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5.3　三角函数的图象与性质
5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
第一课时　正弦函数、余弦函数的图象
课标要求 素养要求
1.能利用三角函数的定义，画y＝sin x，y＝cos x的图象.2.掌握“五点法”画y＝sin x，y＝cos x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的联系. 通过利用定义和“五点作图法”作y＝sin x与y＝cos x的图象，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象 INCLUDEPICTURE "../../../S51.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S51.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S52.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S52.tif" \* MERGEFORMAT
图象画法 “五点法” “五点法”
关键五点 (0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0) (0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)
2.(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
(2)余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
3.正弦函数、余弦函数的值域
(1)y＝sin x，x∈R的值域为[－1，1]；
(2)y＝cos x，x∈R的值域为[－1，1].
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展.(×)
提示　正弦函数y＝sin x的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y＝1和y＝－1之间.
(2)函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同.(×)
提示　二者图象不同，而是关于x轴对称.
(3)直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象有两个交点.(√)
2.用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列各点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　)
A.(π，－1) B.(0，2)
C. D.
答案　A
解析　可以利用代入排除法，A中(π，－1)不满足解析式，故选A.
3.函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../xj81.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../xj81.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　B
解析　y＝sin(－x)＝－sin x，故图象与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.
4.函数y＝|sin x|的图象(　　)
A.关于x轴对称 B.关于原点对称
C.关于y轴对称 D.关于坐标轴对称
答案　C
解析　函数y＝|sin x|的图象是由y＝sin x的图象x轴上方不动，x轴下方的部分关于x轴翻折到x轴上方而得到，易知只有C正确.
INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　“五点法”作图的应用
【例1】　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.
解　(1)取值列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
(2)描点连线，如图所示：
INCLUDEPICTURE "../../../S53.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S53.TIF" \* MERGEFORMAT
思维升华　“五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下：
(1)列表：取x＝0，，π，π，2π；
(2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内；
(3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来.
在连线过程中要注意曲线的“凸性”.
【训练1】　利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图.
解　(1)取值列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1－cos x －2 －1 0 －1 －2
(2)描点连线，如图所示.
INCLUDEPICTURE "../../../S54.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S54.TIF" \* MERGEFORMAT
题型二　正弦、余弦函数图象的应用
角度1　解有关三角不等式
【例2－1】　利用正弦曲线，求满足解　首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象.如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；
INCLUDEPICTURE "../../../S++55.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S++55.tif" \* MERGEFORMAT
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0，2π]上，当所以思维升华　用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集.
【训练2－1】　在[0，2π]内，求不等式sin x<－的解集.
解　画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下.
INCLUDEPICTURE "../../../补25.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../补25.tif" \* MERGEFORMAT
因为sin＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－在[0，2π]内的解集是.
角度2　求有关三角函数的定义域
【例2－2】　函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为________.
答案　{x|－＋2kπ解析　要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－.画出y＝sin x，x∈[－，]的草图，如图所示.
当－－成立，所以sin x>－的解集为.
INCLUDEPICTURE "../../../xj83a.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../xj83a.TIF" \* MERGEFORMAT
可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为{x|－＋2kπ思维升华　求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象直观地求得解集.
【训练2－2】　求下列函数的定义域.
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝lg cos x＋.
解　(1)要使函数有定义，需满足2cos2x＋sin x－1≥0，
即2sin2x－sin x－1≤0，
解得－≤sin x≤1，由正弦函数的图象，可得
.
(2)由题意，得x满足不等式组
即作出y＝cos x的图象，如图所示.
INCLUDEPICTURE "../../../S++56.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S++56.tif" \* MERGEFORMAT
结合图象可得：
x∈∪∪.
INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.通过本节课的作图和正、余弦函数图象的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
2.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
3.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤
INCLUDEPICTURE "../../../S64.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S64.TIF" \* MERGEFORMAT 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　)
A.重合 B.形状相同，位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
答案　B
解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.
2.对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述：
①向左向右无限延伸；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同.
其中正确的有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
答案　D
解析　如图所示为y＝cos x的图象，可知①②③描述均正确.
INCLUDEPICTURE "../../../xj84.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../xj84.TIF" \* MERGEFORMAT
3.函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点.
INCLUDEPICTURE "../../../xj85.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../xj85.tif" \* MERGEFORMAT
4.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../S66.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S66.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　D
解析　由题意得
y＝
显然只有D合适.
5.若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(　　)
A.4 B.8
C.2π D.4π
答案　D
解析　作出函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.
