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2021-2022学年人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》知识点分类练习题（附答案）
一．平方差公式
1．（3+1）×（32+1）×（34+1）×……×（332+1）+的值为　 　．
2．已知a2﹣4b2＝12，且a﹣2b＝﹣3，则a+b＝　 　．
3．计算：9992﹣1002×998+1＝　 　．
4．已知：a﹣b＝1，a2﹣b2＝﹣1，那么3a2008﹣5b2008＝　 　．
5．（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2＝　 　．
6．计算
（1）；
（2）（xm﹣yn）（xm+yn）；
（3）；
（4）（x+y+z）2．
7．简便计算：
（1）20232﹣2024×2022；
（2）2982；
（3）；
（4）99.82．
8．（3x﹣2y）2﹣（3x+2y）2
9．计算：（2a﹣b+c）（b﹣2a﹣c）
二．平方差公式的几何背景
10．如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义．
三．完全平方公式
11．若关于x的多项式x2+ax+9是完全平方式，则a＝　 　．
12．关于x的二次多项式x2+6x+m恰好是另一个多项式的平方，则常数项m＝　 　．
13．a2x2﹣4x+b2是一个完全平方式，则ab＝　 　．
14．若a+b＝，a﹣b＝，则ab＝　 　．
15．已知（a+b）2＝9，ab＝﹣，则a2+b2的值等于　 　．
16．若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，则（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（　　）
A．﹣1006 B．﹣1007 C．﹣1008 D．﹣1009
17．化简（x+y+z）2﹣（﹣x+y+z）2+（x﹣y+z）2﹣（x+y﹣z）2的结果是（　　）
A．4yz B．8xy C．4xy﹣4yz D．8xz
18．已知x满足（x﹣2014）2+（2016﹣x）2＝8，则（x﹣2015）2的值是　 　．
19．若a+2b+3c＝12，且a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则a+b2+c3＝　 　．
20．若（a+b）2＝16，a2﹣b2＝12，则ab＝　 　．
21．若xy＝1，x﹣y＝﹣4，则x2+3xy+y2＝　 　．
22．已知（a﹣2b）2＝9，（a+2b）2＝25，则a2+4b2＝　 　．
23．设（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A＝　 　．
24．已知：a+2b＝5，2b﹣c＝7，则代数式a2+2ac+c2的值是　 　．
25．（　 　﹣b2）2＝　 　﹣a3b2+　 　．
26．已知a+b+c＝m，a2+b2+c2＝n，则ab+bc+ca＝　 　．
27．若a＝1990，b＝1991，c＝1992，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝　 　．
28．x2+y2＝（x+y）2+P＝（x﹣y）2+Q，则P＝　 　，Q＝　 　．
四．完全平方公式的几何背景
29．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝12，则阴影部分的面积为　 　．
30．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的边长之和为　 　．
31．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．则图中阴影部分的面积为　 　．
32．三个圆的位置如图所示，其中m、n分别是两个较小圆的直径，则图中阴影部分的面积为　 　．
33．如图正方形的面积可以用两种方法得出：即c2或（b﹣a）2+4×，由此可推出a2+b2＝c2，若直角三角形中两直角边的和a+b＝4，斜边c长为3，利用该等式来计算直角三角形的面积是　 　．
参考答案
一．平方差公式
1．解：原式＝（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×……×（332+1）+
＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×……×（332+1）+
＝（34﹣1）×（34+1）×……×（332+1）+
＝（38﹣1）×……×（332+1）+
＝（364﹣1）+
＝﹣+
＝．
2．解：∵a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝12，a﹣2b＝﹣3，
∴﹣3（a+2b）＝12，
a+2b＝﹣4，
联立a﹣2b＝﹣3，
可得2a＝﹣7，解得a＝﹣3.5，
把a＝﹣3.5代入a+2b＝﹣4得﹣3.5+2b＝﹣4，解得b＝﹣0.25，
则a+b＝﹣3.5﹣0.25＝﹣3.75．
故答案为：﹣3.75．
3．解：原式＝（1000﹣1）2﹣（1000﹣2）×（1000+2）+1，
＝10002﹣2000+1﹣10002+4+1，
＝﹣1994
故答案是：﹣1994．．
4．解：∵a﹣b＝1，a2﹣b2＝﹣1，
∴（a+b）（a﹣b）＝﹣1，
∴a+b＝﹣1，
∵a﹣b＝1，
解得：a＝0，b＝﹣1，
∴3a2008﹣5b2008＝3×0﹣5×1＝﹣5，
故答案为：﹣5．
5．解：（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2，
＝（3x+2y+3x﹣2y）（3x+2y﹣3x+2y），
＝6x 4y，
＝24xy；
故填24xy．
6．解：（1）原式＝（﹣2x2）2﹣（）2＝4x4﹣；
（2）原式＝（xm）2﹣（yn）2＝x2m﹣y2n；
（3）原式＝[（a+b）（a﹣b）]2，
＝（a2﹣b2）2，
＝；
（4）（x+y+z）2，
＝（x+y）2+2（x+y）z+z2，
＝x2+2xy+y2+2yz+2xz+z2，
＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz．
7．解：（1）原式＝20232﹣（2023+1）（2023﹣1）
＝20232﹣（20232﹣1）
＝1；
（2）原式＝2982﹣22+4＝（298+2）（298﹣2）+4
＝300×296+4
＝88800+4
＝88804；
（3）原式＝（10﹣）（10+）
＝102﹣（）2
＝100﹣
＝；
（4）原式＝（100﹣0.2）2
＝1002﹣2×100×0.4+0.22＝10000﹣40+0.04
＝9960.04．
8．解：（3x﹣2y）2﹣（3x+2y）2，
＝[（3x﹣2y）+（3x+2y）][（3x﹣2y）﹣（3x+2y）]，
＝（3x﹣2y+3x+2y）（3x﹣2y﹣3x﹣2y），
＝6x （﹣4y）＝﹣24xy．
