－＋＋－π0.
解　(1)原式＝1＋×－＝.
(2)原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100.
(3)原式＝－＋＋－1＝－＋＋－1＝3.
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w，已知ax＝by＝cz＝70w≠1，＝＋＋，求a，b，c的值.
解　∵ax＝70w，∴a＝70≠1，
同理可得b＝70≠1，c＝70≠1，
∴a·b·c＝70·70·70，
即(abc)＝70＋＋.
又＝＋＋，
∴abc＝70.
∵a，b，c都是正整数，70＝2×5×7，a≤b≤c，
∴a＝2，b＝5，c＝7.

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