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(共35张PPT)
4.2　指数函数
4.2.1　指数爆炸和指数衰减
1.了解指数函数的定义.
2.通过实例理解指数爆炸和指数衰减.
课标要求
素养要求
通过实例理解指数爆炸和指数衰减，提升数学抽象素养和数学建模素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.指数函数
让底数为______而取______为自变量，得到函数__________ (其中a>0且a≠1)叫做指数函数.
常数
指数
y＝ax
2.指数爆炸和指数衰减
(1)当底数________时，指数函数随自变量的增大而______，底数a较大时，指数函数值增长速度惊人称为指数爆炸.
(2)当底数________时，指数函数值随自变量的增长而______以至无限接近于0，叫做指数衰减，其特点是：在一个既定的时间周期中，其____________是一个常量.
a>1
增大
a<1
缩小
缩小百分比
1.思考辨析，判断正误
(1)函数y＝－2x是指数函数.( )
提示　因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数.
(2)函数y＝(－5)x是指数函数.( )
提示　因为底数小于0，所以函数y＝(－5)x不是指数函数.
(3)指数函数y＝3x中x只能取正数.( )
提示　指数函数的定义域为R，x可以小于等于0.
×
×
×
2.已知某种细菌在培养过程中，每20 min繁殖一次，经过一次繁殖1个细菌变成2个，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成(　　)
A.511个 B.512个
C.1 023个 D.1 024个
解析　因为3 h＝(9×20)min，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个).
B
3.中心城区现有绿化面积为1 000 km2，计划每年增长4%，经过x(x∈N＋)年，绿化面积为y km2，则x，y间的函数关系为(　　)
A.y＝1 000(1＋4%)x(x∈N＋)
B.y＝(1 000×4%)x(x∈N＋)
C.y＝1 000(1－4%)x(x∈N＋)
D.y＝1 000(4%)x(x∈N＋)
A
课堂互动
题型剖析
2
题型一　指数函数的概念
【例1】　给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
B
1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
思维升华
【训练1】　若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为
________________________.
题型二　指数型函数的应用
(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；
…
(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
指数函数在实际问题中的应用
(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.
(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.
思维升华
【训练2】　对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售重栽也可以让其继续生长.问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
解　设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：
①连续生长十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，
因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量.
1.通过实例理解指数爆炸和指数衰减，提升数学抽象素养和数学建模素养.
2.形如y＝kax(a>0且a≠1)的函数称为指数型函数，对指数函数y＝ax，当a>1时，函数值随x增大而增大，即为增函数，当0课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　)
A.4 B.1或3 C.3 D.1
C
2.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a0.5x＋b.现已知在该厂今年1月，2月生产该产品分别为1万件，1.5万件，则该厂3月份生产该产品的产量为(　　)
A.2 B.1.75
C.2.25 D.0.75
解析　由x＝1时，y＝1，x＝2时，y＝1.5时，即0.5a＋b＝1且0.25a＋b＝1.5，
∴a＝－2，b＝2，即y＝－2·0.5x＋2，令x＝3得y＝1.75.
B
3.某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是(　　)
A.增加7.84% B.减少7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
解析　设商品原价为a，两年后价格为a(1＋20%)2，四年后价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.921 6a，
B
4.小张家的新买房子价值150万元，若房子以每年2%幅度贬值(国家规定)，则房屋价值y与经过x年数的关系为(　　)
A.y＝150×0.2x B.y＝150×1.2x
C.y＝150×0.98x D.y＝150×2x
解析　以2%的幅度贬值，即x年后价格为150×(1－0.02)x，∴y＝150×0.98x.
C
A
5.某食品的保鲜时间y(h)与储藏温度x(℃)满足函数关系式y＝ekx＋b(e＝2.718 28…，k，b为常数)，若食品在0 ℃的保鲜时间为192 h，在15 ℃的保鲜时间是24 h，则在5 ℃的保鲜时间为(　　)
A.96 B.48 C.60 D. 36
解析　x＝0时，y＝192，即192＝eb，又24＝e15k＋b，
二、填空题
6.若指数型函数f(x)＝b·ax，满足f(1)＝6，f(3)＝24，则f(x)＝________.
3×2x
解析　由f(1)＝6＝b·a1，24＝b·a3，∴a2＝4，∴a＝2，b＝3.
4
8.有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，
则加了10次水后瓶中的酒精浓度是____________.
三、解答题
9.有关部门计划于2017年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2023年应投入多少辆电力型公交车？
解　由题意知，在2018年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；
在2019年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；
…
10.某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1)
解　列表如下：
经过的年数 木材蓄积量(万立方米)
0 200
1 200(1＋5%)
2 200(1＋5%)2
3 200(1＋5%)3
… …
x 200(1＋5%)x
由上表得，经过x年后，该林区的木材蓄积量为f(x)＝200(1＋5%)x＝200×1.05x.
