湘教版(2019)高中数学必修第一册 2.1.1 等式与不等式(课件2份+学案2份)

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湘教版(2019)高中数学必修第一册 2.1.1 等式与不等式(课件2份+学案2份)

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(共35张PPT)
第2章
2.1 相等关系与不等关系
2.1.1 等式与不等式
第一课时 等式与不等式
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.
2.初步学会作差法比较两个实数的大小.
课标要求
素养要求
通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小,发展数学抽象及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.现实世界中,既有大量的相等关系,又广泛地存在着__________.
2.关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实:
如果a-b>0,那么________;如果a-b=0,那么________;
如果a-b<0,那么________,反过来也成立.
即a>b ____________,
a=b ____________,
a由此可见,要比较两个实数的大小,只考察它们的____就可以了.
不等关系
a>b
a=b
aa-b>0
a-b=0
a-b<0

×
1.思考辨析,判断正误
(1)a不小于b可以表示为a>b.( )
提示 a不小于b应表示为a≥b.
(2)若x-y>0,我们就说x大于y.( )
(3)代数式x2+1一定大于代数式2x.( )
提示 ∵x2+1-2x=(x-1)2≥0,∴x2+1≥2x,故错误.

×
2.下面列出的不等式中,正确的是(  )
A.a不是负数,可表示成a>0
B.x不大于3,可表示成x<3
C.m与4的差是负数,可表示成m-4<0
D.x与2的和是非负数,可表示成x+2>0
解析 a不是负数,可表示成a≥0;x不大于3可表示成x≤3;m与4的差是负数,可表示成m-4<0;x与2的和是非负数,可表示成x+2≥0.
C
3.某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h,行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于10 m.用不等式(组)表示为(  )
D
解析 两个条件同时成立,需用不等式组表示.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍,写出满足所有上述不等关系的不等式(组).
解 设截得500 mm的钢管x根,截得600 mm的钢管y根.
1.将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
思维升华
文字语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于等于,至少,不低于 小于等于,至多,不超过
符号语言 > < ≥ ≤
【训练1】 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,则
题型二 实数(式)的比较大小
作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤
第一步:作差并变形,其目标是应容易判断差的符号.
变形有两种情形:
①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.
②将差式通过配方转化为几个非负数之和,然后判断.
第二步:判断差值与零的大小关系.
第三步:得出结论.
思维升华
【训练2】 已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小.
解 ∵(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1
=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2
∴x3-1<2x2-2x.
题型三 不等关系的实际应用
【例3】 为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角x个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求有哪些符合题意的组建方案.
解 因为组建中型图书角x个,所以组建小型图书角为(30-x)个,
由于x只能取正整数,
∴x的取值是18,19,20.
当x=18时,30-x=12;
当x=19时,30-x=11;
当x=20时,30-x=10.
故有三种组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.
1.根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.
2.根据实际问题列出不等式(组),应从是否符合实际意义出发,而不能拘于某一种形式.
思维升华
【训练3】 在例3的方案中,哪种方案用书籍最少?共用多少本?
解 比较3种方案可知当x=18时用书籍最少.共用书籍130×18+90×12=3 420(本).
1.通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系,提升数学抽象素养,通过作差法比较两实数的大小,培养数学运算素养.
2.比较两个实数的大小,只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步,变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式. 
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(  )
A.a+b<0 B.a+b>0
C.a+b≤0 D.a+b≥0
解析 a与b的和是非正数,即a+b≤0.
C
2.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为(  )
A.T<40 B.T>40
C.T≤40 D.T≥40
解析 “限重40吨”用不等式表示为T≤40.
C
3.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式(组)表示就是(  )
D
解析 “不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,
∴x≥95,y>380,z>45.
4.下列不等式,正确的个数为(  )
①x2+3>2x(x∈R);②a3+b3≥a2b+ab2;③a2+b2≥2(a-b-1).
