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4.3.3　对数函数的图象与性质
第一课时　对数函数的图象与性质(一)
1.理解对数函数的概念.
2.初步掌握对数函数的图象和性质.
课标要求
素养要求
理解对数函数的概念及图象、性质，发展学生的数学抽象素养，直观想象素养及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.对数函数的概念
一般地，函数______________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是______________.
y＝logax(a>0，且a≠1)
(0，＋∞)
2.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
性 质 定义域 (0，＋∞) (0，＋∞)
值域 R R
过定点 (1，0) (1，0)
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
(1)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与_____________________________互为反函数.
(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成______________的形式，如果这种形式是______确定的，就得到f(x)的反函数g(x).
3.反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)
y＝g(x)
唯一
点睛
互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称　　　
1.思考辨析，判断正误
×
提示　对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以错误.
(2)函数y＝2log3x是对数函数.( )
提示　在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以错误.
(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞).( )
提示　由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以错误.
(4)y＝ax与y＝logax的单调区间相同.( )
提示　y＝ax在(－∞，＋∞)上单调，而y＝logax在(0，＋∞)上单调.
×
×
×
2.下列函数是对数函数的是(　　)
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
解析　选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
D
3.若对数函数的图象过点P(9，2)，则此对数函数的解析式为____________.
解析　设对数函数为y＝logax(a>0且a≠1)，
∴2＝loga9，
∴a＝3，
∴解析式为y＝log3x.
y＝log3x
(1，2)
4.函数f(x)＝loga(2x－1)＋2的图象恒过定点________.
解析　令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图象恒过定点(1，2).
课堂互动
题型剖析
2
题型一　对数函数的概念
【例1】　(1)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，
∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，
∴⑥也不是对数函数.只有③④符合对数函数的定义.
B
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
－3
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
思维升华
【训练1】　若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
解得a＝4.
4
题型二　对数函数的定义域
A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)
C.(－1，1)∪(1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
C
C
求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变.
思维升华
【训练2】　求下列函数的定义域：
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).
题型三　对数函数的图象
【例3】　(1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　)
A.(1，2) B.(2，1) C.(－2，1) D.(－1，1)
(2)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A.0＜a＜b＜1 B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1 D.b＞a＞1
D
解析　(1)令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1).
(2)作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
B
函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响.
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图象向右越靠近x轴.
思维升华
(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
【训练3】　已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝b＋logax的图象大致是(　　)
解析　由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0D
1.学习对数函数的概念、发展学生的数学抽象素养，运用对数函数的图象与性质提升直观想象素养和数学运算素养.
2.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0，且a≠1)这种形式.真数x>0.
3.在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象直接产生影响，要注意分a>1和0课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
A.(1，1) B.(1，0) C.(2，1) D.(2，0)
C
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(2，3)∪(3，＋∞) D.(2，4)∪(4，＋∞)
C
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称
B
4.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是(　　)
A.a＞b＞c 　　
B.c＞b＞a
C.c＞a＞b 　　
D.a＞c＞b
解析　y＝logax的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b，c∈(0，1)，又易知c＞b，故a＞c＞b.
D
5.函数f(x)＝lg |x|(　　)
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
解析　f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，故为偶函数，x>0时，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，故y＝lg|x|在(－∞，0)上单调递减.
B
二、填空题
[2，＋∞)
解析　要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，
则函数f(x)的定义域是[2，＋∞).
16
∴原式＝2×8＝16.
解析　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
10.已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)＜f(2)，利用图象求a的取值范围.
解　(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示.
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：函数f(x)为单调增函数，当0＜a＜2时，恒有f(a)＜f(2).∴所求a的取值范围为(0，2).
11.(多选题)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a>0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
AD
解析　由题意知f(x)＝ax－2是指数型函数，
g(x)＝loga|x|是对数型函数，且是一个偶函数.当01时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意，故选AD.
12.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为__________________.
13.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象.
解　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x).又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的大致图象如图所示：
解析　f(－1)＝3－1>0，故f(f(－1))＝f(3－1)＝log33－1＝－1.
