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第十五章 分式
15.3 第1课时 分式方程
随堂演练
获取新知
情境导入
例题讲解
课堂小结
情境导入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 .
这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？
获取新知
知识点一：分式方程的概念
定义：
此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
例1[教材补充例题]下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
整式方程
分式方程
例题讲解
方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
因此，分式方程的两个重要特征：
①是方程；②分母中含有未知数．
知识点二：分式方程的解法
你能试着解这个分式方程吗？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
“去分母”
方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x)
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，因此x=6是原分式方程的解.
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
x=6是原分式方程的解吗？
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
归纳
下面我们再讨论一个分式方程：
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.
思考：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程:
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验------必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
例题讲解
例1 解方程
解： 方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
例2 解方程
解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
知识要点
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
“去分母法”解分式方程的步骤
[解析]去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，结果要检验．
解：方程两边同乘(x2－4)，
得(x－2)2＋4＝x2－4.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x2－4≠0.
所以x＝3是原分式方程的解．
例题讲解
若关于x的分式方程 无解，求m的值．
例4
解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得
(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得
(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．
分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
随堂演练
D
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ）
A. 3y-6 B. 3y
C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2)
1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B.
C. D.
D
3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8
A
4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( )
A．－1，5 B．1
C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
D
5. 解方程：
解：去分母，得
解得
检验：把 代入
所以原方程的解为
课堂小结
分式
方程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
注意
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
步骤
（去分母法）
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)忘记检验
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