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(共38张PPT)
4.3　对数函数
4.3.1　对数的概念
1.理解对数的概念.
2.会用对数的定义进行对数式和指数式的互化.
课标要求
素养要求
理解对数的定义，发展学生数学抽象素养和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.对数的概念
(1)如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫做以a为底(正)数N的对数，记作b＝________，a叫做对数的______，N叫做对数的______.
logaN
底数
真数
2.对数的基本恒等式
(1)alogaN＝____ (N>0，a>0且a≠1)
(2)b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)
N
点睛
指对互化时应注意的问题
(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变.
(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示.　
(1)1的对数为____，即loga1＝0.
(2)底的对数为____，即logaa＝1.
3.对数的基本结论
0
1
1.思考辨析，判断正误
(1)若3x＝2，则x＝log23.( )
提示　3x＝2，则x＝log32.
(2)因为(－2)4＝16，所以4＝log(－2)16.( )
提示　对数的底数a应满足a>0且a≠1.
×
×
√
√
2.若3a＝b，则化为对数式为a＝________.
log3b
3.若log3(2x－1)＝0，则x＝________.
解析　若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.
1
2
4.若logx8＝3，则x＝________.
解析　由指对互化知x3＝8，所以x＝2.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　对数的定义
【例1】　在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　)
A.b<2或b>5 B.2C.4∴2D
对数式logaN中的底数a>0且a≠1，真数N>0.
思维升华
【训练1】　在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是______________.
(2，3)∪(3，4)
题型二　指数式与对数式的互化求值
【例2】　利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.
∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.
∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.
(4)由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，
所以x＝32，即x＝9.
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
思维升华
解　①由54＝625，得log5625＝4.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得log100.01＝－2.
题型三　对数基本恒等式及性质的应用
【例3】　求下列各式中的x的值.
解　(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.
(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.
求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
思维升华
【训练3】　求下列各式中的x的值.
(1)log8[log7(log2x)]＝0；
(2)log2[log3(log2x)]＝1.
解　(1)由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，
即log2x＝7，∴x＝27.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1，∴log3(log2x)＝2，
∴log2x＝32＝9，∴x＝29.
1.由对数的定义发展数学抽象素养和数学运算素养.
2.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
3.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
解析　根据对数的定义知选C.
C
A.b＝a5c B.b5＝ac
C.b＝5ac D.b＝c5a
A
解析　∵log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，
C
解析　由log3(log5a)＝0得log5a＝1，
A
5.已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于(　　)
A.5 B.7
C.10 D.12
解析　∵am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12.
D
二、填空题
4
8.若log3(a＋1)＝1，则loga2＋log2(a－1)＝________.
解析　由log3(a＋1)＝1得a＋1＝3，即a＝2，所以loga2＋log2(a－1)＝log22＋log21＝1＋0＝1.
1
(2)log10100＝2.
(3)loge16＝a.
(5)32＝9.
(6)xz＝y.
11.(多选题)以下四个结论中，正确的是(　　)
A.log2(log22)＝0 B.若3＝log3x，则x＝32
C.若loga(3a)＝2，则a＝3 D.3log3(－5)＝－5
解析　log2(log22)＝log21＝0；3＝log3x则x＝33，故B错误；
loga(3a)＝2，∴a2＝3a，∴a＝3，C对；
D中log3(－5)无意义.
AC
12.设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________.
解析　∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10，3b＝7，
13.(1)若f(10x)＝x，求f(3)的值；
(2)计算23＋log23＋35－log39.
解　(1)令t＝10x，则x＝log10t，
∴f(t)＝log10t，即f(x)＝log10x，∴f(3)＝log103.
14.求下列各式中的x的值.
解　(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.∴x＝2.
即33x＝3－2，则3x＝－2，4.3　对数函数
4.3.1　对数的概念
课标要求 素养要求
1.理解对数的概念.2.会用对数的定义进行对数式和指数式的互化. 理解对数的定义，发展学生数学抽象素养和数学运算素养.
INCLUDEPICTURE "../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.对数的概念
(1)如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫做以a为底(正)数N的对数，记作b＝logaN，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数.
2.对数的基本恒等式
(1)alogaN＝N(N>0，a>0且a≠1)
(2)b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)
INCLUDEPICTURE "../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../点睛.tif" \* MERGEFORMAT
指对互化时应注意的问题
(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变.
(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示.　　　
3.对数的基本结论
(1)1的对数为0，即loga1＝0.
(2)底的对数为1，即logaa＝1.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若3x＝2，则x＝log23.(×)
提示　3x＝2，则x＝log32.
(2)因为(－2)4＝16，所以4＝log(－2)16.(×)
提示　对数的底数a应满足a>0且a≠1.