当x＝9时，f(9)＝200×1.059≈310.3(万立方米).
故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.
11.某人2014年1月1日到银行存入一年期存款a元，若年利率为x，并按复利计算，到2021年1月1日可取款(不计利息税)(　　)
A.a(1＋x)7元 B.a(1＋x)6元
C.a(1＋x7)元 D.a(1＋x6)元
解析　2015年1月1日可取款a(1＋x)元，2016年1月1日可取款a(1＋x)2元，同理可得，2021年1月1日可取款a(1＋x)7元.
A
12.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为原来的84%，则该物质剩留量y关于经过年数x的函数关系式为________.
解析　设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，
经过1年，剩留量y＝0.84；经过2年，剩留量y＝0.842；…；
经过x年，剩留量y＝0.84x.
y＝0.84x
13.某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P＝P02－kt(其中P0表示初始废气中污染物数量).经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物.问：
(1)15小时后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少36%需要花多长时间？
解　(1)由题意得，P＝P02－5k＝(1－20%)P0，
则2－5k＝0.8，故当t＝15时，P＝P0·2－15k＝P0·(2－5k)3＝(80%)3P0＝51.2%P0.
故15个小时后还剩51.2%的污染物.
(2)由题意，P02－kt＝(1－36%)P0，
故污染物减少36%需要花10 h.
14.某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元.
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
解　(1)已知本金为a元，利率为r，则
1期后的本利和为y＝a＋a·r＝a(1＋r)，
2期后的本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，
3期后的本利和为y＝a(1＋r)3，
……
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N＋，
即本利和y随存期x变化的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.
(2)将a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得
y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 171.68(元)，
即5期后本利和约为1 117.68元.4.2　指数函数
4.2.1　指数爆炸和指数衰减
课标要求 素养要求
1.了解指数函数的定义.2.通过实例理解指数爆炸和指数衰减. 通过实例理解指数爆炸和指数衰减，提升数学抽象素养和数学建模素养.
INCLUDEPICTURE "../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.指数函数
让底数为常数而取指数为自变量，得到函数y＝ax(其中a>0且a≠1)叫做指数函数.
2.指数爆炸和指数衰减
(1)当底数a>1时，指数函数随自变量的增大而增大，底数a较大时，指数函数值增长速度惊人称为指数爆炸.
(2)当底数a<1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫做指数衰减，其特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数y＝－2x是指数函数.(×)
提示　因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数.
(2)函数y＝(－5)x是指数函数.(×)
提示　因为底数小于0，所以函数y＝(－5)x不是指数函数.
(3)指数函数y＝3x中x只能取正数.(×)
提示　指数函数的定义域为R，x可以小于等于0.
2.已知某种细菌在培养过程中，每20 min繁殖一次，经过一次繁殖1个细菌变成2个，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成(　　)
A.511个 B.512个
C.1 023个 D.1 024个
答案　B
解析　因为3 h＝(9×20)min，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个).
3.中心城区现有绿化面积为1 000 km2，计划每年增长4%，经过x(x∈N＋)年，绿化面积为y km2，则x，y间的函数关系为(　　)
A.y＝1 000(1＋4%)x(x∈N＋)
B.y＝(1 000×4%)x(x∈N＋)
C.y＝1 000(1－4%)x(x∈N＋)
D.y＝1 000(4%)x(x∈N＋)
答案　A
INCLUDEPICTURE "../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　指数函数的概念
【例1】　给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
答案　B
解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
思维升华　1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
【训练1】　若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________________.
答案　{a|a＜，且a≠1}
解析　y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：
解得a＜且a≠1.
故a的取值范围为{a|a＜，且a≠1}.
题型二　指数型函数的应用
【例2】　某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.
(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；
(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
解　(1)过滤1次后的杂质含量为×＝×；
过滤2次后的杂质含量为×＝×；
过滤3次后的杂质含量为×＝×；
…
过滤n次后的杂质含量为×(n∈N＋).
故y与n的函数关系式为y＝×(n∈N＋).
(2)由(1)知当n＝7时，y＝×＝>，
当n＝8时，y＝×＝<，
所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
思维升华　指数函数在实际问题中的应用
(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.
(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.
【训练2】　对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售重栽也可以让其继续生长.问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
解　设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：
①连续生长十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，
则＝，
因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以>1，即M>N.
因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量.
INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.通过实例理解指数爆炸和指数衰减，提升数学抽象素养和数学建模素养.
2.形如y＝kax(a>0且a≠1)的函数称为指数型函数，对指数函数y＝ax，当a>1时，函数值随x增大而增大，即为增函数，当0INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　)
A.4 B.1或3
C.3 D.1
答案　C
解析　由题意得得a＝3，故选C.
