资源简介

(共51张PPT)
第二课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(二)
1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式.
2.整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.
课标要求
素养要求
通过函数图象能抽象出数学模型，并能研究函数的性质，逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.简谐运动
振幅
频率
相位
初相
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
R
[－A，A]
名称 性质
定义域 _____
值域 ___________
周期性 T＝_________
对称中心 (k∈Z)
对称轴 x＝＋(k∈Z)
奇偶性 当φ＝_____________时是奇函数；
当φ＝_________________________时是偶函数
单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得_____________区间；
由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得____________区间
kπ(k∈Z)
单调递增
单调递减
1.思考辨析，判断正误
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(2)在y＝Asin(ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期.( )
提示　相邻对称轴间距离为半个周期.
√
×
√
×
π
2
课堂互动
题型剖析
2
题型一　由图象求三角函数的解析式
解　法一　(逐一定参法)：
法二　(待定系数法)：
法三　(图象变换法)：
已知图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ.
法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数.
思维升华
【训练1】　若函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则(　　)
∵在x＝1处取得最大值，
C
题型二　y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间.
(2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质.
思维升华
B
题型三　y＝Asin(ωx＋φ)在实际中的应用
【例3】　如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.
(1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式；
解　可以用余弦型函数来表示该函数解析式，
由已知可设y＝40.5－40cos ωt(t≥0)，
由周期为12分钟可知，当t＝6分钟时到达最高点，
即函数取得最大值，
故80.5＝40.5－40cos 6ω，即得cos 6ω＝－1，
(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解得t＝4＋12k，k∈N或t＝8＋12k，k∈N，
又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).
(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.
解 与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米.
解决实际问题的关键是理清题意，用合适的函数模型描述题中变量间的关系，通过周期确定关系式.
思维升华
【训练3】　一个匀速旋转的摩天轮每12 min转一周，最低点距地面2 m，最高点距地面18 m，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16 min后点P距地面的高度是　　　　m.
解析　由题设可知P点距离地面高度h与时间t(min)关系可设为h＝10＋8sin(ωt＋φ)，
14
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
D
B
A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数 D.偶函数
D
4.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是(　　)
D
解析　当a＝0时f(x)＝1，C符合，
当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，
当|a|>1时T<2π，B符合.排除A，B，C，故选D.
A
二、填空题
6.已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝　　　.
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
∴T＝π，最大值为1，最小值为－1.
(2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在x∈[－6，0]上的值域.
BC
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
解　由题意作出f(x)的简图如图.
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域.
ABC5.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
第一课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一)
课标要求 素养要求
1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.3.能用图象变换画y＝Asin(ωx＋φ)的简图. 通过整体代换和图象的变换提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.
INCLUDEPICTURE "../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
INCLUDEPICTURE "../../S87.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S87.tif" \* MERGEFORMAT
2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
INCLUDEPICTURE "../../S88.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S88.tif" \* MERGEFORMAT
3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
INCLUDEPICTURE "../../S89.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S89.tif" \* MERGEFORMAT
函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A](A>0)，最大值为A，最小值为－A.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)把函数y＝sin x的图象向右平移2个单位得到函数y＝sin(x＋2)的图象.(×)
提示　应得到y＝sin(x－2)的图象.
(2)把函数y＝sin x的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合.(√)
(3)函数y＝3cos的最大值为3.(√)
2.为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线上所有点的(　　)
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
答案　B
解析　ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.
3.把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到______的图象.
答案　y＝6sinx
4.将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为________.
答案　y＝cos(2x－)
解析　由题意得所得图象对应的解析式为y＝cos 2(x－)＝cos(2x－).
INCLUDEPICTURE "../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例1】　已知函数y＝sin.
利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图.
INCLUDEPICTURE "../../S90.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S90.tif" \* MERGEFORMAT
解　下面用“五点法”画函数y＝sin在一个周期T＝4π内的图象.
令X＝x＋，则x＝2X－.
先列表，后描点并画图.
X 0 π 2π
x －
y 0 1 0 －1 0
INCLUDEPICTURE "../../S91.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S91.TIF" \* MERGEFORMAT
思维升华　用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”.同时也要注意“五点法”的逆用，即由y＝Asin(ωx＋φ)的图象反过来确定ωx＋φ的值.
【训练1】　请用“五点法”画出函数y＝sin(2x－)的图象.
解　函数y＝sin的周期T＝＝π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象，令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X 0 π 2π
x
y 0 0 － 0
描点画图：
INCLUDEPICTURE "../../S92.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S92.tif" \* MERGEFORMAT
利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象向左、向右平移即得y＝sin(2x－)的图象(图略).