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 ①x2+3-2x=(x-1)2+2>0,∴x2+3>2x;②a3+b3-a2b-ab2=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2)=(a+b)(a-b)2,(a-b)2≥0,但a+b的符号不能确定,∴②不一定正确;③a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1).故①③正确,选C.
C
5.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是(  )
A
A.h2>h1>h4 B.h1>h2>h3 C.h3>h2>h4 D.h2>h4>h1
解析 根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.
二、填空题
6.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水就变甜了,试根据此
事实提炼一个不等式:___________.
解析 变甜了,意味着含糖量大了,即浓度高了.
8.(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小关系为_______________________.
(x+5)(x+7)<(x+6)2
解析 因为(x+5)(x+7)-(x+6)2
=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0.
所以(x+5)(x+7)<(x+6)2.
三、解答题
10.设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.
解 ∵(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2)
=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1
=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,
11.(多选题)下列不等式恒成立的有(  )
A
解析 a2+2-2a=(a-1)2+1>0,
∴a2+2>2a,A对;
a2+b2-2(a-b-1)=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴B对.
M>N
∵ab<1,∴2ab<2,
∴a+b+2ab<2+a+b,∴M>N.
13.有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.
解 设宿舍有x间,则学生有(4x+19)人,依题意,
∵x∈N+,∴x=10,11或12.学生人数分别为59,63,67.
故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人.
14.甲、乙是同班同学,且住在同一小区,两人同时从小区出发去学校,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,且跑步速度大于步行速度,试判断两人谁先到学校.第二课时 等式与不等式的性质
课标要求 素养要求
1.掌握不等式的基本性质.2.运用不等式的性质解决有关问题. 通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题,提升数学抽象及数学运算素养.
INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
不等式的性质
性质1 如果a>b,那么bb.
即a>b b性质2 如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>c a>c.
由以上两性质还可以推出c性质3 如果a>b,那么a+c>b+c.
推论1:如果a+b>c,那么a>c-b.
推论2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc;
如果a>b,c<0,那么ac推论3:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N+).
性质5 如果a>b>0,那么>(n∈N+).
性质6 如果a>b,ab>0,那么<.
如果a>b,ab<0,那么>.
自主检验
1.思考辨析,判断正误
(1)a>b ac2>bc2.(×)
提示 当c=0时,不成立.
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)
提示 相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系.
(3)设a,b∈R,且a>b,则a3>b3.(√)
2.已知a,b,m是正实数,则不等式>成立的条件是(  )
A.ab
C.与m有关 D.恒成立
答案 B
解析 -=,而a>0,m>0且>0,
∴a-b>0.即a>b.
3.已知m>n,则(  )
A.m2>n2 B.>
C.mx2>nx2 D.m+x>n+x
答案 D
解析 由于m2-n2=(m-n)(m+n),而m+n>0不一定成立,所以m2>n2不一定成立,而,不一定有意义,所以选项A,B不正确;选项C中,若x2=0,则不成立.
INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 若<<0,有下面四个不等式:①|a|>|b|,②ab3,则不正确的不等式的个数是(  )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 C
解析 由<<0可得b0,则a+bb3,④正确.
故不正确的不等式的个数为2.
思维升华 不等式的性质常与比较大小结合考查,此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以用特殊值求解.
【训练1】 设a>b>0,cA.ac>bd B.<
C.> D.ac2答案 B
解析 a>b>0,c-d>0,
即有-ac>-bd>0,即ac由cd>0,又ac由-c>-d>0,-ac>-bd>0,
可得ac2>bd2,则D错.故选B.
题型二 利用不等式的性质证明不等式
【例2】 若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤.
证明 ∵bc-ad≥0,∴bc≥ad,
∴bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b).
又bd>0,两边同除以bd得,≤.
思维升华 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小;
2.证明不等式可以利用不等式性质证明,也可以用作差比较法证明,利用不等式性质证明时,不可省略条件或跳步推导.