当x≤0时，f(x)＝3x>0，f(f(x))＝f(3x)＝log33x＝x；
当0当x＝1时，f(x)＝log31＝0，f(f(x))＝f(0)＝30＝1；
当x>1时，f(x)＝log3x>0，f(f(x))＝log3(log3x)≠x，故使f(f(x))＝x的x的取值范围是(－∞，1].
－1
(－∞，1]4.3.3　对数函数的图象与性质
第一课时　对数函数的图象与性质(一)
课标要求 素养要求
1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象和性质. 理解对数函数的概念及图象、性质，发展学生的数学抽象素养，直观想象素养及数学运算素养.
INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
2.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象 INCLUDEPICTURE "../../../xj46.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../xj46.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../xj47.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../xj47.TIF" \* MERGEFORMAT
性质 定义域 (0，＋∞) (0，＋∞)
值域 R R
过定点 (1，0) (1，0)
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
(1)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).
INCLUDEPICTURE "../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT
互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数y＝logx是对数函数.(×)
提示　对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以错误.
(2)函数y＝2log3x是对数函数.(×)
提示　在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以错误.
(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞).(×)
提示　由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为
(－1，＋∞)，所以错误.
(4)y＝ax与y＝logax的单调区间相同.(×)
提示　y＝ax在(－∞，＋∞)上单调，而y＝logax在(0，＋∞)上单调.
2.下列函数是对数函数的是(　　)
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
答案　D
解析　选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
3.若对数函数的图象过点P(9，2)，则此对数函数的解析式为________.
答案　y＝log3x
解析　设对数函数为y＝logax(a>0且a≠1)，
∴2＝loga9，
∴a＝3，
∴解析式为y＝log3x.
4.函数f(x)＝loga(2x－1)＋2的图象恒过定点________.
答案　(1，2)
解析　令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图象恒过定点(1，2).
INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　对数函数的概念
【例1】　(1)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
答案　(1)B　(2)－3
解析　(1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，
∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，
∴⑥也不是对数函数.只有③④符合对数函数的定义.
(2)由题意设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，则f(4)＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝，f(x)＝logx，所以f(8)＝log8＝－3.
思维升华　判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
【训练1】　若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
答案　4
解析　由题意可知
解得a＝4.
题型二　对数函数的定义域
【例2】　(1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是(　　)
A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)
C.(－1，1)∪(1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
(2)若f(x)＝eq \f(1,log（2x＋1）)，则f(x)的定义域为(　　)
A. B.
C.∪(0，＋∞) D.
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)由题意知解得x＞－1且x≠1.
(2)由题意有
解得x＞－且x≠0.
思维升华　求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变.
【训练2】　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x).
解　(1)要使函数有意义，需满足
解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).
题型三　对数函数的图象
【例3】　(1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　)
A.(1，2) B.(2，1)
C.(－2，1) D.(－1，1)
(2)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../S120XJ.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S120XJ.TIF" \* MERGEFORMAT
A.0＜a＜b＜1
B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1
D.b＞a＞1
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1).
(2)作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
思维升华　函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响.
INCLUDEPICTURE "../../../S119XJ.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S119XJ.TIF" \* MERGEFORMAT
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图象向右越靠近x轴.
(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
【训练3】　已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝b＋logax的图象大致是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../xj51.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../xj51.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../../xj52.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../xj52.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　D
解析　由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.学习对数函数的概念、发展学生的数学抽象素养，运用对数函数的图象与性质提升直观想象素养和数学运算素养.
2.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0，且a≠1)这种形式.真数x>0.
3.在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象直接产生影响，要注意分a>1和0INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.函数y＝1＋log(x－1)的图象恒过定点(　　)
A.(1，1) B.(1，0)
C.(2，1) D.(2，0)
答案　C
解析　令x－1＝1，得x＝2，此时y＝1，故函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点(2，1).
2.函数y＝的定义域为(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(2，3)∪(3，＋∞) D.(2，4)∪(4，＋∞)
答案　C
解析　要使原函数有意义，则解得23，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C.
