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(共53张PPT)
5.2.2　同角三角函数的基本关系
1.理解同角三角函数的基本关系式.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.
课标要求
素养要求
通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.同角三角函数的基本关系
描述方式 基本关系　　　 基本关系式
平方关系 ____________________________
商数关系 ________________________________________
sin2α＋cos2α＝1
2.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝____________；cos2α＝________.
1－cos2α
1－sin2α
cos αtan α
点睛
1.思考辨析，判断正误
(1)sin2α＋cos2β＝1.( )
提示　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
×
√
×
×
2.下列四个结论中可能成立的是(　　)
B
解析　根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立.
2
课堂互动
题型剖析
2
题型一　同角三角函数的基本关系及简单应用
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
思维升华
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
又sin2α＋cos2α＝1，②
又α是第三象限角，
题型二　三角函数式的化简
【例2】　化简：
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
思维升华
题型三　三角函数式的求值
角度1　弦切互化求值
【例3－1】　已知tan α＝2.
解　(1)法一　(代入法)∵tan α＝2，
法二　(弦化切)∵tan α＝2.
(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.
思维升华
角度2　sin α±cos α型求值问题
由上知，θ为第二象限的角，
思维升华
已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，
解析　由题中等式易知cos α≠0，
整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，
即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
题型四　三角恒等式的证明
角度1　一般恒等式的证明
所以等式成立.
所以等式成立.
思维升华
角度2　条件恒等式的证明
【例4－2】　已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.
即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
思维升华
含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直推到结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.
∴原等式成立.
证明　设sin2A＝m(0则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.
即(m－n)2＝0.∴m＝n，
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
A.cos 160° B.±|cos 160°|
C.±cos 160° D.－cos 160°
D
C
A
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
B
5.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
C
解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
二、填空题
6.化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.
1
解析　∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，
三、解答题
9.已知tan α＝2，求下列代数式的值：
∴原等式成立.
∴左边＝右边，原等式成立.
BD
12.化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.
解析　原式＝sin2 α＋sin2 β(1－sin2 α)＋cos2 αcos2 β
＝sin2 α＋sin2 βcos2 α＋cos2 αcos2 β
＝sin2 α＋cos2 α(sin2 β＋cos2 β)
＝sin2 α＋cos2 α＝1.
1
(2)求m的值.
(1)求实数b的值；5.2.2　同角三角函数的基本关系
课标要求 素养要求
1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明. 通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
INCLUDEPICTURE "../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.同角三角函数的基本关系
描述方式基本关系　　　 基本关系式
平方关系 sin2α＋cos2α＝1
商数关系 tan__α＝(α≠kπ＋，k∈Z)
2.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
(2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos__αtan__α；cos α＝.
INCLUDEPICTURE "../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT
(1)在应用变形关系式sin α＝±，cos α＝±时，切记“±”号一定不能省略；“±”号是由角α的终边位置决定的，切不可不加分析，凭想象乱写乱用关系式.
(2)已知sin α，cos α，tan α中的一个值，求另外两个的值时，要注意关系式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)sin2α＋cos2β＝1.(×)
提示　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
(2)sin2＋cos2＝1.(√)
(3)对任意的角α，都有tan α＝成立.(×)
提示　当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.
(4)若sin α＝，则cos α＝.(×)
提示　cos α＝±.
2.下列四个结论中可能成立的是(　　)
A.sin α＝且cos α＝
B.sin α＝0且cos α＝－1
C.tan α＝1且cos α＝－1
D.α是第二象限角时，tan α＝－
答案　B
解析　根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立.
3.若α∈且sin αcos α＝，则sin α＋cos α＝__________________.
答案　
解析　(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝1＋＝，又∵α∈，sin α>0，
cos α>0，∴sin α＋cos α＝.
4.若＝－1，则tan α＝________.
答案　2
解析　原式可化为＝－1.则tan α＝2.
INCLUDEPICTURE "../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　同角三角函数的基本关系及简单应用
【例1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
解　∵cos α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝ ＝ ＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
思维升华　(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
INCLUDEPICTURE "../../S45.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S45.tif" \* MERGEFORMAT
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
【训练1】　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
题型二　三角函数式的化简
【例2】　化简：
(1)－；
(2)；
(3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α.
解　(1)－
＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)＝
＝＝1.
(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝
思维升华　三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
【训练2】　化简＋(1＋tan2α)cos2α.
解　原式＝＋cos2α
＝＋·cos2α
＝1＋1＝2.
题型三　三角函数式的求值
角度1　弦切互化求值
【例3－1】　已知tan α＝2.