题型二　三角函数图象的平移变换
【例2】　(1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
(2)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)函数y＝2sin的周期为T＝＝π，向右平移个周期，即向右平移后，得到图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
(2)y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos.
若设f(x)＝sin 2x＝cos ，
则f＝cos，
∴向左平移个单位.
思维升华　三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离.
【训练2】　将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为________.
答案　y＝－cos 2x
解析　将函数y＝cos(2x＋)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos[2(x＋)＋]＝cos(2x＋π)＝－cos 2x.
题型三　三角函数图象的伸缩变换
【例3】　说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.
解　法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象.
法二　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象.
思维升华　三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的.
(2)虽然两种平移单位长度不同，平移时平移的对象已有变化，但得到的结果是一致的.
【训练3】　(1)为了得到函数y＝sin的图象，需将函数y＝sin的图象(　　)
A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
C.横坐标变为原来的，纵坐标不变
D.纵坐标变为原来的，横坐标不变
(2)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)只需将函数y＝sin的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin的图象，故选C.
(2)C1：y＝cos x＝sin.
即y＝sin
y＝sin＝sin 2
y＝sin 2＝sin 2.
INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.通过本节课的学习，重点提升直观想象、逻辑推理、数学抽象素养.
2.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两种：
(1)y＝sin xy＝sin（x＋φ）
y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）；
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin＝sin（ωx＋φ）
y＝Asin（ωx＋φ）.
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方，应特别注意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.将函数f（x）＝sin的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（　　）
A.y＝sin x B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
答案　B
解析　将函数f（x）＝sin的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝
sin ＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin的图象，故选B.
2.把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）
INCLUDEPICTURE "../../xj113.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../xj113.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　A
解析　把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝cos x＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos（x＋1）的图象，故选A.
3.将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
答案　A
解析　y＝sin＝sin 2，将其图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象.由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.令k＝0，可知函数y＝sin 2x在区间上单调递增.故选A.
4.要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝
sin的图象上的所有点的（　　）
A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
答案　C
解析　∵y＝cos x＝sin，
∴y＝sin的图象
y＝sin的图象
y＝sin的图象.
5.函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象上所有的点向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（　　）
A.4 B.6
C.8 D.12
答案　B
解析　y＝f（x）的图象向左平移后得到y＝sin＝sin，其图象与原图象重合，有ω＝2kπ（k∈Z），即ω＝4k（k∈Z）.故ω的值不可能为6.
二、填空题
6.利用“五点法”作函数y＝2sin（2x－）的图象时，所取的五个点的坐标为　　　　　　　　.
答案　，，，，
解析　令2x－＝0，，π，，2π得x＝，，，，，故五个点的坐标是，，，，.
7.将函数y＝sin x的图象向左平移φ（0≤φ<2π）个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝　　　　Ｗ.
答案　
解析　将函数y＝sin x的图象向左平移φ个单位后，得y＝sin（x＋φ）的图象，而y＝sin＝sin，所以φ＝.
8.将函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝　　　　Ｗ.
答案　
解析　y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin的图象即为f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象，∴f（x）＝sin（x＋），f（）＝.
三、解答题
9.已知函数f（x）＝3sin（＋）＋3（x∈R），用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的简图.
解　（1）列表：
＋ 0 π 2π
x －
f（x） 3 6 3 0 3
（2）描点画图：
INCLUDEPICTURE "../../S93.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S93.tif" \* MERGEFORMAT
10.函数f（x）＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解　先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍（横坐标不变）得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象（答案不唯一）.
INCLUDEPICTURE "../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.将函数y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（　　）
A. B.
C.0 D.－
答案　B
解析　将函数y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝sin＝sin，因为此时函数为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以选B.
12.（多选题）将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的图象，则下列说法不正确的是（　　）
A.y＝f（x）是奇函数
B.y＝f（x）的周期为π
C.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
D.y＝f（x）的图象关于点（－，0）对称
答案　ABC
解析　由题意知，f（x）＝cos x，所以它是偶函数，A错；它的周期为2π，B错；它的对称轴是直线x＝kπ，k∈Z，C错；它的对称中心是点，k∈Z，D对.
13.已知函数f（x）＝2sin ωx，其中常数ω>0.
（1）若y＝f（x）在上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a解　（1）因为ω>0，根据题意有
解得0<ω≤.
所以ω的取值范围为.
（2）由题意知f（x）＝2sin 2x，
g（x）＝2sin＋1＝2sin＋1，
由g（x）＝0得，sin＝－，
解得x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g（x）的零点相离间隔依次为和，
故若y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.已知f（x）＝sin（ω>0），f＝f，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝　　　　Ｗ.