(3)loga＝logaa－1＝－1.(√)
(4)零和负数没有对数. (√)
2.若3a＝b，则化为对数式为a＝________.
答案　log3b
3.若log3(2x－1)＝0，则x＝________.
答案　1
解析　若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.
4.若logx8＝3，则x＝________.
答案　2
解析　由指对互化知x3＝8，所以x＝2.
INCLUDEPICTURE "../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　对数的定义
【例1】　在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　)
A.b<2或b>5 B.2C.4答案　D
解析　∵
∴2思维升华　对数式logaN中的底数a>0且a≠1，真数N>0.
【训练1】　在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________.
答案　(2，3)∪(3，4)
解析　由题意知解得2题型二　指数式与对数式的互化求值
【例2】　利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值.
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；
(3)log5x2＝2；(4)2log3x＝4.
解　(1)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.
∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.
∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.
(4)由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，
所以x＝32，即x＝9.
思维升华　指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【训练2】　将下列指数式、对数式互化.
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log125＝6.
解　①由54＝625，得log5625＝4.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得log100.01＝－2.
④由log125＝6，得()6＝125.
题型三　对数基本恒等式及性质的应用
【例3】　求下列各式中的x的值.
(1)log2(log3x)＝0；
(2)log5(log2x)＝1；
(3)log(＋1)＝x.
解　(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.
(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.
(3)＝＝＋1，所以log(＋1)＝log(＋1)(＋1)＝1.∴x＝1.
思维升华　求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
【训练3】　求下列各式中的x的值.
(1)log8[log7(log2x)]＝0；
(2)log2[log3(log2x)]＝1.
解　(1)由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，
即log2x＝7，∴x＝27.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1，∴log3(log2x)＝2，
∴log2x＝32＝9，∴x＝29.
INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.由对数的定义发展数学抽象素养和数学运算素养.
2.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
3.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.2－3＝化为对数式为(　　)
A.log2＝－3 B.log(－3)＝2
C.log2＝－3 D.log2(－3)＝
答案　C
解析　根据对数的定义知选C.
2.若loga＝c，则下列关系式中正确的是(　　)
A.b＝a5c B.b5＝ac
C.b＝5ac D.b＝c5a
答案　A
解析　由loga＝c，得ac＝，∴b＝(ac)5＝a5c.
3.若log3(log2x)＝1，则x－等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，
∴x＝23＝8，则x－＝＝.
4.已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　　)
A.1 B.－1
C.5 D.
答案　A
解析　由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故＝1.
5.已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于(　　)
A.5 B.7
C.10 D.12
答案　D
解析　∵am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12.
二、填空题
6.9log34＝________.
答案　4
解析　9log34＝(9)log34＝3log34＝4.
7.已知f(log2x)＝x，则f＝________.
答案　
解析　令log2x＝，则x＝2＝，
即f＝f(log2)＝.
8.若log3(a＋1)＝1，则loga2＋log2(a－1)＝________.
答案　1
解析　由log3(a＋1)＝1得a＋1＝3，即a＝2，所以loga2＋log2(a－1)＝log22＋log21＝1＋0＝1.
三、解答题
9.将下列指数式与对数式互化：
(1)2－2＝；(2)102＝100；
(3)ea＝16；(4)64－＝；
(5)log39＝2；(6)logxy＝z.
解　(1)log2＝－2.
(2)log10100＝2.
(3)loge16＝a.
(4)log64＝－.
(5)32＝9.
(6)xz＝y.
10.计算：(1)log927；(2)log81；(3)log625.
解　(1)设x＝log927，则9x＝27，32x＝33，∴x＝.
(2)设x＝log81，则()x＝81，3＝34，∴x＝16.
(3)令x＝log625，则()x＝625，5x＝54，∴x＝3.
INCLUDEPICTURE "../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.(多选题)以下四个结论中，正确的是(　　)
A.log2(log22)＝0 B.若3＝log3x，则x＝32
C.若loga(3a)＝2，则a＝3 D.3log3(－5)＝－5
答案　AC
解析　log2(log22)＝log21＝0；3＝log3x则x＝33，故B错误；loga(3a)＝2，∴a2＝3a，∴a＝3，C对；D中log3(－5)无意义.
12.设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________.
答案　
解析　∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10，3b＝7，∴3a－b＝＝.
13.(1)若f(10x)＝x，求f(3)的值；
(2)计算23＋log23＋35－log39.
解　(1)令t＝10x，则x＝log10t，
∴f(t)＝log10t，即f(x)＝log10x，∴f(3)＝log103.
(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋
＝23×3＋＝24＋27＝51.
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.求下列各式中的x的值.
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27.
解　(1)由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2－＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，
即x＝(3＋2)－＝－1.
(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.∴x＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，
即33x＝3－2，则3x＝－2，
所以x＝－.

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