3.在同一坐标系中，函数y＝log3x与y＝logx的图象之间的关系是(　　)
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称
答案　B
解析　∵y＝logx＝－log3x，∴函数y＝log3x与y＝logx的图象关于x轴对称.
4.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../S123XJ.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S123XJ.TIF" \* MERGEFORMAT
A.a＞b＞c 　　 B.c＞b＞a
C.c＞a＞b 　　 D.a＞c＞b
答案　D
解析　y＝logax的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b，c∈(0，1)，又易知c＞b，故a＞c＞b.
5.函数f(x)＝lg |x|(　　)
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
答案　B
解析　f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，故为偶函数，x>0时，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，故y＝lg|x|在(－∞，0)上单调递减.
二、填空题
6.函数f(x)＝的定义域为________.
答案　[2，＋∞)
解析　要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞).
7.设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2 021)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________.
答案　16
解析　∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2 021)2＝2loga(x1x2x3…x2 021)
＝2f(x1x2x3…x2 021)，
∴原式＝2×8＝16.
8.已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f＝________.
答案　
解析　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则loga＝－2，
∴＝，即a＝，∴f(x)＝logx，
∴f()＝log＝log2()2＝log22＝.
三、解答题
9.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(3－x)；
(2)f(x)＝＋log2(3x－1).
解　(1)由题意知解得1(2)由题意知解得x>且x≠1，故f(x)的定义域为∪(1，＋∞).
10.已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)＜f(2)，利用图象求a的取值范围.
解　(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示.
INCLUDEPICTURE "../../../S126XJ.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S126XJ.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：函数f(x)为单调增函数，当0＜a＜2时，恒有f(a)＜f(2).∴所求a的取值范围为(0，2).
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11.(多选题)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a>0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../C1人B.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../C1人B.TIF" \* MERGEFORMAT
解析　由题意知f(x)＝ax－2是指数型函数，
g(x)＝loga|x|是对数型函数，且是一个偶函数.当01时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意，故选AD.
答案　AD
12.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________.
答案　∪(2，＋∞)
解析　作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)＝f，故结合图象可知02.
INCLUDEPICTURE "../../../Sx122.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../Sx122.TIF" \* MERGEFORMAT
13.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象.
解　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x).又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝
∴f(x)的大致图象如图所示：
INCLUDEPICTURE "../../../S+119.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S+119.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝________；若f(f(x))＝x，则x的取值范围是________.
答案　－1　(－∞，1]
解析　f(－1)＝3－1>0，故f(f(－1))＝f(3－1)＝log33－1＝－1.
当x≤0时，f(x)＝3x>0，f(f(x))＝f(3x)＝log33x＝x；
当0当x＝1时，f(x)＝log31＝0，f(f(x))＝f(0)＝30＝1；
当x>1时，f(x)＝log3x>0，f(f(x))＝log3(log3x)≠x，故使f(f(x))＝x的x的取值范围是(－∞，1].(共41张PPT)
第二课时　对数函数的图象与性质(二)
1.进一步加深对对数函数图象与性质的理解.
2.会用对数函数的图象和性质解决问题.
课标要求
素养要求
理解并应用对数函数的性质，发展数学抽象素养和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定).
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.
点睛
一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数的定义域)；
(2)在f(x)的定义域内，先求g(x)的单调区间，再按“同增异减”原则与对数函数复合.　　　
2.logaf(x)(1)讨论a与1的关系，确定单调性；
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.
1.思考辨析，判断正误
(1)由log2x提示　函数y＝log2x的定义域为(0，＋∞)，所以应得0(2)y＝log2x2在(0，＋∞)上为增函数.( )
(3)函数y＝log2(x2＋1)的值域为R.( )
提示　y＝log2(x2＋1)中x2＋1≥1，故值域为[0，＋∞).
×
√
×
D
3.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.c＞a＞b
解析　a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a＞c＞b，故选B.
B
4.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是_____________.