答案　
解析　由题意可知，f（x）的图象关于x＝＝对称，且－≤T＝，解得0<ω≤12.
∵f（x）在区间上有最小值，
∴ω＋＝π＋2kπ，k∈Z.
∴ω＝.(共50张PPT)
5.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
第一课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一)
1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.
3.能用图象变换画y＝Asin(ωx＋φ)的简图.
课标要求
素养要求
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
左
右
2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
缩短
伸长
3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
伸长
缩短
函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A](A>0)，最大值为____，最小值为______.
A
－A
1.思考辨析，判断正误
(1)把函数y＝sin x的图象向右平移2个单位得到函数y＝sin(x＋2)的图象.( )
提示　应得到y＝sin(x－2)的图象.
(2)把函数y＝sin x的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合.( )
×
√
√
2.为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线上所有点的(　　)
B
3.把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到____________的图象.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
先列表，后描点并画图.
思维升华
描点画图：
题型二　三角函数图象的平移变换
D
A
三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离.
思维升华
题型三　三角函数图象的伸缩变换
思维升华
C
1.通过本节课的学习，重点提升直观想象、逻辑推理、数学抽象素养.
2.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两种：
课堂小结
y＝Asin（ωx＋φ）.
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方，应特别注意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分层训练
素养提升
3
一、选择题
B
2.把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）
A
解析　把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝cos x＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos（x＋1）的图象，故选A.
A
C
A.4 B.6 C.8 D.12
B
二、填空题
解　（1）列表：
（2）描点画图：
B
ABC
13.已知函数f（x）＝2sin ωx，其中常数ω>0.
解　由题意知f(x)＝2sin 2x，
解得0<ω≤12.第二课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质（二）
课标要求 素养要求
1.能根据y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象确定其解析式.2.整体把握函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质，并能解决有关问题. 通过函数图象能抽象出数学模型，并能研究函数的性质，逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养.
INCLUDEPICTURE "../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.简谐运动
简谐运动y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）中，A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅，周期T＝，而f＝＝表示单位时间内往复振动的次数称为频率，ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相Ｗ.
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的有关性质
名称 性质
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称中心 （k∈Z）
对称轴 x＝＋（k∈Z）
奇偶性 当φ＝kπ（k∈Z）时是奇函数；当φ＝kπ＋（k∈Z）时是偶函数
单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间；由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
自主检验
1.思考辨析，判断正误
（1）y＝Asin（ωx＋φ）的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.（√）
（2）在y＝Asin（ωx＋φ）的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期.（×）
提示　相邻对称轴间距离为半个周期.
（3）函数y＝sin的图象对称轴为x＝＋（k∈Z）.（√）
（4）函数f（x）＝sin的图象的对称中心是（k∈Z）.（×）
提示　由x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－＋kπ（k∈Z），故对称中心是（k∈Z）.
2.函数y＝2cos的最小正周期为　　　　Ｗ.
答案　π
解析　T＝＝π.
3.函数y＝2sin x向右平移个单位，得到函数f（x），则f（x）的最大值为　　　　Ｗ.
答案　2
解析　由题意知f（x）＝2sin，所以f（x）max＝2.
4.若f（x）＝2sin的单调递增区间为　　　　Ｗ.
答案　（k∈Z）
解析　－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），即－＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），∴－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）.
INCLUDEPICTURE "../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂互动.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　由图象求三角函数的解析式
【例1】　如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一部分，求此函数的解析式.
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解　法一　（逐一定参法）：
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin（2x＋φ）.
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝2kπ（k∈Z），得φ＝＋2kπ（k∈Z）.
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin.
法二　（待定系数法）：
由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
法三　（图象变换法）：
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
思维升华　已知图象求y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的方法
法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin（ωx＋φ）中的参数A和ω，再选取“第一个零点”（即五点作图法中的第一个）的数据代入“ωx＋φ＝0”（要注意正确判断哪一个点是“第一零点”）求得φ.
法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数.
【训练1】　若函数y＝sin（ωx＋φ）（x∈R，ω>0，0≤φ<2π）的部分图象如图，则（　　）
INCLUDEPICTURE "../../S100.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S100.TIF" \* MERGEFORMAT
A.ω＝，φ＝
B.ω＝，φ＝
C.ω＝，φ＝
D.ω＝，φ＝
答案　C
解析　由所给图象可知，＝2，∴T＝8.
又∵T＝，∴ω＝.
∵在x＝1处取得最大值，
∴＋φ＝＋2kπ（k∈Z），
∴φ＝2kπ＋（k∈Z），∵0≤φ<2π，∴φ＝.