2.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a0.5x＋b.现已知在该厂今年1月，2月生产该产品分别为1万件，1.5万件，则该厂3月份生产该产品的产量为(　　)
A.2 B.1.75
C.2.25 D.0.75
答案　B
解析　由x＝1时，y＝1，x＝2时，y＝1.5时，即0.5a＋b＝1且0.25a＋b＝1.5，
∴a＝－2，b＝2，即y＝－2·0.5x＋2，令x＝3得y＝1.75.
3.某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是(　　)
A.增加7.84% B.减少7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
答案　B
解析　设商品原价为a，两年后价格为a(1＋20%)2，四年后价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.921 6a，
∴×100%＝7.84%，故选B.
4.小张家的新买房子价值150万元，若房子以每年2%幅度贬值(国家规定)，则房屋价值y与经过x年数的关系为(　　)
A.y＝150×0.2x B.y＝150×1.2x
C.y＝150×0.98x D.y＝150×2x
答案　C
解析　以2%的幅度贬值，即x年后价格为150×(1－0.02)x，∴y＝150×0.98x.
5.某食品的保鲜时间y(h)与储藏温度x(℃)满足函数关系式y＝ekx＋b(e＝2.718 28…，k，b为常数)，若食品在0 ℃的保鲜时间为192 h，在15 ℃的保鲜时间是24 h，则在5 ℃的保鲜时间为(　　)
A.96 B.48
C.60 D. 36
答案　A
解析　x＝0时，y＝192，即192＝eb，又24＝e15k＋b，
∴e15k＝，∴e5k＝，∴e5k＋b＝e5k·eb＝192×＝96.
二、填空题
6.若指数型函数f(x)＝b·ax，满足f(1)＝6，f(3)＝24，则f(x)＝________.
答案　3×2x
解析　由f(1)＝6＝b·a1，24＝b·a3，∴a2＝4，∴a＝2，b＝3.
7.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次.
答案　4
解析　设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的，经过第三次漂洗，存留量为原来的，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的，故解析式为y＝
.由题意，得≤，4x≥100，2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次.
8.有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________.
答案　a%
解析　第1次加满水后，瓶中酒精的浓度为·a%，第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为a%＝a%，依次可得第x次加满水后，瓶中酒精的浓度为·a%(x∈N＋).
三、解答题
9.有关部门计划于2017年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2023年应投入多少辆电力型公交车？
解　由题意知，在2018年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；
在2019年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；
…
故在2023年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128×
＝1 458(辆).
10.某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1)
解　列表如下：
经过的年数 木材蓄积量(万立方米)
0 200
1 200(1＋5%)
2 200(1＋5%)2
3 200(1＋5%)3
… …
x 200(1＋5%)x
由上表得，经过x年后，该林区的木材蓄积量为f(x)＝200(1＋5%)x＝200×1.05x.
当x＝9时，f(9)＝200×1.059≈310.3(万立方米).
故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.
INCLUDEPICTURE "../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.某人2014年1月1日到银行存入一年期存款a元，若年利率为x，并按复利计算，到2021年1月1日可取款(不计利息税)(　　)
A.a(1＋x)7元 B.a(1＋x)6元
C.a(1＋x7)元 D.a(1＋x6)元
答案　A
解析　2015年1月1日可取款a(1＋x)元，2016年1月1日可取款a(1＋x)2元，同理可得，2021年1月1日可取款a(1＋x)7元.
12.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为原来的84%，则该物质剩留量y关于经过年数x的函数关系式为________.
答案　y＝0.84x
解析　设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，
经过1年，剩留量y＝0.84；经过2年，剩留量y＝0.842；…；
经过x年，剩留量y＝0.84x.
13.某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P＝P02－kt(其中P0表示初始废气中污染物数量).经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物.问：
(1)15小时后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少36%需要花多长时间？
解　(1)由题意得，P＝P02－5k＝(1－20%)P0，
则2－5k＝0.8，故当t＝15时，P＝P0·2－15k＝P0·(2－5k)3＝(80%)3P0＝51.2%P0.
故15个小时后还剩51.2%的污染物.
(2)由题意，P02－kt＝(1－36%)P0，
即(2－5k)＝0.64，所以0.8＝0.64，所以＝2，即t＝10，
故污染物减少36%需要花10 h.
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元.
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
解　(1)已知本金为a元，利率为r，则
1期后的本利和为y＝a＋a·r＝a(1＋r)，
2期后的本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，
3期后的本利和为y＝a(1＋r)3，
……
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N＋，
即本利和y随存期x变化的函数关系式为
y＝a(1＋r)x，x∈N＋.
(2)将a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得
y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 171.68(元)，
即5期后本利和约为1 117.68元.

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