解析　要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，
课堂互动
题型剖析
2
题型一　对数函数图象的应用
角度1　比较对数值的大小
【例1－1】　(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　)
A.bC.c解析　因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，故a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以bD
(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)
B
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
思维升华
两类对数不等式的解法
(1)形如loga(f(x))①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如loga(f(x))①当0ab；
②当a>1时，可转化为0思维升华
【训练1】　比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32所以log23>log0.32.
(3)logaπ，loga3.14(a>0且a≠1)；
(4)log30.2，log40.2.
解　 (3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；
当0则有logaπ综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0logaπ(4)在同一直角坐标系中，作出y＝log3x，y＝log4x的图象(图象略)，再作出直线x
＝0.2，观察图象可得
log30.2题型二　对数型函数的性质
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.
解　由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称.
形如y＝logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致.
当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反.
思维升华
【训练2】　已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
解　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设任意0因此log4(4x1－1)即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上递增.
分层训练
素养提升
3
一、选择题
A.yC.1D
D
3.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
解析　∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.
A
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
解析　f(x)定义域为R，
A
∴f(x)为奇函数，选A.
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－2，2) D.(－2，6)
C
令u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6.
∴x∈(－2，2)时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，
∴函数的单调减区间是(－2，2).
二、填空题
(－∞，2)
∴当x≥1时，f(x)≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，
即0＜f(x)＜2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2).
8.已知函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是________.
解析　由已知可得a>1，当x∈[0，1]时，2－ax>0恒成立，∴a<2，∴1(1，2)
三、解答题
9.比较下列各组中两个值的大小：
(1)log34，log34.1；(2)log0.20.3，log0.23；(3)log54，log40.5；
解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log34(2)因为y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，所以log0.20.3>log0.23.
(3)log54>log51＝0，log40.5故log54>log40.5.
(1)求函数f(x)的值域；
解　由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，
由二次函数的图象知0当0(2)求f(x)的单调性.
11.函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析　当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；
当0A
12.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)，若定义域为R，则k的范围为________，若值域为R，则k的取值范围为____________________.
解析　若定义域为R，即x2－2kx＋k>0恒成立，∴Δ＝4k2－4k<0，
∴0(0，1)
(－∞，0]∪[1，＋∞)
13.已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围.
∴f(x)的值域为(－∞，2－log23].第二课时　对数函数的图象与性质(二)
课标要求 素养要求
1.进一步加深对对数函数图象与性质的理解.2.会用对数函数的图象和性质解决问题. 理解并应用对数函数的性质，发展数学抽象素养和数学运算素养.
INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定).
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.
INCLUDEPICTURE "../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT
一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数的定义域)；
(2)在f(x)的定义域内，先求g(x)的单调区间，再按“同增异减”原则与对数函数复合.　　　
2.logaf(x)(1)讨论a与1的关系，确定单调性；
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)由log2x提示　函数y＝log2x的定义域为(0，＋∞)，所以应得0(2)y＝log2x2在(0，＋∞)上为增函数.(√)
(3)函数y＝log2(x2＋1)的值域为R.(×)
提示　y＝log2(x2＋1)中x2＋1≥1，故值域为[0，＋∞).
2.不等式log(2x＋3)A.(－∞，3) B.
C. D.
答案　D
解析　由题意可得解得3.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.c＞a＞b
答案　B
解析　a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a＞c＞b，故选B.
4.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.
答案　
解析　要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，
即x＞－，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，
当x＞－时，u＝2x＋1也为(－，＋∞)上的增函数，
故原函数的单调增区间是.
INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　对数函数图象的应用
角度1　比较对数值的大小
【例1－1】　(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　)
A.bC.c(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)
A.loga5.1log2.2
C.log1.1(a＋1)答案　(1)D　(2)B
解析　(1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，故a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b(2)对于A，因为a和1的大小关系不确定，无法确定loga5.1与loga5.9的大小，故A不成立；对于B，因为y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，所以成立；对于C，因为y＝log1.1x在(0，＋∞)上是增函数，所以不成立；对于D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.
思维升华　比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
角度2　解对数不等式
【例1－2】　若－10且a≠1)，求实数a的取值范围.
解　∵－1∴loga当a>1时，0<<；
当0>a>0，则0故实数a的取值范围是∪.
