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(共53张PPT)
§3　指数函数
3.1　指数函数的概念
3.2　指数函数的图象和性质
第三章　指数运算与指数函数
情境导学·探新知
NO.1
实数集
R
大于0
(0,1)
1
1
(0，＋∞)
(0,1)
1
R
0
1
1
增
1
0
1
减
y轴
相反
第1课时　指数函数的概念、图象和性质
合作探究·释疑难
NO.2
类型1　指数函数的概念
类型2　指数型函数的定义域和值域
类型3　指数型函数图象
数学阅读·拓视野
NO.3
当堂达标·夯基础
NO.4
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f(x4)
y=|(x)-1指数函数的概念 指数函数的图象和性质
学 习 目 标 核 心 素 养
1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(重点)2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．(重点、难点) 1．通过指数函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．借助指数函数性质的应用，培养逻辑推理素养.
1．指数函数的概念是什么？
2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数y＝ax(a>1)和y＝ax(03．y＝ax和y＝x(a>0且a≠1)的图象和性质有什么关系？
知识点1　指数函数的概念
1．定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．
2．性质：(1)定义域是R，函数值大于0；
(2)图象过定点(0,1)．
指数函数的解析式有什么特征？
[提示]　指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；③ax的系数是1.
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数．(　　)
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　)
(3)y＝2x＋1是指数函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2.函数y＝(a－2)ax是指数函数，则a＝________.
3　[由指数函数定义知a－2＝1得a＝3.]
3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
()x　[设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∵f(2)＝2，∴a2＝2，∴a＝，即f(x)＝()x.]
知识点2　指数函数的图象和性质
1．对于函数y＝ax和y＝bx(a>b>1)．
(1)当x<0时，0(2)当x＝0时，ax＝bx＝1；
(3)当x>0时，ax>bx>1.
2．对于函数y＝ax和y＝bx(0(1)当x<0时，ax>bx>1；
(2)当x＝0时，ax＝bx＝1；
(3)当x>0时，03．指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域：R
值域：(0，＋∞)
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x<0时，00时，y>1 当x<0时，y>1；当x>0时，0在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大
4．一般地，指数函数y＝ax和y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反．
(1)在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与底数a有什么关系？
[提示]　(1)指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．
(2)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当04.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝x是减函数．(　　)
(2)已知函数f(x)＝3x，若m>n，则f(m)>f(n)．(　　)
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
5.下列函数中，是增函数的是________(填上正确的序号)．
①y＝x；②y＝(＋1)x；
③y＝2－x；④y＝(a2＋2)x.
[答案]　②④
6.函数f(x)＝2x＋3的值域为________．
[答案]　(3，＋∞)
7.函数y＝ax－1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
(1,0)　[由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，因而在函数y＝ax－1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax－1－1的图象恒过点(1,0)．]
第1课时　指数函数的概念、图象和性质
类型1　指数函数的概念
【例1】　给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x；③y＝32x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
C　[①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x是指数函数；
③中，y＝32x＝9x，故③是指数函数；
④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．]
判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y＝ax(a>0，且a≠1)的形式．
1．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝3 B．a＝1
C．a＝3 D．a>0且a≠1
C　[由指数函数定义知，
所以解得a＝3.]
类型2　指数型函数的定义域和值域
【例2】　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝－|x|；(3)y＝.
[解]　(1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4，
∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．
∵≠0，∴2≠1，
∴y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1，
∴此函数的值域为[1，＋∞)．
(3)由题意知1－x≥0，
∴x≤1＝0，
∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．
∵x≥0，∴x≤1.
又∵x>0，∴0∴0≤1－x<1，
∴0≤y<1，
∴此函数的值域为[0,1)．
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
2．函数f(x)＝＋的定义域是________．
[2,4)∪(4，＋∞)　[依题意有解得x∈[2,4)∪(4，＋∞)．]
3．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是________．
(1，＋∞)　[∵ax－a≥0，
∴ax≥a，
∴当a>1时，x≥1.
故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.]
4．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
[解]　①当00，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，
所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或a＝.
类型3　指数型函数图象
【例3】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0(2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．
(1)D　(2){m|m≥1，或m＝0}　[(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.
(2)画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．
若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0，
即实数m的取值范围是{m|m≥1，或m＝0}．]
处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
4．函数f(x)＝的大致图象为(　　)
　 A　　　　B　　 　 C 　　 　D
A　[要使函数有意义，则2x－2－x≠0，即x≠0，故其定义域为{x|x≠0}．
由于所有选项中的图象都具有奇偶性，因此考虑其奇偶性：f(－x)＝＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
再考虑单调性：f(x)＝＝＝1＋，当x>0时，f(x)为减函数，故符合条件的函数图象只有A.]
5．(多选)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)
　 A　　 　　B　　　 　C　　　　D
CD　[当a>1时，∈(0,1)，因此x＝0时，0当01，
因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上是减函数，故D符合．故选CD.]
指数函数图象变换问题探究
为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f(x)＝2x为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：
(1)y＝f(x－1)；(2)y＝f(|x|)＋1；(3)y＝－f(x)；(4)y＝|f(x)－1|.
[问题探究]
1．请分别写出这4组函数的解析式．
[提示]　(1)y＝f(x－1)＝2x－1；
(2)y＝f(|x|)＋1＝2|x|＋1；
(3)y＝－f(x)＝－2x；
(4)y＝|f(x)－1|＝|2x－1|.
2．若给出函数f(x)＝4x的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程．
[提示]　能．(1)将函数y＝f(x)＝4x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＝4x－1的图象．
(2)保留函数y＝f(x)＝4x在y轴右侧的图象，并对称至y轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y＝f(|x|)＋1＝4|x|＋1的图象．
(3)函数y＝－f(x)＝－4x与y＝f(x)＝4x的图象关于x轴对称．
(4)将函数y＝f(x)＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x)－1＝4x－1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数|f(x)－1|＝|4x－1|的图象.
