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(共36张PPT)
4.1.2　无理数指数幂
1.理解有理数指数幂的基本不等式.
2.了解无理数指数幂的概念与含义，了解实数指数幂的运算、拓展.
课标要求
素养要求
通过对有理数指数幂，无理数指数幂的拓展，提升数学抽象素养和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.有理数指数幂的基本不等式
(1)对任意的__________r和______a，若a>1，则_______；若a<1，则________.
(2)对任意的负有理数r和正数a，若a>1，则__________；若a<1，则_______.
正有理数
正数
ar>1
ar<1
ar<1
ar>1
ar－s>1
ar>as
ar2.无理数指数幂
(1)一般地，无理数指数幂aμ(a>0，μ为无理数)是一个确定的______，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
(2)一般的幂运算基本不等式：
对任意正数μ和正数a，若a>1，则__________；若a<1，则__________，
对任意的负数μ和正数a，若a>1，则__________；若a<1，则__________.
实数
aμ>1
aμ<1
aμ<1
aμ>1
1.思考辨析，判断正误
×
×
(2)对于正数a，实数为r与s，若r>s，则ar>as.( )
提示　当a>1时，ar>as，当a<1时，ar√
B
2 021
>
4.比较大小
>
<
<
<
>
课堂互动
题型剖析
2
题型一　幂的化简
【例1】　化简下列各式：
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
思维升华
【训练1】　计算或化简：
题型二　幂运算的基本不等式
【例2】　已知a>1，t>0，对任意实数m，求证：am＋t＋am－t>2am.
证明　∵am＋t，am，am－t都为正数，
∴am＋t－am>am－am－t，
即am＋t＋am－t>2am.
对于正数a与实数μ，当μ>0时，若a>1，则aμ>1.若a<1，则aμ<1，当μ<0时，若a>1，则aμ<1；若a<1，则aμ>1.
思维升华
【训练2】　若a>b>0，对r<0，求证：ar题型三　实数指数幂的计算求值
3
7
x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
思维升华
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
(2)因为a＋a－1＝7，所以(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.
1.将有理数指数幂拓展到无理数指数幂，提升数学抽象素养和数学运算素养.
2.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
3.指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
C
D
A
A.a16 B.a8 C.a4 D.a2
C
B
二、填空题
3×2n－3
4
三、解答题
9.计算下列各式(式中字母都是正数).
10.求下列各式的值：
11.(多选题)下列各式的化简中，正确的是(　　)
CD
12.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
解析　利用一元二次方程根与系数的关系，
13.计算下列各式的值：
14.化简下列各式：4.1.2　无理数指数幂
课标要求 素养要求
1.理解有理数指数幂的基本不等式.2.了解无理数指数幂的概念与含义，了解实数指数幂的运算、拓展. 通过对有理数指数幂，无理数指数幂的拓展，提升数学抽象素养和数学运算素养.
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自主梳理
1.有理数指数幂的基本不等式
(1)对任意的正有理数r和正数a，若a>1，则ar>1；若a<1，则ar<1.
(2)对任意的负有理数r和正数a，若a>1，则ar<1；若a<1，则ar>1.
(3)对任意的正数a，两有理数r与s
当a>1且r>s，有＝ar－s>1，即ar>as；
当a<1且r>s，有＝ar－s<1，即ar2.无理数指数幂
(1)一般地，无理数指数幂aμ(a>0，μ为无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
(2)一般的幂运算基本不等式：
对任意正数μ和正数a，若a>1，则aμ>1；若a<1，则aμ<1，
对任意的负数μ和正数a，若a>1，则aμ<1；若a<1，则aμ>1.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)>1.(×)
提示　<1，>0，故<1.
(2)对于正数a，实数为r与s，若r>s，则ar>as.(×)
提示　当a>1时，ar>as，当a<1时，ar(3)整数指数幂的运算性质＝an－m，可以推广到任意实数，即其中a>0，m，n∈R也成立.(√)
2.化简[]的结果为(　　)
A.5 B.
C.－ D.－5
答案　B
解析　[]＝()＝5×＝5＝.
3.化简：
(1)[(2 021)＋]－＝________，(2)2－π·π－1＝________.
答案　(1)2 021　(2)
4.比较大小
(1)1.1________1，(2)________1，
(3)________1，(4)________1，
(5)________1，(6)(1.3)________1.
答案　(1)>　(2)>　(3)<　(4)<　(5)<　(6)>
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题型一　幂的化简
【例1】　化简下列各式：
(1)(a>0，b>0)；(2)(2＋)2－；
(3)4x(－3xy－)÷(－6x－y－)(x，y>0).
解　(1)＝＝1；
(2)(2＋)2－＝(2＋)(2－)＝2＝2；
(3)4x(－3xy－)÷(－6x－y－)
＝2x＋＋·y－＋＝2xy.
