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北师版九年级下册 二次函数
§2.4.2 二次函数的应用
——利润最大问题
2.掌握无条件利润最值、有条件利润最值的解题方法；
3.注重“数形结合”思想在解决一些实际问题中的应用.
1.通过对销售利润问题的探究和学习，进一步培养学生的数学建模能力；
二次函数最值计算模型：
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,若自变量x取任意实数，则：
温故知新
某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
温故知新
A
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查、以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000 件、并表示单价每降价0.1元，愿意多经销 500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多
每件批发单价x元，则每星期售出商品的利润y元，
典例精析一
降价前：
10元
x
1、每件T恤衫成本 ; 批发价 ；
销售量 ; 利润 ；
降价后：
2、每件T恤衫成本 ; 批发价 ；
销售量 ；利润 ；
13元
5000件
10元
y元
无条件利润最值问题
15000元
解：设厂家批发单价是x元，获得的利润是5000元。由题意，得
整理，得y=-5 000（x-14）（x-10）
=-5 000x2+120000x-700000.
∵a=-5 000<0,
因此，厂家批发单价是12元时可以获利最多.
降价销售问题
典例精析一
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160 元时、每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加 1元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高
例2
典例精析二
每件客房日租金提高10x元，则日租金的总收入为y元，
涨价前：
1、每间客房日租金 ; 出租量 ;
总收入 ；
涨价后：
2、每间客房日租金 ; 出租量 ;
总收入 ；
160元
120间
(160+10x)元
y元
无条件利润最值问题
19200元
解：每件客房日租金提高到x元，则日租金的总收入为y元。由题意，得
整理，得y=-60x2+240x+19200.
∵a=-60<0,
典例精析二
涨价销售问题
y=（160+10x）（120-6x）
日租金提高到180元，总收入可以达到最多.
160+2×10=180元
某果园有100棵橙子树，半均每棵树结600个橙子、现准备多种一些橙子树以提高果园产量、但是如果多种树，那么树之间的距离和每 棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.若
假设果园增种x棵橙子树，橙子总产量为y个.
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系.
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400以上？
解：依题意可得：y= -5x2+100x+60000
典例精析三
以“形 数”巧解实际问题
xxyxy） 1 5 6 10 14 15 19
y（个） 60095 60375 60420 60500 60420 60375 60420
x（棵）
1、列表
2、描点； 3、连线
二次函数 y= -5x2+100x+60000
（3）由表格和图象观察可知：当6≤x≤14 时，可以使橙子总产量超过60400个.
通过绘制图形可以直观看到，果园的树木棵数并不是越多越好，产量的多少取决于科学的计算果树的棵数．
反思：
针对上述问题的思考，我们可以发现在解决一些二次函数的实际问题时，绘制出图形对于问题的解决至关重要。所以，大家再利用二次函数的知识解决实际问题时，要注意“数形结合”思想的运用。
拓展精讲
（湖北武汉市）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；
解：（1）y=30－2x(6≤x＜15)
以“形 数”巧解实际问题
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．
（2）设矩形苗圃园的面积为S，则S=xy=x(30－2x)=－2x2＋30x
∵a=-2＜0
(3)对于y=-2x2+30x,
令y=88,则-2x2+30x=88
解得：x1=4 x2=11
观察图形可知：4≤x≤11
又∵6≤x＜15
∴6≤x≤11
草图
某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
跟踪练习
解：（1）y=-x+120；
（2）W=-x2+180x-7200；
由题意可得：60≤x≤87
∵a=-1＜0，∴当x＜90时，y随x的增大而增大.
∴当x=87时，W最大=891元.
答：销售单价定为87元时，商场可获得利润是891元
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．
(3) 对于y=-x2+180x-7200,
令y=500,则-x2+180x-7200=500
解得：x1=70 x2=110
由图可知，当70≤x≤110时，利润不低于500元.
小结一： 构造利润函数——根据题意建立利润相关变量的函数模型
1、设自变量并确定实际范围；
2、构造二次函数模型；
3、绘制符合实际的二次函数的图象，通过对称轴左右两侧图象的增减性确定利润不低于某个值时，自变量的范围.
我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价－成本）
拓展精讲
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0），
把x=22，y=780和x=25，y=750代入y=kx+b，
∴函数关系式为y=-10x+1000
有条件利润最值问题
（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价－成本）
（2）设该工艺品每天获得的利润为w元，
则
,∵a=-10，∴当x＜60时，y随着x的增大而增大.
又∵20≤x≤30，∴ 当x=30时，W最大，最大为7000元.
特别注意：本题属于有条件的利润最值问题，在确定了对称轴的位置以后，一定要结合自变量的实际范围和函数的增减性来确定最大值.
（山东青岛10分）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1)写出销售量 y件与销售单价x元之间的函数关系式；
(2)写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；
(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
跟踪练习
解：(1)由题意，得：y=200+20(80-x)=-20x+1800，
∴销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为：y＝－20x＋1800。
(2)写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；
(2) 由题意，得：w＝(x－60)(－20x＋1800）＝－20x2＋3000 x－108000，
∴利润w元与销售单价x元之间的函数关系式为：w＝－20x2＋3000 x－108000。
(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
(3) 由题意，得：
解得76≤x≤78.
对于w＝－20x2＋3000 x－108000，对称轴为x＝
∴当76≤x≤78时w随x增大而减小。
∴当x＝76时，w最大＝(76－60)(－20×76＋1800)＝4480(元)
特别注意：本题属于有条件的利润最值问题，在确定了对称轴的位置以后，一定要结合自变量的实际范围和函数的增减性来确定最大值.
1.某旅行杜组团去外地旅游。30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给子优意，即旅游团每增加一人，每人的单价就降低10元.你能帮忙算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额
课堂练习
答案：当一个旅行团人数是55人时，可以获得最大营业额.
2. 某商店购进--批单价为8元的商品，如果按每件10元出售、那么每天可销售100件，经调查发现这种商品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少10件.将销售价定为多少，才能位每天所获销售利润最大 最大利润是多少
课堂练习
答案：当销售定价为14元时，可以获得最大利润360元.
3、某商店购进一批单价为20元的日用商品．如果以单价50元销售，那么半月内可合出400件。根据销售经验.提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大
课堂练习
答案：当销售定价为35元时，在半月内可以获得最大利润4500元.
无（有）条件的利润最大问题：
一、依据 构建函数关系；
二、在确定最大利润时，要重点关注“自变量”的实际范围，采取
（1）直接运用“最值计算模型”简单解决；
（2）先确定对称轴的位置，而后根据函数y与x之间的增减性解决；
三、在具体解决问题时，要充分利用“函数图象”来“化繁为简”.
课堂小结
总利润=单件利润×销售量或
总利润=总售价-总成本.

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