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4.4　函数与方程
4.4.1　方程的根与函数的零点
1.知道函数零点的定义会求函数的零点.
2.能说出函数零点的存在性定理，会判断函数零点的存在性及所在区间.
3.会用数形结合的方法分析方程根的个数及分布情况.
课标要求
素养要求
用数形结合的方法分析方程根的情况，培养数学抽象素养、直观想象素养和逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
点睛
1.函数零点的定义
(1)对于函数f(x)，把__________________________叫作函数y＝f(x)的零点；
(2)求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点；
(3)函数y＝f(x)的零点，也就是函数y＝f(x)图象与______交点的横坐标.
函数的零点是一个数，不是点.　　　
方程f(x)＝0的实数根
x轴
2.函数零点的存在性定理
设函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化而且________________，则方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个根，即存在x0∈(a，b)，使____________.如果y＝f(x)在区间[a，b]内单调递增或单调递减，则方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根.
f(a)·f(b)＜0
f(x0)＝0
1.思考辨析，判断正误
(1)函数y＝x2的零点是(0，0)点.( )
提示　函数y＝x2的零点是0，不是(0，0)点.
(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( )
提示　反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.
(3)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.( )
提示　f(a)·f(b)<0时f(x)在(a，b)内至少有一个零点.
(4)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点.( )
提示　如函数f(x)＝x2－1，在区间[－2，2]内满足f(－2)·f(2)>0，且有两个零点.
×
×
×
×
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)
D
3.在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
C
4.若2是函数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a＝________.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　求函数零点
【例1】　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
解　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，
所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，
所以函数的零点是log26.
所以函数的零点为－6.
求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
思维升华
A.(－1，0) B.x＝－1 C.x＝1 D.x＝0
(2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________.
(3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝_____.
B
-2
3
(2)令f(x)＝21－x－4＝0，解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.
(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.
题型二　判断零点所在区间
【例2】　(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
C
解析　∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，又f(x)的图象在(0，1)内是一条连续不断的曲线，
∴f(x)在(0，1)内有零点.
(2)若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(　　)
A.－2 B.1 C.－2或1 D.0
C
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
思维升华
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，4) D.(4，＋∞)
且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，
C
题型三　函数零点的个数
【例3】　判断下列函数零点的个数.
即f(x)零点的个数为0.
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
解　法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.
法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是连续的，
所以f(x)在(1，2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，
所以零点只有一个.
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
思维升华
A.0 B.1 C.2 D.3
C
1.用数形结合的方法分析函数零点的情况，提升数学直观想象素养，数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
课堂小结
3.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
4.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)
解析　B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点.
A
2.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
C
3.若函数f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
D
4.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　将函数零点视为两个函数图象的交点横坐标，分别画出函数图象，利用数形结合求解.
B
B
二、填空题
6.函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的取值范围是___________.
(－∞，1)
解析　由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.
7.设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
解析　令f(x)＝ln x＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln 2＋2－4＜0，f(3)＝ln 3－1＞0.
∴f(x)在(2，3)内有解，∴k＝2.
2
8.函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________.
解析　函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数.
在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，
2
由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.
三、解答题
9.求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.
解　法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数.
故函数f(x)有且只有一个零点.
法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图.
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
10.已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4].
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
解　依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]，其图象如图所示.由图可知，函数f(x)的值域为[－4，5].
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点？
解　∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点.
∴方程f(x)＝－m在x∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点.
由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，
∴0≤m＜4.
∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，即当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点.
11.若aA.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内
D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析　由于f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，因此f(x)的两个零点分别在区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
A
12.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析　因为y＝f(x)有两个零点，
所以|2x－2|－b＝0有两个实根.
即|2x－2|＝b有两个实根.
令y1＝|2x－2|，y2＝b，则y1与y2的图象有两个交点.
由图可知b∈(0，2)时，y1与y2有两个交点.
(0，2)
13.判断函数f(x)＝|x－2|－ln x的零点的个数.
解　函数对应的方程为|x－2|－ln x＝0，故f(x)的零点个数即为函数y＝|x－2|与y＝ln x的图象交点个数，在同一坐标系中，作出两函数的图象(如图).
观察图象，两函数有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.
利用函数图象可知，当01或m<0时，y＝m与f(x)的图象只有一个交点.
(0，1)
(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析　在平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象，如下图所示.4.4　函数与方程
4.4.1　方程的根与函数的零点
课标要求 素养要求
1.知道函数零点的定义会求函数的零点.2.能说出函数零点的存在性定理，会判断函数零点的存在性及所在区间.3.会用数形结合的方法分析方程根的个数及分布情况. 用数形结合的方法分析方程根的情况，培养数学抽象素养、直观想象素养和逻辑推理素养.
INCLUDEPICTURE "../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.函数零点的定义
(1)对于函数f(x)，把方程f(x)＝0的实数根叫作函数y＝f(x)的零点；
(2)求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点；
(3)函数y＝f(x)的零点，也就是函数y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标.
INCLUDEPICTURE "../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT
函数的零点是一个数，不是点.　　　