思维升华　指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
【训练1】　计算或化简：
(1)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；
(2)·(a>0).
解　(1)原式＝(－1)－＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝(a·a－)·[(a－5)－·(a－)13]
＝(a0)·(a·a－)＝(a－4)＝a－2.
题型二　幂运算的基本不等式
【例2】　已知a>1，t>0，对任意实数m，求证：am＋t＋am－t>2am.
证明　∵am＋t，am，am－t都为正数，
又＝＝at>1，∴am＋t>am，am>am－t，
∴＝＝at>1，
∴am＋t－am>am－am－t，
即am＋t＋am－t>2am.
思维升华　对于正数a与实数μ，当μ>0时，若a>1，则aμ>1.若a<1，则aμ<1，当μ<0时，若a>1，则aμ<1；若a<1，则aμ>1.
【训练2】　若a>b>0，对r<0，求证：ar证明　∵a>b>0，∴>1，又∵r<0，∴<1，
即<1，∴ar题型三　实数指数幂的计算求值
【例3】　(1)若x＝2，则(x＋3)＝________.
(2)若x－x－＝1，则x＋x－1＝________；
x2＋x－2＝________.
答案　(1)±1　(2)3　7
解析　(1)因为x＝2，则＝23＝8，得x2＝23，解得x＝±2，所以(x＋3)＝(3±2)＝[(±1)2]＝±1.
(2)将x－x－＝1，两边平方得x＋x－1－2＝1，则x＋x－1＝3.
x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
思维升华　利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝(x±x－)2 2，x＋x－＝(x±x－)2 2.
【训练3】　已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
解　(1)因为a＋a－＝3，所以＝a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.
(2)因为a＋a－1＝7，所以(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.
INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.将有理数指数幂拓展到无理数指数幂，提升数学抽象素养和数学运算素养.
2.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
3.指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.在，2－，，2－1中，最大的数是(　　)
A. B.2－
C. D.2－1
答案　C
解析　＝－2，2－＝＝，＝，2－1＝，所以最大.
2.若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是(　　)
A.R B.∪
C. D.
答案　D
解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，解得x<.
3.＋(－1)－1÷0.75－2＋＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案　A
解析　原式＝－1÷＋＝－1÷＋＝－＋＝.
4.已知a>0，化简()4·()4的结果是(　　)
A.a16 B.a8
C.a4 D.a2
答案　C
解析　原式＝·＝·＝a2·a2＝a4.
5.2，3，6这三个数的大小关系为(　　)
A.6<3<2 B.6<2<3
C.2<3<6 D.3<2<6
答案　B
解析　2＝2＝＝，3＝3＝＝，6＝.
∵<<，∴6<2<3
二、填空题
6.计算(4－3)＋3＝________.
答案　
解析　原式＝4(－3)(＋3)＝47－9＝4－2＝.
7.如果a＝3，b＝384，那么a＝________.
答案　3×2n－3
解析　an－3＝3＝3(128)n－3＝3×2n－3.
8.已知a>0，化简－＝________.
答案　4
解析　因为a>0，所以－＝－＝4.
三、解答题
9.计算下列各式(式中字母都是正数).
(1)(0.027)＋－；
(2)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)；
(3).
解　(1)(0.027)＋－
＝[(0.3)3]＋－
＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－
＝4ab0＝4a.
(3)＝＝m－＋m.
10.求下列各式的值：
(1)7－3－6＋；
(2)－0.250.5＋0.5－2－.
解　(1)原式＝7×3－3－6＋eq \r(4,3×3)
＝7×3－6×3－6×3－＋3
＝2×3－2×3×3－
＝2×3－2×3＝0.
(2)原式＝－[(0.5)2]0.5＋22－1
＝－＋4－1＝.
INCLUDEPICTURE "../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.(多选题)下列各式的化简中，正确的是(　　)
A.－＝(－x)
B.x－＝－
C.＝(x，y≠0)
D.(－1)＋1＝2
答案　CD
解析　－＝－x，x－＝，故A、B都错，C、D正确.
12.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
答案　　2
解析　利用一元二次方程根与系数的关系，
得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
13.计算下列各式的值：
(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)(a ·b－)－·÷(a＞0，b＞0).
解　(1)原式＝[(0.3)3]－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.
(2)原式＝a×(－)·b(－)×(－)·a÷b
＝a－·b·a÷b
＝a－＋b－＝a0b0＝1.
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.化简下列各式：
(1)(a>0，b>0)；(2)(a>0)；
(3)－(a>0).
解　(1)＝＝a＋b.
(2)＝＝a2－－＝a(a>0).
(3)－
＝－
＝a－－a－＝0.

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