(1)求的值；
(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.
解　(1)法一　(代入法)∵tan α＝2，∴＝2，
∴sin α＝2cos α.
∴＝＝－.
法二　(弦化切)∵tan α＝2.
＝＝＝＝－.
(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝
＝＝＝.
思维升华　已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法
(1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.
(2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.
(3)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值.
角度2　sin α±cos α型求值问题
【例3－2】　已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值.
解　因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝，
即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
由上知，θ为第二象限的角，
所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ
＝
＝＝.
思维升华　已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
【训练3】　(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知2cos2α－3sin αcos α＝，则tan α＝________.
答案　(1)－　(2)或－
解析　(1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈(，π)，
故sin α－cos α＝＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
(2)由题中等式易知cos α≠0，
则2cos2α－3sin αcos α＝＝＝，
整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，
即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
解得tan α＝或tan α＝－.
题型四　三角恒等式的证明
角度1　一般恒等式的证明
【例4－1】　求证：＝.
证明　法一　左边＝
＝＝＝＝右边.
所以等式成立.
法二　右边＝＝
＝
＝＝左边.
所以等式成立.
思维升华　证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等；
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”.
角度2　条件恒等式的证明
【例4－2】　已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.
所以＋1＝2(＋1)，
通分可得＝，
即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
思维升华　含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直推到结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.
【训练4】　(1)求证：＝；
(2)已知＋＝1，求证＋＝1.
证明　(1)∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立.
(2)设sin2A＝m(0则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.
由＋＝1，
得＋＝1，
即(m－n)2＝0.∴m＝n，
∴＋＝＋＝1－n＋n＝1.
INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.通过对公式的正用、逆用、变形用提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
2.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.
3.在化简、求值时要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧，更要注意符号的选取.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.化简的结果是(　　)
A.cos 160° B.±|cos 160°|
C.±cos 160° D.－cos 160°
答案　D
解析　＝＝|cos 160°|
＝－cos 160°.
2.已知sin α－cos α＝－，则sin α·cos α等于(　　)
A. B.－
C.－ D.
答案　C
解析　因为sin α－cos α＝－，平方可得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，即sin αcos α＝－.
3.已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan α＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　A
解析　∵sin α＝，α为第二象限角，∴cos α＝－，
∴tan α＝－.
4.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案　B
解析　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，
∴sin α·cos α＝－<0，∵α是三角形一内角，∴α∈.
5.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
A. B.
C.1 D.
答案　C
解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
二、填空题
6.化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.
答案　1
解析　(1＋tan215°)cos215°＝·cos215°＝·cos215°＝1.
7.已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
答案　－
解析　∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，又∵α∈，∴cos α＝－.
8.已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________.
答案　－
解析　由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－，故原式＝＝
＝sin α(1＋sin α)＝(－)(1－)＝－.
三、解答题
9.已知tan α＝2，求下列代数式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
解　(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝
＝＝
＝.
10.求证：＝.
证明　法一　∵左边＝
＝＝
＝
＝＝＝右边.
∴原等式成立.
法二　∵右边＝＝；
左边＝＝
＝
＝.
∴左边＝右边，原等式成立.
INCLUDEPICTURE "../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.(多选题)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α的值为(　　)
A.－3 B.－
C. D.3
答案　BD
解析　因为sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，
联立解得或
故tan α＝＝－或3.
12.化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.
答案　1
解析　原式＝sin2 α＋sin2 β(1－sin2 α)＋cos2 αcos2 β
＝sin2 α＋sin2 βcos2 α＋cos2 αcos2 β
＝sin2 α＋cos2 α(sin2 β＋cos2 β)
＝sin2 α＋cos2 α＝1.
13.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈.
(1)求＋的值；
(2)求m的值.
解　(1)由题意，得
所以＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝，
将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝，
由(1)，知＝，所以m＝.
此时Δ＝[－(＋1)]2－4×2×＝(－1)2>0，∴m＝符合题意.
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.已知关于x的方程2x2－bx＋＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈.
(1)求实数b的值；
(2)求的值.
解　(1)∵sin θ，cos θ为关于x的方程2x2－bx＋＝0的两根，
∴
由②③，得＝1＋，解得b＝±，此时Δ＝5－2>0，
又θ∈，∴sin θ＋cos θ>0，∴b＝.
(2)由(1)，得sin θ＋cos θ＝.又θ∈，所以sin θ>cos θ，
∴sin θ－cos θ＝
＝＝，
∴＝＝
＝4＋2－2－.

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