思维升华　两类对数不等式的解法
(1)形如loga(f(x))①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如loga(f(x))①当0ab；
②当a>1时，可转化为0【训练1】　比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0且a≠1)；
(4)log30.2，log40.2.
解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32所以log23>log0.32.
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；
当0则有logaπ综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0logaπ(4)在同一直角坐标系中，作出y＝log3x，y＝log4x的图象(图象略)，再作出直线x＝0.2，观察图象可得
log30.2题型二　对数型函数的性质
【例2】　已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.
解　(1)要使此函数有意义，则有或
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
所以当a>1时，f(x)＝loga的单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递增区间；当0思维升华　形如y＝logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致.
当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反.
【训练2】　已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域.
解　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设任意0因此log4(4x1－1)即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上递增.
(3)由(2)知f(x)在区间上递增，
又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415].
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INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.如果logxA.yC.1答案　D
解析　函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，logxy>1.
2.已知loga<1，那么a的取值范围是(　　)
A.0
C.1
答案　D
解析　当a>1时，由loga，故a>1；当01.
3.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
答案　A
解析　∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.
4.函数f(x)＝lg()是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
答案　A
解析　f(x)定义域为R，
f(－x)＋f(x)＝lg()＋lg()
＝lg＝lg 1＝0，∴f(x)为奇函数，选A.
5.函数y＝log(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－2，2) D.(－2，6)
答案　C
解析　y＝logu，u＝－x2＋4x＋12.
令u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6.
∴x∈(－2，2)时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，
∵y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，
∴函数的单调减区间是(－2，2).
二、填空题
6.函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log)的值域为________.
答案　(－∞，2)
解析　当x≥1时，logx≤log1＝0，
∴当x≥1时，f(x)≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，
即0＜f(x)＜2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2).
7.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________.
答案　{x|＜x＜2}
解析　由题意可知，f(log4x)＜0 －＜log4x＜ log44－＜log4x＜log44 ＜x＜2.
8.已知函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是________.
答案　(1，2)
解析　由已知可得a>1，当x∈[0，1]时，2－ax>0恒成立，∴a<2，∴1三、解答题
9.比较下列各组中两个值的大小：
(1)log34，log34.1；
(2)log0.20.3，log0.23；
(3)log54，log40.5；
(4)log，log.
解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log34(2)因为y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，所以log0.20.3>log0.23.
(3)log54>log51＝0，log40.5故log54>log40.5.
(4)log＝log23>1，
log＝log32<1，故log>log.
10.已知函数f(x)＝log(－x2＋2x).
(1)求函数f(x)的值域；
(2)求f(x)的单调性.
解　(1)由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，
由二次函数的图象知0当0∴log(－x2＋2x)≥log1＝0.
∴函数y＝log(－x2＋2x)的值域为[0，＋∞).
(2)设u＝－x2＋2x(0∵函数u＝－x2＋2x在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数，v＝u是减函数，
∴由复合函数的单调性得到函数f(x)＝log(－x2＋2x)在(0，1)上是减函数，在(1，2)上是增函数.
INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
答案　A
解析　当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当012.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)，若定义域为R，则k的范围为________，若值域为R，则k的取值范围为________.
答案　(0，1)　(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析　若定义域为R，即x2－2kx＋k>0恒成立，∴Δ＝4k2－4k<0，
∴013.已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围.
解　(1)函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，∴f(x)＝logx.
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，即log(3x－1)>
log(－x＋5)，则解得∴x的取值范围为.
INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.已知f(x)＝log(x2－ax－a).
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域；
(2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝log(x2＋x＋1)，
∵x2＋x＋1＝＋≥，
∴log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，
∴f(x)的值域为(－∞，2－log23].
∵z＝x2＋x＋1在上单调递减，在上单调递增，y＝logz在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)的增区间为，减区间为.
(2)令u＝x2－ax－a＝－－a，
∵f(x)在上为增函数，
又y＝logu为减函数，
∴u在上为减函数，
且u>0在上恒成立.
因此即
解得－1≤a≤.故实数a的取值范围是.

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