INCLUDEPICTURE "../../../S72.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S72.TIF" \* MERGEFORMAT
利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
二、填空题
6.不等式sin x<－，x∈[0，2π]的解集为________.
答案　
解析　如图所示，不等式sin x<－在x∈[0，2π]上的解集为.
INCLUDEPICTURE "../../../S67.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S67.tif" \* MERGEFORMAT
7.若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________.
答案　
解析　由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sin x∈[－1，1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
8.函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________.
答案　{x}
解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象(图略)，由图易得－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈N.
三、解答题
9.用“五点法”作出函数y＝1－cos x的简图.
解　(1)列表
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－cos x 1 1
(2)描点，连线可得函数在[0，2π]上的图象，将函数图象向左，向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y＝1－cos x的图象，如图所示.
INCLUDEPICTURE "../../../S73.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S73.tif" \* MERGEFORMAT
10.若方程sin x＝在x∈[，π]上有两个实数根，求a的取值范围.
解　在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象，y＝的图象，由图象可知，当≤<1，即－1INCLUDEPICTURE "../../../S++74.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S++74.tif" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.(多选题)关于三角函数的图象，有下列命题正确的是(　　)
A.y＝sin |x|与y＝sin x的图象关于y轴对称
B.y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同
C.y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称
D.y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称
答案　BD
解析　对B，y＝cos (－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对D，y＝
cos (－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称，由作图可知A、C均不正确.
12.函数f(x)＝lg(1＋2cos x)的定义域为________.
答案　
解析　由题知1＋2cos x>0，
即cos x>－，结合图象可知定义域为
.
13.已知函数f(x)＝
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值.
解　(1)作出函数f(x)＝的图象，如图①所示.
INCLUDEPICTURE "../../../xj86.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../xj86.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)因为f(x)＝，所以在图①基础上再作直线y＝，如图②所示，则当－π≤x<0时，由图象知x＝－，当0≤x≤π时，x＝或x＝.
综上，可知x的值为－或或.
INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求实数k的取值范围.
解　f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
其图象如图所示.
INCLUDEPICTURE "../../../Q21.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../Q21.tif" \* MERGEFORMAT
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象，可得实数k的取值范围是(1，3).(共42张PPT)
5.3　三角函数的图象与性质
5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
第一课时　正弦函数、余弦函数的图象
1.能利用三角函数的定义，画y＝sin x，y＝cos x的图象.
2.掌握“五点法”画y＝sin x，y＝cos x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
3.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的联系.
课标要求
素养要求
通过利用定义和“五点作图法”作y＝sin x与y＝cos x的图象，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 “五点法” “五点法”
关键五点 (0，0)，_______，(π，0)，____________，(2π，0) (0，1)，________，(π，－1)，_________，(2π，1)
2.(1)正弦函数的图象叫做__________，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
(2)余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做__________，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
正弦曲线
余弦曲线
(1)y＝sin x，x∈R的值域为[－1，1]；
(2)y＝cos x，x∈R的值域为[－1，1].
3.正弦函数、余弦函数的值域
1.思考辨析，判断正误
(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展.( )
提示　正弦函数y＝sin x的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y＝1和y＝－1之间.
(2)函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同.( )
提示　二者图象不同，而是关于x轴对称.
×
×
√
2.用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列各点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　)
A
解析　可以利用代入排除法，A中(π，－1)不满足解析式，故选A.
3.函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是(　　)
B
解析　y＝sin(－x)＝－sin x，故图象与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.
C
4.函数y＝|sin x|的图象(　　)
A.关于x轴对称 B.关于原点对称
C.关于y轴对称 D.关于坐标轴对称
解析　函数y＝|sin x|的图象是由y＝sin x的图象x轴上方不动，x轴下方的部分关于x轴翻折到x轴上方而得到，易知只有C正确.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　“五点法”作图的应用
【例1】　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.
解　(1)取值列表：
(2)描点连线，如图所示：
思维升华
【训练1】　利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图.
解　(1)取值列表如下：
(2)描点连线，如图所示.
题型二　正弦、余弦函数图象的应用
用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集.
思维升华
解　画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下.
角度2　求有关三角函数的定义域
【例2－2】　函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为_____________________________.
求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象直观地求得解集.
思维升华
【训练2－2】　求下列函数的定义域.
解　要使函数有定义，需满足2cos2x＋sin x－1≥0，
即2sin2x－sin x－1≤0，
1.通过本节课的作图和正、余弦函数图象的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
2.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
课堂小结
3.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　)
A.重合 B.形状相同，位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.
