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(共46张PPT)
6.4　用样本估计总体
6.4.1　用样本估计总体的集中趋势
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数).
2.理解集中趋势参数的统计含义.
课标要求
素养要求
在用样本估计总体的集中趋势参数中，发展学生的数学运算素养和数据分析素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.平均数
(1)若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数_______________________.
(2)若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为________________________.
x1f1＋x2f2＋…＋xnfn
2.众数
观测数据中出现__________的数是众数，用M0表示.
次数最多
将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，我们称处于__________的数是中位数，用Me表示，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数即为中位数.
3.中位数
中间位置
4.众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
1.思考辨析，判断正误
(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的.( )
提示　一个样本的平均数和中位数是唯一的.若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都是众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能多个，也可能没有.
(2)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变.( )
提示　若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变.
×
×
2.一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　)
A.14，14 B.12，14
C.14，15.5 D.12，15.5
解析　把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14.
A
3.一组数据的频率分布表如下，则该组数据的平均值为________.
126.3
分组 频数 频率
[121，123) 2 0.1
[123，125) 3 0.15
[125，127) 8 0.4
[127，129) 4 0.2
[129，131] 3 0.15
合计 20 1
课堂互动
题型剖析
2
题型一　平均数
【例1】　某地区教育部门为了解本区中小学生视力情况，从高中3 500人中抽取35人，初中生10 700人中抽取107人，小学生11 000人中抽取110人，且抽取高中生的平均视力为4.5，初中生的平均视力为4.7.小学生的平均视力为4.9，则估计该区中小学生的平均视力.
解　总学生数A＝3 500＋10 700＋11 000＝25 200人，
所以总体的平均值估计为
即该区中小学生的平均视力约为4.76.
思维升华
【训练1】　为了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重，将数据整理得如下频率分布表：
则估计该校高三女生的平均体重.
体重(kg) 频数 频率
[40，45) 10 0.1
[45，50) 50 0.5
[50，55) 30 0.3
[55，60] 10 0.1
合计 100 1
解　法一　100个女生的总体重约为
42.5×10＋47.5×50＋52.5×30＋57.5×10＝495，
495÷100＝49.5(kg)
即高三女生的平均体重大约为49.5 kg.
即估计高三女生的平均体重为49.5 kg.
题型二　众数、中位数的计算
【例2】　某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示 ：
甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26
乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11
则下面结论中正确的是________(填序号).
①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24.
解析　把两组数据按从小到大的顺序排列，得
甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37
乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23
①②③
计算一组数据的众数、中位数和平均数时，一般都要先处理数据，即按从小到大的顺序排列数据，然后根据众数、中位数、平均数的概念及计算方法求解.
思维升华
【训练2】　贵阳地铁1号线于2017年12月28日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的众数、平均数、中位数的和为(　　)
A.170 B.165 C.160 D.150
D
题型三　用众数、中位数、平均数估计总体
【例3】　据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.
解　在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算、不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
思维升华
【训练3】　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
解　(1)甲群市民年龄的平均数为
中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
中位数为5.5岁，众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为(　　)
B
2.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
解析　把数据由小到大排列可得：
10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，
故a＝14.7，b＝15，c＝17，所以c>b>a.
D
A.3 B.4
C.4.5 D.5
B
4.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的长度的平均数为(　　)
B
A.22.5 B. 22.75
C.20 D.25
5.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，抽出的男运动员平均身高177.5 cm，抽出女运动员平均身高为168.4 cm，则估计该田径队运动员的平均身高为(　　)
A.173.6 cm B.172.95 cm
C.172.3 cm D.176 cm
A
二、填空题
6.下面是高一(18)班十位同学的数学测试成绩：82，91，73，84，98，99，101，118，98，110，则该组数据的中位数是________.
98
7.高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层抽样的方法抽取了一个容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则
(1)高一、高二抽取的样本量分别为________；
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________.
90，70
84.375
8.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为________.
65　62.5
解析　∵最高的矩形为第三个矩形，
∴时速的众数的估计值为65.
前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4.
∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.
三、解答题
9.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
解　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
10.一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.
四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1，0.02×10＝0.2，0.02×25＝0.5，0.02×10＝0.2，
平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.
BD
解析　由题图知，A组的6个数从小到大排列为2.5，2.5，5，7.5，10，10；B组的6个数从小到大排列为6，6，6，7.5，7.5，9，
所以yA12.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图.已知该校在校学生3 000人，根据统计图可计算该校学生每人捐款的平均数约为________元(结果保留整数).
13
解析　根据统计图，得
高一人数为3 000×32%＝960，
捐款960×15＝14 400(元)；
高二人数为3 000×33%＝990，
捐款990×13＝12 870(元)；
高三人数为3 000×35%＝1 050，
捐款1 050×10＝10 500(元)；
所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元).