【训练2】 (1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac(2)a证明 (1)因为a>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc.
又e>f,即f(2)由于-==,
∵a0,ab>0,
∴<0,故<.
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 已知1解 ∵3∴1-4又<<,
∴<<,
即<<2.
故a-b的取值范围为(-3,3),的取值范围为.
思维升华 求含字母的数(或式子)的取值范围时,一要注意题设中的条件,二要正确使用不等式的性质,尤其是两个同方向的不等式可加不可减,可乘(同正)不可除.
【训练3】 已知-<β<α<,求2α-β的取值范围.
解 ∵-<α<,-<β<,
∴-<-β<.∴-π<α-β<π.
又∵β<α,∴α-β>0,∴0<α-β<π,
又2α-β=α+(α-β),
∴-<2α-β<π.
故2α-β的取值范围为.
INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.通过学习并理解不等式的性质,培养数学抽象素养,通过运用不等式的性质解决问题,提升数学运算素养.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立,实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形,证明过程中注意不等式成立的条件.                  
INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.已知aA.< B.>
C.a2答案 B
解析 因为a则->-,可排除A;
(-3)2>(-2)2,可排除C;
=>1,可排除D;
而->-,即>,B正确.
2.设xA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
答案 B
解析 ∵xa2.
∵x2-ax=x(x-a)>0,∴x2>ax.
又ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
3.设aA.> B.acC.|a|>-b D.>
答案 B
解析 a,选项A正确;当c>0时选项B成立,其余情况不成立,则选项B不正确;|a|=-a>-b,则选项C正确;由-a>-b>0,可得>,则选项D正确,故选B.
4.已知a<0,b<-1,则下列不等式成立的是(  )
A.a>> B.>>a
C.>a> D.>>a
答案 D
解析 由题意知>0,b2>1,
则>a,且<0,所以>>a.
5.若1A.-3C.-3答案 C
解析 ∵-4又∵1二、填空题
6.若a>b>0,则a+________b+(用“<”,“>”,“=”填空).
答案 >
解析 法一 ∵a>b>0,∴0<<,
即>>0,∴a+>b+.
法二 a+-=,
∵a>b>0,∴a-b>0,ab>0,1+ab>0,
则a+>b+.
7.若a答案 <
解析 -==,
∵a8.已知-≤α<β≤,则的取值范围是________.
答案 
解析 ∵-≤α<β≤,∴-≤<≤.
∴-≤<,①
-<≤,∴-≤-<.②
由①+②得-≤<.
又知α<β,∴α-β<0.∴-≤<0.
三、解答题
9.判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)若a(2)若ac3b;
(3)若a>b,且k∈N+,则ak>bk;
(4)若a>b,b>c则a-b>b-c.
解 (1)∵a0,
∴>不一定成立,
∴推不出<,∴是假命题.
(2)当c>0时,c3>0,∴a(3)当a=1,b=-2,k=2时,显然命题不成立,∴是假命题.
(4)当a=2,b=0,c=-3时,满足a>b,b>c这两个条件,但是a-b=210.已知c>a>b>0,求证:>.
证明 -=
==.
∵c>a>b>0,∴c-a>0,c-b>0,a-b>0.
∴>0.∴>.
INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.如果-1A.<C.<答案 A
解析 ∵-10,
∴<即<<0,
∴012.若8答案 (2,5)
解析 ∵2又∵813.已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,求4a-2b的取值范围.
解 法一 设u=a+b,v=a-b得a=,b=,
∴4a-2b=2u+2v-u+v=u+3v.
∵1≤u≤4,-1≤v≤2,∴-3≤3v≤6.
则-2≤u+3v≤10,即-2≤4a-2b≤10.
∴4a-2b的取值范围为[-2,10].
法二 令4a-2b=x(a+b)+y(a-b),
∴4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.
∴∴

∴-2≤4a-2b≤10.
∴4a-2b的取值范围为[-2,10].
INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.已知△ABC的三边a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则的取值范围是________.
答案 
解析 ∵b+c≤2a.c+a≤2b,且c>a-b,c>b-a,
∴∴∴<<.(共36张PPT)
第二课时 等式与不等式的性质
1.掌握不等式的基本性质.
2.运用不等式的性质解决有关问题.
课标要求
素养要求
通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题,提升数学抽象及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
不等式的性质
性质1 如果a>b,那么bb.
即a>b b性质2 如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>c ________.
由以上两性质还可以推出c性质3 如果a>b,那么a+c>b+c.
推论1:如果a+b>c,那么a>________.
推论2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
a>c
cc-b
性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc;
如果a>b,c<0,那么____________.
推论3:如果a>b>0,c>d>0,则____________.
推论4:如果a>b>0,那么____________ (n∈N+).
acac>bd
an>bn
1.思考辨析,判断正误
(1)a>b ac2>bc2.( )
提示 当c=0时,不成立.
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.( )
×
(3)设a,b∈R,且a>b,则a3>b3.( )
×

A.ab
C.与m有关 D.恒成立
B
∴a-b>0.即a>b.
3.已知m>n,则(  )
D
课堂互动
题型剖析
2
题型一 利用不等式的性质判断命题的真假
A.0 B.1 C.2 D.3
a+b<0,ab>0,则a+bb3,④正确.
故不正确的不等式的个数为2.
B
不等式的性质常与比较大小结合考查,此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以用特殊值求解.
思维升华
【训练1】 设a>b>0,c解析 a>b>0,c-d>0,
即有-ac>-bd>0,即ac由-c>-d>0,-ac>-bd>0,
可得ac2>bd2,则D错.故选B.
B
题型二 利用不等式的性质证明不等式
证明 ∵bc-ad≥0,∴bc≥ad,
∴bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b).
1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小;
2.证明不等式可以利用不等式性质证明,也可以用作差比较法证明,利用不等式性质证明时,不可省略条件或跳步推导.
思维升华
证明 (1)因为a>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc.
又e>f,即f题型三 利用不等式的性质求范围
解 ∵3∴1-4求含字母的数(或式子)的取值范围时,一要注意题设中的条件,二要正确使用不等式的性质,尤其是两个同方向的不等式可加不可减,可乘(同正)不可除.
思维升华
又∵β<α,∴α-β>0,∴0<α-β<π,
又2α-β=α+(α-β),
1.通过学习并理解不等式的性质,培养数学抽象素养,通过运用不等式的性质解决问题,提升数学运算素养.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立,实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形,证明过程中注意不等式成立的条件.  
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.已知a解析 因为aA
2.设xA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
解析 ∵xa2.
∵x2-ax=x(x-a)>0,∴x2>ax.
又ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
B
3.设aB
当c>0时选项B成立,其余情况不成立,则选项B不正确;
|a|=-a>-b,则选项C正确;
4.已知a<0,b<-1,则下列不等式成立的是(  )
D
5.若1A.-3C.-3解析 ∵-4又∵1C
二、填空题
>
∵a>b>0,∴a-b>0,ab>0,1+ab>0,
三、解答题
9.判断下列各命题的真假,并说明理由.
(2)当c>0时,c3>0,∴a(3)当a=1,b=-2,k=2时,显然命题不成立,∴是假命题.
(4)当a=2,b=0,c=-3时,满足a>b,b>c这两个条件,但是a-b=211.如果-1A
(2,5)
13.已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,求4a-2b的取值范围.
∴4a-2b=2u+2v-u+v=u+3v.
∵1≤u≤4,-1≤v≤2,∴-3≤3v≤6.
则-2≤u+3v≤10,即-2≤4a-2b≤10.
∴4a-2b的取值范围为[-2,10].
法二 令4a-2b=x(a+b)+y(a-b),
∴4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.
∴-2≤4a-2b≤10.
∴4a-2b的取值范围为[-2,10].