B
2.对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述：
①向左向右无限延伸；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同.
其中正确的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析　如图所示为y＝cos x的图象，可知①②③描述均正确.
D
3.函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析　由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点.
B
4.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　)
D
5.若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(　　)
A.4 B.8 C.2π D.4π
解析　作出函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.
D
利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
二、填空题
7.若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________.
解　(1)列表
11.(多选题)关于三角函数的图象，有下列命题正确的是(　　)
A.y＝sin |x|与y＝sin x的图象关于y轴对称
B.y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同
C.y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称
D.y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称
BD
解析　对B，y＝cos (－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；
对D，y＝cos (－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称，由作图可知A、C均不正确.
12.函数f(x)＝lg(1＋2cos x)的定义域为________________________________.
解析　由题知1＋2cos x>0，
14.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求实数k的取值范围.
其图象如图所示.
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象，可得实数k的取值范围是(1，3).(共46张PPT)
第二课时　正弦函数、余弦函数的性质
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
3.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
4.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小.
课标要求
素养要求
借助y＝sin x和y＝cos x的图象，理清周期性、奇偶性及单调区间与最值；重点提升直观想象、逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.周期函数
条件 ①对于函数f(x)，存在一个______常数T
②当x取定义域内的每一个值时，x±T都有定义并且________＝f(x)
结论 函数f(x)叫做周期函数，T称为这个函数的一个周期
非零
f(x±T)
2π是y＝sin x，y＝cos x的____________，最小正周期常简称为______.
最小正周期
周期
2.正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 ______________ ______________
周期性 最小正周期2π 最小正周期2π
奇偶性 奇函数 偶函数
[－1，1]
[－1，1]
[－π＋2kπ，2kπ]
[2kπ，π＋2kπ]
单调性 在_______________________上单调递增， 在_________________________上单调递减 在____________________上单调递增，
在_____________________上单调递减
最值 x＝___________时，ymax＝1； x＝__________时，ymin＝－1 x＝_______时，ymax＝1；
x＝__________时，ymin＝－1
π＋2kπ
1.思考辨析，判断正误
(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.( )
提示　正弦函数、余弦函数在定义域内不单调.
(2)任何周期函数都有最小正周期.( )
提示　常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.
(3)若存在正数T，使f(x)对每一个x都有f(x＋T)＝－f(x)成立，则函数f(x)的周期为2T.( )
(4)函数f(x)＝sin 2x是奇函数.( )
×
×
√
√
提示　余弦函数最大值为1.
(6)余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数.( )
×
√
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数
D
3.函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为______________________.
4.比较sin 250°与sin 260°的大小.
解　∵sin 250°＝sin (180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin (180°＋80°)＝－sin 80°，而sin 70°∴－sin 70°>－sin 80°.∴sin 250°>sin 260°.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　正弦、余弦函数的单调区间
又∵x∈[－4π，4π]，
用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.
思维升华
题型二　三角函数的奇偶性与周期性的简单应用
【例2】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
D
(2)
D
【迁移1】　若将例2(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.
思维升华
1
题型三　求正弦、余弦函数的最值(值域)
解　令t＝sin x，y＝f(t)，
(1)形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x，cos x≤1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性.
(2)求解形如y＝asin2 x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性.
思维升华
解　设cos x＝t，
∵y＝t2－2at＝(t－a)2－a2，
∴当a<0时，M(a)＝1－2a，m(a)＝0；
当a≥1时，M(a)＝0，m(a)＝1－2a.
1.判断函数奇偶性的两个关键点
(1)看函数的定义域是否关于原点对称；
(2)看f(－x)与f(x)的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.
3.求三角函数值域或最值的常用方法：
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.下列函数中，周期为2π的是(　　)
C
C
3.函数y＝sin 2x的单调递减区间是(　　)
B
4.函数f(x)＝－2sin2x＋2cos x的最大值和最小值分别是(　　)
B
解析　f(x)＝－2sin2x＋2cos x＝－2×(1－cos2x)＋2cos x＝2cos2x＋2cos x－2
C
二、填空题
8.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________________________.
sin 3sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
∴sin(π－3)即sin 3三、解答题
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
10.求下列函数的单调递增区间.
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
11.(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法正确的是(　　)
A.对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B.存在φ，使f(x)是偶函数
C.存在φ，使f(x)是奇函数
D.对任意的φ，f(x)都不是偶函数
BC
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
(3)试判断f(x)是否为周期函数？若是，直接写出f(x)的最小正周期.