故捐款的平均数为37 770÷3 000＝12.59≈13(元).
13.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩.
解　(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.30＋65×0.40＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分.
14.某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
销售量(件) 1 800 510 250 210 150 120
人数 1 1 3 5 3 2
(1)求这15位销售人员该月销售量的均值、中位数及众数；
中位数为210件，众数为210件.
(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额.
解　不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平.销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额.6.4　用样本估计总体
6.4.1　用样本估计总体的集中趋势
课标要求 素养要求
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数).2.理解集中趋势参数的统计含义. 在用样本估计总体的集中趋势参数中，发展学生的数学运算素养和数据分析素养.
INCLUDEPICTURE "../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../课前预习.TIF" \* MERGEFORMAT
自主梳理
1.平均数
(1)若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数＝.
(2)若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为 x1f1＋x2f2＋…＋xnfn.
(3)在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL，称Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权，对i＝1，2，…，L，用i表示从第i层抽出样本的均值，则＝W11＋W22＋…＋WLL是总体均值μ的简单估计.
2.众数
观测数据中出现次数最多的数是众数，用M0表示.
3.中位数
将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，我们称处于中间位置的数是中位数，用Me表示，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数即为中位数.
4.众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的.(×)
提示　一个样本的平均数和中位数是唯一的.若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都是众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能多个，也可能没有.
(2)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变.(×)
提示　若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变.
2.一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　)
A.14，14 B.12，14
C.14，15.5 D.12，15.5
答案　A
解析　把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14.
3.一组数据的频率分布表如下，则该组数据的平均值为________.
分组 频数 频率
[121，123) 2 0.1
[123，125) 3 0.15
[125，127) 8 0.4
[127，129) 4 0.2
[129，131] 3 0.15
合计 20 1
答案　126.3
解析　＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3.
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题型一　平均数
【例1】　某地区教育部门为了解本区中小学生视力情况，从高中3 500人中抽取35人，初中生10 700人中抽取107人，小学生11 000人中抽取110人，且抽取高中生的平均视力为4.5，初中生的平均视力为4.7.小学生的平均视力为4.9，则估计该区中小学生的平均视力.
解　总学生数A＝3 500＋10 700＋11 000＝25 200人，
其中高中生所占比例为W1＝＝，
初中生所占比例为W2＝＝，
小学生所占比例为W3＝＝，
所以总体的平均值估计为
＝×4.5＋×4.7＋×4.9≈4.76.
即该区中小学生的平均视力约为4.76.
思维升华　样本平均数依赖于样本的选择，样本的均值是总体均值μ的估计，在计算样本数据的均值时，若给出的是频率分布表，则用各组的组中值代表各组的实际数据，计算各组中值与频率的积再求和，即＝x1f1＋x2f2＋…＋xnfn，在分层抽样得到的样本数据求均值时，则计算第i层的层权Wi＝.记i是每一层抽出样本的均值，计算＝W11＋W22＋…＋WLL，即为总体均值估计.
【训练1】　为了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重，将数据整理得如下频率分布表：
体重(kg) 频数 频率
[40，45) 10 0.1
[45，50) 50 0.5
[50，55) 30 0.3
[55，60] 10 0.1
合计 100 1
则估计该校高三女生的平均体重.
解　法一　100个女生的总体重约为
42.5×10＋47.5×50＋52.5×30＋57.5×10＝495，
495÷100＝49.5(kg)
即高三女生的平均体重大约为49.5 kg.
法二　平均体重＝42.5×0.1＋47.5×0.5＋52.5×0.3＋57.5×0.1＝49.5(kg)
即估计高三女生的平均体重为49.5 kg.
题型二　众数、中位数的计算
【例2】　某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示 ：
甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26
乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11
则下面结论中正确的是________(填序号).
①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24.
答案　①②③
解析　把两组数据按从小到大的顺序排列，得
甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37
乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23
故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以①正确；乙中出现最多的数据是21，所以②正确；甲的平均数为甲＝(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以③正确；甲的中位数为(22＋24)＝23，故④不正确.
思维升华　计算一组数据的众数、中位数和平均数时，一般都要先处理数据，即按从小到大的顺序排列数据，然后根据众数、中位数、平均数的概念及计算方法求解.
【训练2】　贵阳地铁1号线于2017年12月28日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的众数、平均数、中位数的和为(　　)
A.170 B.165
C.160 D.150
答案　D
解析　把数据从小到大排列为：10，30，30，40，40，50，60，60，60，70，则这组数据的众数为60，中位数为(40＋50)＝45，平均数为(10＋30＋30＋40＋40＋50＋60＋60＋60＋70)＝45，故三者之和为60＋45＋45＝150.
