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(共21张PPT)
北师版九年级下册 圆
§3.4.1 圆周角与圆心角的关系
1、理解圆周角的概念．
2、掌握圆周角的两个特征、定理和推论一的内容及简单应用．
3、继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力．
4、渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．
情境导入
足球射门小常识：
在左边比较好射门，因为用右脚踢，力道大，也很准，
在右面比较难射门，力道小.
不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好.
在射门游戏中（如图 3-14）、球员射口球门的难易程度与他所处的位置B
对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B、D、E处射门时、他所处的
位置对球门AC分别形成三个张角 ∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小
有什么关系
情境导入
新知讲解
分析： 通过观察图形。我们可以猜想出来 ∠AEC=∠ABC=∠ADC.
可为什么它们能相等？它们又叫什么角？
之前我们学习过圆心角，它有什么特征？
新知讲解
o
A
B
顶点在圆心的角叫圆心角。
o
A
B
C
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
C
C
C
C
C
C
C
C
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
跟踪练习
圆周角.GSP
如图，观察变动点D在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律吗？
再分别量出图中弧AB所对的圆心角的度数，比较一下两个角的度数大小关系，你什么发现？
新知讲解
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
同弧所对圆周角与圆心角的关系
合作探究
将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角
折痕是圆周角的一条边，
折痕在圆周角的内部
折痕在圆周角的外部
（1）在圆周角的一条边上；
即
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠C．
又∠BOA=∠OBC+∠C
∴∠BOA=2∠C
（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有
（3）在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
圆周角定理
新知讲解
·
A
B
C
D
E
O
如图：
1、如图：在圆O中，∠O=50°，则∠A= .
2、如图：那个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？
跟踪练习
25°
∠ADC。略
如图：OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
典例精讲
A
O
B
C
∠AOB=2∠BOC
∠ACB=2∠BAC
解：∠ACB=2∠BAC
∠BAC= ∠BOC
∠ACB= ∠AOB
如图（1），在足球比赛中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置的射门角度的大小有关．如果在一次比赛中，小华和小勇分别处在图（2）中的A，B两点，球门的位置在线段CD，如果球在小华的脚下，此时他应该选择传给小勇还是自己射门较好？（通过尺规作图说明原因）
分析：结合图形，可以作出过点A，C，D三点的圆，则此时点B在圆外．根据三角形的外角的性质可以证明∠CAD＞∠CBD．
解：设BC与圆的交点是E，则∠CAD=∠CED＞∠DBE，所以还是自己射门较好．
典例精讲
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁,如图,A
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图A,B表示灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,∠ACB就是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁.弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时,
船位于哪个区域 为什么
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时,
船位于哪个区域 为什么
典例精讲
解：（1）当船与两个灯塔的夹角α大于“危险角”时，船位于⊙O内，
如图（1），延长AP交⊙O于点F，连接BF，
∵∠C=∠F，∠APB＞∠F，
∴∠APB＞∠C，即α＞∠C，
∴当船与两个灯塔的夹角α大于“危险角”时，船位于⊙O内；
（2）当船与两个灯塔的夹角α小于“危险角”时，船位于⊙O外．
如图（2），连接BE，
∵∠AEB=∠C，∠AEB＞∠P，
∴∠C＞∠P，即α＜∠C，
∴当船与两个灯塔的夹角α小于“危险角”时，船位于⊙O外．
,则 。
1、 如图，点A，B，C，D在⊙O上， ， ，
2．(2020·淮安)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是( )
A．54° B．27° C．36° D．108°
C
70°
课堂练习
3．(2019·河南一模)如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正切值是 ．
4．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( )
A．12.5° B．15°
C．20° D．22.5°
B
课堂练习
(1)一个概念（圆周角）
课堂小结
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；
(3)一个推论：
同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。

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