题型二　y＝Asin（ωx＋φ）的性质的应用
【例2】　已知函数f（x）＝sin＋.
（1）求f（x）的振幅、最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）的图象的对称轴方程和对称中心；
（3）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合.
解　（1）函数f（x）的振幅为，最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.
（2）令2x＋＝kπ＋（k∈Z），则x＝＋（k∈Z），所以对称轴方程为x＝＋（k∈Z）；
令2x＋＝kπ（k∈Z），则x＝－（k∈Z），
所以对称中心为（k∈Z）.
（3）sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ（k∈Z），
x＝－＋kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值为，
此时x的取值集合是.
思维升华　研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质的两种方法
（1）客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f（θ）＝±A；（θ，0）为对称中心，则f（θ）＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间.
（2）主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质.
【训练2】　（1）函数f（x）＝2cos的对称中心的坐标是　　　　Ｗ.
（2）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则下列为f（x）的单调递减区间是（　　）
INCLUDEPICTURE "../../xj116.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../xj116.TIF" \* MERGEFORMAT
A. B.
C. D.
答案　（1）（k∈Z）　（2）B
解析　（1）令2x－＝＋kπ，k∈Z，可解得x＝＋kπ，k∈Z.即所求函数的对称中心的坐标是（k∈Z）.
（2）由T＝－＝，得T＝π＝，所以ω＝2.
当x＝时，f（x）＝1，可得sin＝1.因为|φ|<，所以φ＝，故f（x）＝sin.所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z，结合选项可知为f（x）的单调递减区间，选B.
题型三　y＝Asin（ωx＋φ）在实际中的应用
【例3】　如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.
INCLUDEPICTURE "../../xj117.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../xj117.TIF" \* MERGEFORMAT
（1）求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式；
（2）当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？
（3）当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.
解　（1）可以用余弦型函数来表示该函数解析式，
由已知可设y＝40.5－40cos ωt（t≥0），
由周期为12分钟可知，当t＝6分钟时到达最高点，
即函数取得最大值，
故80.5＝40.5－40cos 6ω，即得cos 6ω＝－1，
∴6ω＝π，解得ω＝，
∴y＝40.5－40cos t（t≥0）.
（2）令y＝40.5－40cost＝60.5，得cost＝－，
∴t＝π＋2kπ，k∈N或t＝π＋2kπ，k∈N，
解得t＝4＋12k，k∈N或t＝8＋12k，k∈N，
又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20（分钟）.
（3）与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过（6k＋2）（k∈N）分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米.
思维升华　解决实际问题的关键是理清题意，用合适的函数模型描述题中变量间的关系，通过周期确定关系式.
【训练3】　一个匀速旋转的摩天轮每12 min转一周，最低点距地面2 m，最高点距地面18 m，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16 min后点P距地面的高度是　　　　m.
答案　14
解析　由题设可知P点距离地面高度h与时间t（min）关系可设为h＝10＋8sin（ωt＋φ），其中ω＝＝，当t＝0时，10＋8sin φ＝2，即sin φ＝－1，φ＝－，所以h＝10－8cost，当t＝16时，h＝14 m.
INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课堂小结.tif" \* MERGEFORMAT
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养.
2.正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）和余弦型函数y＝Acos（ωx＋φ）不一定具备奇偶性.对于函数y＝Asin（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数，当φ＝kπ＋（k∈Z）时为偶函数；对于函数y＝Acos（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为偶函数，当φ＝kπ＋（k∈Z）时为奇函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.已知函数y＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则（　　）
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A.ω＝1，φ＝
B.ω＝1，φ＝－
C.ω＝2，φ＝
D.ω＝2，φ＝－
答案　D
解析　依题意得T＝＝4×＝π，所以ω＝2.
又sin＝sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
由|φ|<，得φ＝－.故选D.
2.若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（　　）
A.x＝－（k∈Z） B.x＝＋（k∈Z）
C.x＝－（k∈Z） D.x＝＋（k∈Z）
答案　B
解析　将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin 2＝2sin，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.
3.把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是（　　）
A.非奇非偶函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数
D.偶函数
答案　D
解析　y＝sin图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，y＝－cos 2x是偶函数.
4.已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asin ax的图象不可能是（　　）
INCLUDEPICTURE "../../123X2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../123X2.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../124X2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../124X2.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　D
解析　当a＝0时f（x）＝1，C符合，
当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，
当|a|>1时T<2π，B符合.排除A，B，C，故选D.