解析 ∵b+c≤2a.c+a≤2b,且c>a-b,c>b-a,第2章 一元二次函数、方程和不等式
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
柯西与柯西不等式
在历史上,有一位数学家叫欧拉,他的徒弟叫拉格朗日,他徒弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他,但是还是写了些东西,做出了一些成就.柯西,出生于巴黎,在数学领域有很高的建树和造诣,很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼,如柯西不等式、柯西积分公式,他在数学和应用数学的功底是相当深厚的,在数学写作上,他是被认为在数量上仅次于欧拉的人,他一生一共著作了789篇论文和几本书.
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.在日常生活中,购买火车票有一项规定:随同成人旅行,身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m的儿童,享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票),超1.5 m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2 m的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票.
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图1
2.汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”,“刹车距离”是分析
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图2
事故的重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但最后还是碰了,事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12 m,乙的刹车距离超过10 m,又知甲乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.
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图3
3.某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的重量a和b,然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑.
问题1:在图1中,从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢?
问题2:在图2中,如何检验甲乙两车有无超速现象?
问题3:在图3中,这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢?
链接:相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系,我们可以利用相等关系或不等关系构建方程、不等式等,不等式中通常利用不等符号来表示,如不超过即为小于等于,超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系,通过本章学习,我们可以迅速的判断汽车是否超速及项链重量的真实性问题.
2.1 相等关系与不等关系
2.1.1 等式与不等式
第一课时 等式与不等式
课标要求 素养要求
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两个实数的大小. 通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小,发展数学抽象及数学运算素养.
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自主梳理
1.现实世界中,既有大量的相等关系,又广泛地存在着不等关系.
2.关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实:
如果a-b>0,那么a>b;如果a-b=0,那么a=b;
如果a-b<0,那么a即a>b a-b>0,
a=b a-b=0,
a由此可见,要比较两个实数的大小,只考察它们的差就可以了.
自主检验
1.思考辨析,判断正误
(1)a不小于b可以表示为a>b.(×)
提示 a不小于b应表示为a≥b.
(2)若x-y>0,我们就说x大于y.(√)
(3)代数式x2+1一定大于代数式2x.(×)
提示 ∵x2+1-2x=(x-1)2≥0,∴x2+1≥2x,故错误.
2.下面列出的不等式中,正确的是(  )
A.a不是负数,可表示成a>0
B.x不大于3,可表示成x<3
C.m与4的差是负数,可表示成m-4<0
D.x与2的和是非负数,可表示成x+2>0
答案 C
解析 a不是负数,可表示成a≥0;x不大于3可表示成x≤3;m与4的差是负数,可表示成m-4<0;x与2的和是非负数,可表示成x+2≥0.
3.某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h,行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于10 m.用不等式(组)表示为(  )
A.v≤120 km/h        B.d≥10 m
C.v≤120 km/h或d≥10 m D.
答案 D
解析 两个条件同时成立,需用不等式组表示.
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题型一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍,写出满足所有上述不等关系的不等式(组).
解 设截得500 mm的钢管x根,截得600 mm的钢管y根.
根据题意得:
思维升华 1.将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于等于,至少,不低于 小于等于,至多,不超过
符号语言 > < ≥ ≤
【训练1】 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,则
题型二 实数(式)的比较大小
【例2】 已知a>0,试比较a与的大小.
解 因为a-==,a>0,
所以当a>1时,>0,有a>;
当a=1时,=0,有a=;
当0综上,当a>1时,a>;
当a=1时,a=;
当0思维升华 作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤
第一步:作差并变形,其目标是应容易判断差的符号.
变形有两种情形:
①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.
②将差式通过配方转化为几个非负数之和,然后判断.
第二步:判断差值与零的大小关系.
第三步:得出结论.
【训练2】 已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小.
解 ∵(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1
=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2
=(x-1)(x2-x+1)=(x-1),
∵+>0,x-1<0,
∴(x-1)<0,
∴x3-1<2x2-2x.