9．解：（2a﹣b+c）（b﹣2a﹣c）＝﹣[（2a+c）﹣b][（2a+c）+b]＝﹣（2a+c）2+b2＝﹣4a2﹣4ac﹣c2+b2．
二．平方差公式的几何背景
10．解：∵第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
即可以验证平方差公式的几何意义．
三．完全平方公式
11．解：∵关于x的多项式x2+ax+9是完全平方式，
∴a＝±6，
故答案为：±6
12．解：∵二次多项式x2+6x+m恰好是另一个多项式的平方，
∴m＝9．
故答案为：9
13．解：中间一项为加上或减去ax和b积的2倍，
故±2ab＝﹣4，
ab＝±2
故填±2．
14．解：方法1：∵a+b＝，a﹣b＝，
∴（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，
∴a2+2ab+b2＝7，a2﹣2ab+b2＝3，
4ab＝4，
ab＝1；
方法2：将a+b＝，a﹣b＝两式相加得：2a＝+，即a＝，
将a＝5代入a﹣b＝中，得：﹣b＝，即b＝，
则ab＝＝1．
故答案为：1．
15．解：当（a+b）2＝9，ab＝﹣时，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝9﹣2×（﹣）
＝12，
故答案为：12．
16．解：设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝a2+b2＝2019，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2020）＝1，
所以，（2021﹣x）（x﹣2020）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（12﹣2019）＝﹣1009；
故选：D．
17．解：（x+y+z）2﹣（﹣x+y+z）2+（x﹣y+z）2﹣（x+y﹣z）2
＝（x+y+z﹣x+y+z）（x+y+z+x﹣y﹣z）+（x﹣y+z+x+y﹣z）（x﹣y+z﹣x﹣y+z）
＝2（y+z）×2x+2x×2（z﹣y）
＝4xy+4xz+4xz﹣4xy
＝8xz，
故选：D．
18．解：方程（x﹣2014）2+（2016﹣x）2＝8可变形为：
[（x﹣2015）+1]2+[（x﹣2015﹣1）]2＝8
设x﹣2015＝y
则原方程可转化为：（y+1）2+（y﹣1）2＝8
∴y2+2y+1+y2﹣2y+1＝8
即2y2＝6
∴y2＝3
即（x﹣2015）2＝3．
故答案为：3．
19．解：∵a2+b2+c2＝ab+bc+ca，
∴2（a2+b2+c2）＝2（ab+bc+ca），
即2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝0，
整理，得（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ca+c2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，
即：（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b＝c，
又∵a+2b+3c＝12，
∴a＝b＝c＝2．
∴a+b2+c3＝2+4+8＝14．
20．解：a2﹣b2＝12，
（a+b）2（a﹣b）2＝144，
将（a+b）2＝16代入得（a﹣b）2＝9，
（a+b）2＝16与（a﹣b）2＝9左右分别相减得4ab＝7，
解得ab＝．
故答案为：．
21．解：∵xy＝1，x﹣y＝﹣4，
∴x2+3xy+y2＝（x﹣y）2+5xy＝（﹣4）2+5×1＝16+5＝21．
故答案是：21．
22．解：∵（a﹣2b）2＝9，（a+2b）2＝25，
相加得到a2+4ab+4b2+a2﹣4ab+4b2＝34，即2a2+8b2＝34，
∴a2+4b2＝17．
故答案为：17．
23．解：∵（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，
∴25a2+9b2+30ab＝25a2+9b2﹣30ab+A，
∴A＝60ab．
故答案为：60ab．
24．解：∵a+2b＝5，2b﹣c＝7，
∴a+c＝5﹣7＝﹣2，
∴a2+2ac+c2，
＝（a+c）2，
＝（﹣2）2，
＝4．
25．解：（a3﹣b2）2＝a6﹣a3b2+b4．
26．解：∵a+b+c＝m，a2+b2+c2＝n，
∴（a+b+c）2＝m2，
即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝m2，
∴ab+ac+ab＝[m2﹣（a2+b2+c2）]＝（m2﹣n）．
27．解：因为a＝1990，b＝1991，c＝1992，所以
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
＝[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣2ca+a2）]，
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，
＝[（1990﹣1991）2+（1991﹣1992）2+（1992﹣1990）2]，
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+（+2）2]，
＝3．
28．解：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x﹣y）2+2xy，故答案为﹣2xy、2xy．
四．完全平方公式的几何背景
29．解：阴影部分的面积为：
S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BFG
＝
＝
＝
＝
＝．
∵a+b＝18，ab＝12，
∴阴影部分的面积为：＝144．
∴阴影部分的面积为 144．
故答案为：144．
30．解：设正方形A，B的边长分别为a，b．
由题意
由②得到ab＝6，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，
∵a+b＞0，
∴a+b＝5，
故答案为5．
31．解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝，
∴S阴影＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM
＝a2+b2﹣a×﹣b×
＝a2+b2﹣（a+b）2
＝（a+b）2﹣2ab﹣（a+b）2
＝100﹣40﹣25
＝35，
故答案为：35．
32．解：由题意，得
π（）2﹣π（）2﹣π（）2
＝mnπ，
故答案为：mnπ．
33．解：∵a2+b2＝c2，
∴（a+b）2﹣2ab＝c2，
又∵a+b＝4，斜边c长为3，
∴42﹣2ab＝32，
∴ab＝，
∴直角三角形的面积为ab＝，
故答案为：．

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