5.将函数y＝sin图象上的点P向左平移s（s>0）个单位长度得到P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则（　　）
A.t＝，s的最小值为
B.t＝，s的最小值为
C.t＝，s的最小值为
D.t＝，s的最小值为
答案　A
解析　因为点P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝
sin ＝.所以P.将点P向左平移s（s>0）个单位长度得P′.因为在函数y＝sin 2x的图象上，所以sin2＝，即cos 2s＝，所以2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋π（k∈Z），即s＝kπ＋或s＝kπ＋（k∈Z），所以s的最小值为.
二、填空题
6.已知函数y＝sin（ωx＋φ） （ω>0，－π≤φ<π）的图象如下图所示，则φ＝　　　　.
INCLUDEPICTURE "../../S104.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S104.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　
解析　由图象知函数y＝sin（ωx＋φ）的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－ （k∈Z）.
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
7.函数y＝sin 2x的图象向右平移φ（φ>0）个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为　　　　Ｗ.
答案　
解析　平移后解析式为y＝sin（2x－2φ），图象关于x＝对称，∴2×－2φ＝kπ＋（k∈Z），
∴φ＝－－（k∈Z），又∵φ>0，
∴当k＝－1时，φ的最小值为.
8.已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）的图象如图所示，f（）＝－，则f（0）＝　　　　.
INCLUDEPICTURE "../../+2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../+2.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　
解析　由题图可知＝－＝，T＝，
INCLUDEPICTURE "../../++4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../++4.TIF" \* MERGEFORMAT
则可补全函数图象得f＝0，
故为函数的一个中心对称点，
所以得f（0）＝－f＝.
三、解答题
9.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）一个周期的图象如图所示.
INCLUDEPICTURE "../../S105.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S105.TIF" \* MERGEFORMAT
（1）求函数f（x）的最小正周期T及最大值、最小值；
（2）求函数f（x）的解析式及单调递增区间.
解　（1）由题图知T＝－＝，∴T＝π，最大值为1，最小值为－1.
（2）由（1）知ω＝＝2.又2×＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z，又－<φ<，∴φ＝，A＝1.则f（x）＝sin，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），故f（x）的单调递增区间是（k∈Z）.
10.已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|≤）上一个最高点为（2，），该最高点与相邻的最低点间的连线与x轴交于点（6，0）.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在x∈[－6，0]上的值域.
解　（1）由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16.即＝16，∴ω＝，∴y＝sin.
又图象过最高点（2，），∴sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin.
（2）∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.
即函数在x∈[－6，0]上的值域为[－，1].
INCLUDEPICTURE "../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.（多选题）关于f（x）＝4sin （x∈R），有下列命题正确的是（　　）
A.由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1－x2是π的整数倍
B.y＝f（x）的表达式可改写成y＝4cos
C.y＝f（x）图象关于对称
D.y＝f（x）图象关于x＝－对称
答案　BC
解析　对于A，由f（x）＝0，可得2x＋＝kπ （k∈Z）.
∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴A错；
对于B，f（x）＝4sin利用公式得：
f（x）＝4cos＝4cos.
∴B对；
对于C，f（x）＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，
∴x＝π－，k∈Z.
∴是函数y＝f（x）的一个对称中心，∴C对；
对于D，函数y＝f（x）的对称轴满足
2x＋＝＋kπ，k∈Z.
∴x＝＋，k∈Z，∴D错.
12.函数y＝cos（2x＋φ）（－π≤φ<π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝　　　　　Ｗ.
答案　
解析　函数y＝cos（2x＋φ）向右平移个单位，得到y＝sin，即y＝sin向左平移个单位得到函数y＝cos（2x＋φ），y＝sin向左平移个单位，得y＝sin＝sin＝－sin＝cos＝cos，即φ＝.
13.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0＋2π，－2）.
（1）求f（x）的解析式及x0的值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[－π，π]，求f（x）的值域.
解　（1）由题意作出f（x）的简图如图.
INCLUDEPICTURE "../../S++108.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../S++108.TIF" \* MERGEFORMAT
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，
∴4π＝，即ω＝，∴f（x）＝2sin，
∴f（0）＝2sin φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f（x）＝2sin.
∵f（x0）＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又（x0，2）是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝.
（2）由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为（k∈Z）.
（3）∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴－≤f（x）≤2，
故f（x）的值域为[－，2].
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.（多选题）设函数f（x）＝cos，则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的一个周期为－2π
B.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x＋π）的一个零点为x＝
D.f（x）在单调递减
答案　ABC
解析　函数f（x）＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f（x）在上先递减后递增，D选项错误.
INCLUDEPICTURE "../../17GS48.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../17GS48.TIF" \* MERGEFORMAT

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