1．下列函数中，指数函数的个数为(　　)
①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；
③y＝1x；④y＝2x－1.
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
B　[由指数函数的定义可判定，只有②正确．]
2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
C　[依题意得：2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，故选C.]
3．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
C　[函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，故可排除选项ABD.]
4．函数f(x)＝2x－3(1　[因为15．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．
7　[由已知得解得
所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.]
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8(共30张PPT)
§3　指数函数
3.1　指数函数的概念
3.2　指数函数的图象和性质
第2课时　指数函数及其性质的应用
第三章　指数运算与指数函数
合作探究·释疑难
NO.1
类型1　指数式的大小比较
类型2　解含指数型不等式
类型3　指数型函数性质的应用
当堂达标·夯基础
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4第2课时　指数函数及其性质的应用
类型1　指数式的大小比较
【例1】　(链接教材第86页例3)比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)与；
(3)1.50.3和0.81.2.
[解]　(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2.
(2)指数函数y＝x与y＝x的图象(如图)，由图知>.
(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，
而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.
比较指数式大小的3种类型及处理方法
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1,1.250.2；
(2)1.70.3,0.93.1；
(3)a0.5与a0.6(a>0，且a≠1)．
[解]　(1)∵0<0.8<1，
∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2<－0.1，
∴0.8－0.2>0.8－0.1，
而0.8－0.2＝－0.2＝1.250.2，
即0.8－0.1<1.250.2.
(2)∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，
∴1.70.3>0.93.1.
(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．
当0∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6.
当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数．
∵0.5<0.6，∴a0.5综上所述，当0a0.6；当a>1时，a0.5类型2　解含指数型不等式
【例2】　求解下列不等式：
(1)已知3x≥－0.5，求实数x的取值范围；
(2)若a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
[解]　(1)因为－0.5＝30.5，所以由3x≥－0.5可得3x≥30.5，因为y＝3x在R上为增函数，故x≥0.5.
(2)①当0ax＋7可得－5x－.
②当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数，则由a－5x>ax＋7可得－5x>x＋7，解得x<－.
综上，当0－；当a>1时，x<－.
指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，f(x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝x
(a>0，且a≠1)等．
2．不等式x2－2≤2x的解集为________．
{x|x≥1，或x≤－2}　[∵x2－2＝(2－1)x2－2＝22－x2，
∴原不等式等价于22－x2≤2x.
∵y＝2x是R上的增函数，
∴2－x2≤x，
∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1，
∴原不等式的解集是{x|x≥1，或x≤－2}．]
类型3　指数型函数性质的应用
　指数型函数的单调性问题
【例3】　求函数y＝x2－2x＋3的单调区间．
[解]　令t＝x2－2x＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，且y＝t为减函数，故函数y＝x2－2x＋3的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．
　指数型函数的奇偶性问题
【例4】　若函数y＝a－为奇函数．
(1)确定a的值；
(2)求函数的定义域．
[解]　(1)由奇函数的定义，可得
f(－x)＋f(x)＝0，即a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0.
∴a＝－.
(2)∵y＝－－，
∴2x－1≠0，即x≠0，
∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．
　指数型函数性质的综合问题
【例5】　已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；
(2)求f(x)的值域．
[解]　(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．
∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－.
又f(0)＝0.故当x∈(－1,1)时，f(x)的解析式为f(x)＝
(2)f(x)＝，x∈(0,1)为减函数，证明如下：
任取x1，x2∈(0,1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵0∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0,1)上是减函数．
由奇函数的对称性知f(x)在(－1,0)上也是减函数．
∴当0即f(x)∈；
当－1f(x)∈，
即f(x)∈.
而f(0)＝0，故函数f(x)在(－1,1)上的值域为∪{0}∪.
1．对于形如f(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性来处理．
2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．
3．已知函数f(x)＝2x－x2，求f(x)的值域与单调区间．
[解]　令u＝2x－x2，则u＝－(x－1)2＋1≤1，定义域为R，故u在(－∞，1)上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，又y＝u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y＝2x－x2在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，所以2x－x2≥1＝，故函数y＝2x－x2的值域为，单调增区间为[1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．
4．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间．
[解]　函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞)．
y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞)．
当t≥1时，2x≥1，x≥0；
当0∵y＝(t－1)2＋4在[1，＋∞)上递增，t＝2x在[0，＋∞)上递增，
∴函数y＝4x－2×2x＋5的单调增区间为[0，＋∞)．
同理可得单调减区间为(－∞，0].
1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是
(　　)
A． B．
C． D．
B　[由已知，得0<1－2a<1，解得02．下列判断正确的是(　　)
A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83
C．π2<π D．0.90.3>0.90.5
D　[∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3，
∴0.90.3>0.90.5.]
3．若f(x)＝3x＋1，则(　　)
A．f(x)在[－1,1]上为减函数
B．y＝3x＋1与y＝x＋1的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象过点(0,1)
D．f(x)的值域为[1，＋∞)
B　[f(x)＝3x＋1在R上为增函数，则A错误；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0,2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选B.]
4．函数y＝1－x的单调增区间为________．
(－∞，＋∞)　[由已知得，f(x)的定义域为R.
设u＝1－x，则y＝u.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝1－x在(－∞，＋∞)上为增函数，所以函数y＝1－x的单调增区间为(－∞，＋∞)．]
5．不等式52x2>5x＋1的解集是________．
　[由52x2>5x＋1得2x2>x＋1，
解得x<－或x>1.]
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