解　(2)由(1)知定义域关于原点对称，
∴该函数为奇函数.
(3)f(x)为周期函数，T＝2π.
14.已知a>0，0≤x<2π，若函数y＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并分别求出使y取得最大值和最小值时x的值.
∴a＝2，b＝－2.
则当sin x＝－1时，ymax＝－1＋a＋b＋1＝0，
当sin x＝1时，ymin＝－1－a＋b＋1＝－4，
∴a＝2，b＝－2，舍去.
综上，a＝2，b＝－2，第二课时　正弦函数、余弦函数的性质
课标要求 素养要求
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.4.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小. 借助y＝sin x和y＝cos x的图象，理清周期性、奇偶性及单调区间与最值；重点提升直观想象、逻辑推理素养.
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自主梳理
1.周期函数
条件 ①对于函数f(x)，存在一个非零常数T
②当x取定义域内的每一个值时，x±T都有定义并且f(x±T)＝f(x)
结论 函数f(x)叫做周期函数，T称为这个函数的一个周期
2π是y＝sin x，y＝cos x的最小正周期，最小正周期常简称为周期.
2.正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象 INCLUDEPICTURE "../../../S77.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S77.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S78.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../S78.tif" \* MERGEFORMAT
值域 [－1，1] [－1，1]
周期性 最小正周期2π 最小正周期2π
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ]上单调递增，在[＋2kπ，＋2kπ]上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减
最值 x＝＋2kπ时，ymax＝1；x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 x＝2kπ时，ymax＝1；x＝π＋2kπ时，ymin＝－1
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.(×)
提示　正弦函数、余弦函数在定义域内不单调.
(2)任何周期函数都有最小正周期.(×)
提示　常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.
(3)若存在正数T，使f(x)对每一个x都有f(x＋T)＝－f(x)成立，则函数f(x)的周期为2T.(√)
(4)函数f(x)＝sin 2x是奇函数.(√)
(5)存在实数x，使得cos x＝.(×)
提示　余弦函数最大值为1.
(6)余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数.(√)
2.函数y＝sin(x＋)是(　　)
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数
答案　D
解析　因为y＝sin(x＋)＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数.
3.函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为________.
答案　－＋2kπ(k∈Z)
解析　当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝2－sin x的最大值为3.
4.比较sin 250°与sin 260°的大小.
解　∵sin 250°＝sin (180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin (180°＋80°)＝
－sin 80°，而sin 70°∴－sin 70°>－sin 80°.∴sin 250°>sin 260°.
INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　正弦、余弦函数的单调区间
【例1】　求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调递减区间.
解　y＝1＋sin＝－sin＋1.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z).
解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z).
又∵x∈[－4π，4π]，∴函数y＝1＋sin(－x＋)的单调递减区间为[－4π，－]，[－，]，[，4π].
思维升华　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.
【训练1】　求函数f(x)＝2cos(2x－)的单调递增区间.
解　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z).
题型二　三角函数的奇偶性与周期性的简单应用
【例2】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A.y＝cos|2x| B.y＝|sin x|
C.y＝sin D.y＝cos
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin＝.
【迁移1】　若将例2(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
解　f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝－f()＝－sin＝－.
【迁移2】　若将例2(2)题条件不变，求f＋f的值.
解　f()＝f(672π＋)＝f()＝sin＝，
f()＝f(672π＋)＝f()＝f(－)＝f()＝sin＝，
所以f()＋f()＝＋＝.
思维升华　当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.
【训练2】　若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，则f＝________.
答案　1
解析　f(－)＝f(－＋3π)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1.
题型三　求正弦、余弦函数的最值(值域)
【例3】　(1)求函数y＝3－2sin x取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；
(2)求函数f(x)＝2sin2 x＋2sin x－，x∈的值域.
解　(1)∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y取得最大值5，相应的自变量x的集合为.
当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y取得最小值1，相应的自变量x的集合为.
(2)令t＝sin x，y＝f(t)，∵x∈，
∴≤sin x≤1，即≤t≤1.
∴y＝2t2＋2t－＝2－1，∴1≤y≤，
∴函数f(x)的值域为.
思维升华　(1)形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x，cos x≤1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性.
(2)求解形如y＝asin2 x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性.
【训练3】　已知0≤x≤，求函数y＝cos2x－2acos x的最大值M(a)与最小值m(a).
解　设cos x＝t，
∵0≤x≤，∴0≤t≤1.