题型三 不等关系的实际应用
【例3】 为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角x个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求有哪些符合题意的组建方案.
解 因为组建中型图书角x个,所以组建小型图书角为(30-x)个,

解这个不等式组得18≤x≤20.
由于x只能取正整数,
∴x的取值是18,19,20.
当x=18时,30-x=12;
当x=19时,30-x=11;
当x=20时,30-x=10.
故有三种组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.
思维升华 1.根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.
2.根据实际问题列出不等式(组),应从是否符合实际意义出发,而不能拘于某一种形式.
【训练3】 在例3的方案中,哪种方案用书籍最少?共用多少本?
解 比较3种方案可知当x=18时用书籍最少.共用书籍130×18+90×12=3 420(本).
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1.通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系,提升数学抽象素养,通过作差法比较两实数的大小,培养数学运算素养.
2.比较两个实数的大小,只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步,变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.                  
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一、选择题
1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(  )
A.a+b<0 B.a+b>0
C.a+b≤0 D.a+b≥0
答案 C
解析 a与b的和是非正数,即a+b≤0.
2.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为(  )
A.T<40 B.T>40
C.T≤40 D.T≥40
答案 C
解析 “限重40吨”用不等式表示为T≤40.
3.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式(组)表示就是(  )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 “不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,
∴x≥95,y>380,z>45.
4.下列不等式,正确的个数为(  )
①x2+3>2x(x∈R);②a3+b3≥a2b+ab2;③a2+b2≥2(a-b-1).
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 C
解析 ①x2+3-2x=(x-1)2+2>0,∴x2+3>2x;②a3+b3-a2b-ab2=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2)=(a+b)(a-b)2,(a-b)2≥0,但a+b的符号不能确定,∴②不一定正确;③a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1).故①③正确,选C.
5.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是(  )
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A.h2>h1>h4 B.h1>h2>h3
C.h3>h2>h4 D.h2>h4>h1
答案 A
解析 根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.
二、填空题
6.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水就变甜了,试根据此事实提炼一个不等式:________.
答案 >
解析 变甜了,意味着含糖量大了,即浓度高了.
7.若x∈R,则与-的大小关系为________.
答案 ≥-
解析 ∵+==≥0.
∴≥-.
8.(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小关系为________.
答案 (x+5)(x+7)<(x+6)2
解析 因为(x+5)(x+7)-(x+6)2
=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0.
所以(x+5)(x+7)<(x+6)2.
三、解答题
9.一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的,白球与黑球的个数之和至少为55,试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来.
解 据题意可得(x,y,z∈N).
10.设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.
解 ∵(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2)
=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1
=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,
当且仅当x=y=且z=1时取等号.
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11.(多选题)下列不等式恒成立的有(  )
A.a2+2>2a B.a2+b2≥2(a-b-1)
C.a2+b2≥ab D.+3<+2
答案 ABC
解析 a2+2-2a=(a-1)2+1>0,
∴a2+2>2a,A对;
a2+b2-2(a-b-1)=a2-2a+1+b2+2b+1
=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴B对.
a2+b2-ab=a2-ab++
=+≥0,
∴C对.
+3--2=-+1
=+>0.
∴D错.
12.已知0答案 M>N
解析 ∵0M=+=,
N=+=.
∵ab<1,∴2ab<2,
∴a+b+2ab<2+a+b,∴M>N.
13.有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.
解 设宿舍有x间,则学生有(4x+19)人,依题意,
解得∵x∈N+,∴x=10,11或12.学生人数分别为59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人.
INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.甲、乙是同班同学,且住在同一小区,两人同时从小区出发去学校,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,且跑步速度大于步行速度,试判断两人谁先到学校.
解 设步行速度与跑步速度分别为v1,v2,其中0则甲用的时间为+,乙用的时间为.
因为+-==>0,
所以+>,故乙同学先到学校.

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