2.函数零点的存在性定理
设函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化而且f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个根，即存在x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果y＝f(x)在区间[a，b]内单调递增或单调递减，则方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数y＝x2的零点是(0，0)点.(×)
提示　函数y＝x2的零点是0，不是(0，0)点.
(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)
提示　反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.
(3)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.(×)
提示　f(a)·f(b)<0时f(x)在(a，b)内至少有一个零点.
(4)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点.(×)
提示　如函数f(x)＝x2－1，在区间[－2，2]内满足f(－2)·f(2)>0，且有两个零点.
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../xj91.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../xj91.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../xj92.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../xj92.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　D
3.在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵f＝－2＜0，f()＝－1＞0，
∴f·f＜0，
∴零点在上.
4.若2是函数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a＝________.
答案　
解析　由f(2)＝4a－1＝0得a＝.
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题型一　求函数零点
【例1】　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
解　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，
所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，
所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，
所以函数的零点为－6.
思维升华　求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
【训练1】　(1)函数y＝1＋的零点是(　　)
A.(－1，0) B.x＝－1
C.x＝1 D.x＝0
(2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________.
(3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝_________________________.
答案　(1)B　(2)－2　(3)3
解析　(1)令1＋＝0，
解得x＝－1，故选B.
(2)令f(x)＝21－x－4＝0，解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.
(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.
题型二　判断零点所在区间
【例2】　(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
(2)若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(　　)
A.－2 B.1
C.－2或1 D.0
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，又f(x)的图象在(0，1)内是一条连续不断的曲线，∴f(x)在(0，1)内有零点.
(2)由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1，2)上，所以k＝－2或k＝1.故选C.
INCLUDEPICTURE "../../S146.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S146.TIF" \* MERGEFORMAT
思维升华　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【训练2】　已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，4) D.(4，＋∞)
答案　C
解析　∵f(x)＝－log2x，∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－2＝－<0，由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4).
题型三　函数零点的个数
【例3】　判断下列函数零点的个数.
(1)f(x)＝x2－x＋；
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
解　(1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，
得Δ＝－4×＝－<0，
所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.
(2)法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
INCLUDEPICTURE "../../S++144.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S++144.tif" \* MERGEFORMAT
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.
法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是连续的，
所以f(x)在(1，2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，
所以零点只有一个.
思维升华　判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
【训练3】　函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　C
解析　如图，画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点.故函数f(x)＝ln x－的零点有2个.
INCLUDEPICTURE "../../S++145.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S++145.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.用数形结合的方法分析函数零点的情况，提升数学直观想象素养，数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
INCLUDEPICTURE "../../xj90.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../xj90.TIF" \* MERGEFORMAT
3.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
4.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../S156.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S156.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　A
解析　B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点.
2.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
3.若函数f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
答案　D
解析　由题意可得a＝x－(x>0).
令g(x)＝x－，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点.
4.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　将函数零点视为两个函数图象的交点横坐标，分别画出函数图象，利用数形结合求解.
INCLUDEPICTURE "../../S155.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S155.TIF" \* MERGEFORMAT
令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点.
5.函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)
A.(1，＋∞) B.
C. D.
答案　B
解析　f(1)＝2－1＝1>0，f＝2－2＝－2<0，即ff(1)<0，且f(x)的图象在内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是.
二、填空题
6.函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的取值范围是________.
答案　(－∞，1)
解析　由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.
7.设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
答案　2
解析　令f(x)＝ln x＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln 2＋2－4＜0，f(3)＝ln 3－1＞0.
∴f(x)在(2，3)内有解，∴k＝2.
8.函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________.
答案　2
解析　函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数.
在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，
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由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.
三、解答题
9.求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.
解　法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数.
故函数f(x)有且只有一个零点.
法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图.
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由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
10.已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4].
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点？
解　(1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]，其图象如图所示.由图可知，函数f(x)的值域为[－4，5].
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(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点.
∴方程f(x)＝－m在x∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点.
由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，
∴0≤m＜4.
∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，即当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点.
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11.若aA.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内
D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　由于f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，因此f(x)的两个零点分别在区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
12.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
答案　(0，2)
解析　因为y＝f(x)有两个零点，
所以|2x－2|－b＝0有两个实根.
即|2x－2|＝b有两个实根.
令y1＝|2x－2|，y2＝b，则y1与y2的图象有两个交点.
INCLUDEPICTURE "../../J156.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../J156.tif" \* MERGEFORMAT
由图可知b∈(0，2)时，y1与y2有两个交点.
13.判断函数f(x)＝|x－2|－ln x的零点的个数.
解　函数对应的方程为|x－2|－ln x＝0，故f(x)的零点个数即为函数y＝|x－2|与y＝ln x的图象交点个数，在同一坐标系中，作出两函数的图象(如图).
INCLUDEPICTURE "../../B45A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../B45A.TIF" \* MERGEFORMAT
观察图象，两函数有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________，若g(x)＝f(x)－m有一个零点，则m的取值范围是________.
答案　(0，1)　(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析　在平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象，如下图所示.
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利用函数图象可知，当01或m<0时，y＝m与f(x)的图象只有一个交点.

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