∵y＝t2－2at＝(t－a)2－a2，
∴当a<0时，M(a)＝1－2a，m(a)＝0；
当0≤a≤时，M(a)＝1－2a，m(a)＝－a2；
当当a≥1时，M(a)＝0，m(a)＝1－2a.
综上，M(a)＝
m(a)＝
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1.判断函数奇偶性的两个关键点
(1)看函数的定义域是否关于原点对称；
(2)看f(－x)与f(x)的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.
3.求三角函数值域或最值的常用方法：
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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一、选择题
1.下列函数中，周期为2π的是(　　)
A.y＝sin B.y＝sin 2x
C.y＝|sin | D.y＝|sin 2x|
答案　C
解析　y＝sin 的周期为T＝＝4π；y＝sin 2x的周期为T＝＝π；y＝|sin |的周期为T＝2π；y＝|sin 2x|的周期为T＝.
2.函数y＝sin (0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　)
A.0 B.
C. D.π
答案　C
解析　由y＝sin是R上的偶函数，则sin＝sin恒成立，所以－x－φ＝π－＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝－－kπ(k∈Z)，则φ可以为选项中的.
3.函数y＝sin 2x的单调递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　令＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
则y＝sin 2x的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z).
4.函数f(x)＝－2sin2x＋2cos x的最大值和最小值分别是(　　)
A.2，－2 B.2，－
C.2，－ D.，－2
答案　B
解析　f(x)＝－2sin2x＋2cos x＝－2×(1－cos2x)＋2cos x＝2cos2x＋2cos x－2＝2×＝2－，
∵－1≤cos x≤1，∴f(x)min＝－，f(x)max＝2.故选B.
5.已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域为(　　)
A.[－1，1] B.
C. D.
答案　C
解析　f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|＝则f(x)的图象如图所示，由f(x)的图象知f(x)的值域为.
INCLUDEPICTURE "../../../Q38.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../Q38.TIF" \* MERGEFORMAT
二、填空题
6.函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝，则f(22)＝________.
答案　
解析　f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝.
7.已知函数f(x)＝－sin，ω≠0，φ∈(－π，π)为奇函数，则φ＝________.
答案　－或
解析　由题意知＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.∵φ∈(－π，π)，当k＝0时，φ＝－；当k＝1时，φ＝.
8.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________________________.
答案　sin 3解析　∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y＝sin x在上是增函数，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin 3三、解答题
9.已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式.
解　x∈时，3π－x∈，
∵x∈时，f(x)＝1－sin x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.
10.求下列函数的单调递增区间.
(1)y＝1－sin ；(2)y＝logsin.
解　(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin的单调递增区间为
[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z).
(2)要求函数y＝logsin的单调递增区间，
即求使y＝sin>0且单调递减的区间.
∴2kπ＋≤－<2kπ＋π，k∈Z，
整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝logsin的单调递增区间为，k∈Z.
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11.(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法正确的是(　　)
A.对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B.存在φ，使f(x)是偶函数
C.存在φ，使f(x)是奇函数
D.对任意的φ，f(x)都不是偶函数
答案　BC
解析　φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数.
φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数.
12.若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
答案　
解析　∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1，
∴0≤ωx≤<.
∵f(x)max＝2sin＝，∴sin＝，＝，
即ω＝.
13.设f(x)＝log3.
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
(3)试判断f(x)是否为周期函数？若是，直接写出f(x)的最小正周期.
解　(1)∵>0，∴－∴kπ－∴该函数的定义域为{x|kπ－(2)由(1)知定义域关于原点对称，
又f(－x)＝log3＝log3
＝－log3＝－f(x)，
∴该函数为奇函数.
(3)f(x)为周期函数，T＝2π.
INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.已知a>0，0≤x<2π，若函数y＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并分别求出使y取得最大值和最小值时x的值.
解　y＝－＋＋b＋1，－1≤sin x≤1，a>0，
①若0<≤1，即0则当sin x＝－时，ymax＝＋b＋1＝0，
当sin x＝1时，ymin＝－＋＋b＋1＝－a＋b＝－4，
∴a＝2，b＝－2.
②若>1，即a>2，
则当sin x＝－1时，ymax＝－1＋a＋b＋1＝0，
当sin x＝1时，ymin＝－1－a＋b＋1＝－4，
∴a＝2，b＝－2，舍去.
综上，a＝2，b＝－2，
当x＝时，ymax＝0；当x＝时，ymin＝－4.

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