题型三　用众数、中位数、平均数估计总体
【例3】　据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.
解　(1)平均数是：＝4 000＋
≈4 000＋1 333
＝5 333(元).
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(2)平均数是′＝4 000＋
≈4 000＋2 212＝6 212(元)，
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
思维升华　众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算、不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
【训练3】　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解　(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
INCLUDEPICTURE "../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../分层训练.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.tif" \* MERGEFORMAT
一、选择题
1.期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为(　　)
A. B.1
C. D.2
答案　B
解析　N＝＝M，∴M∶N＝1.
2.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
答案　D
解析　把数据由小到大排列可得：
10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，
故a＝14.7，b＝15，c＝17，所以c>b>a.
3.一组数据1，10，5，2，x，2，且2A.3 B.4
C.4.5 D.5
答案　B
解析　因为24.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的长度的平均数为(　　)
INCLUDEPICTURE "../../17RAB3SX164.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../17RAB3SX164.tif" \* MERGEFORMAT
A.22.5 B. 22.75
C.20 D.25
答案　B
解析　＝12.5×0.1＋17.5×0.2＋22.5×0.4＋27.5×0.15＋32.5×0.15＝22.75.
5.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，抽出的男运动员平均身高177.5 cm，抽出女运动员平均身高为168.4 cm，则估计该田径队运动员的平均身高为(　　)
A.173.6 cm B.172.95 cm
C.172.3 cm D.176 cm
答案　A
解析　男运动员所占比例为＝，女运动员所占比例为＝，则平均值为＝×177.5＋×168.4＝173.6(cm).
二、填空题
6.下面是高一(18)班十位同学的数学测试成绩：82，91，73，84，98，99，101，118，98，110，则该组数据的中位数是________.
答案　98
解析　将这组数据按从小到大排列为73，82，84，91，98，98，99，101，110，118，则最中间的两个数为98，98，故中位数是(98＋98)＝98.
7.高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层抽样的方法抽取了一个容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则
(1)高一、高二抽取的样本量分别为________；
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________.
答案　(1)90，70　(2)84.375
解析　(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为×450＝90，高二年级抽取的样本量为×350＝70.
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为＝×80＋×90＝84.375(分).
8.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为________.
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答案　65　62.5
解析　∵最高的矩形为第三个矩形，
∴时速的众数的估计值为65.
前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4.
∵0.5－0.4＝0.1，×10＝2.5，
∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.
三、解答题
9.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
解　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m).
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
10.一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.
INCLUDEPICTURE "../../D481.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../D481.TIF" \* MERGEFORMAT
解　众数＝＝40；
四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1，0.02×10＝0.2，0.02×25＝0.5，0.02×10＝0.2，
中位数为39.99＋＝39.998；
平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.
INCLUDEPICTURE "../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.tif" \* MERGEFORMAT
11.(多选题)如图，样本A，B分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A，B，中位数分别为yA，yB，则(　　)
INCLUDEPICTURE "../../D485.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../D485.TIF" \* MERGEFORMAT
A.A>B B.AC.yA>yB D.yA答案　BD
解析　由题图知，A组的6个数从小到大排列为2.5，2.5，5，7.5，10，10；B组的6个数从小到大排列为6，6，6，7.5，7.5，9，
所以A＝＝6.25，
B＝＝7.
显然A又yA＝(5＋7.5)＝6.25，yB＝＝6.75，
所以yA12.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图.已知该校在校学生3 000人，根据统计图可计算该校学生每人捐款的平均数约为________元(结果保留整数).
INCLUDEPICTURE "../../D482.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../D482.TIF" \* MERGEFORMAT 　 INCLUDEPICTURE "../../D483.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../D483.TIF" \* MERGEFORMAT
解析　根据统计图，得
高一人数为3 000×32%＝960，
捐款960×15＝14 400(元)；
高二人数为3 000×33%＝990，
捐款990×13＝12 870(元)；
高三人数为3 000×35%＝1 050，
捐款1 050×10＝10 500(元)；
所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元).
故捐款的平均数为37 770÷3 000＝12.59≈13(元).
答案　13
13.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩.
INCLUDEPICTURE "../../D482A.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../D482A.tif" \* MERGEFORMAT
解　(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.30＋65×0.40＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分.
INCLUDEPICTURE "../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../创新拓展.tif" \* MERGEFORMAT
14.某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
销售量(件) 1 800 510 250 210 150 120
人数 1 1 3 5 3 2
(1)求这15位销售人员该月销售量的均值、中位数及众数；
(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额.
解　(1)均值为(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件.
(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平.销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额.

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