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考点突破二十　导数与零点的综合问题
【考点一】利用导数研究函数的零点(方程的根)　
【典例1】(12分)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有且只有一个零点．
①＜a≤，b＞2a；　　②0＜a＜，b≤2a.
【变式训练】设函数f(x)＝e2x－a ln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln .
【考点二】根据函数零点存在情况求参数取值范围
【典例2】(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2).
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
【变式训练】已知函数f(x)＝ex(ln x－ax＋a＋b)(e为自然对数的底数)，a，b∈R，直线y＝x是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线．
(1)求a，b的值．
(2)是否存在k∈Z，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【考点三】利用导数求解最优化问题
【典例3】某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为(－t2＋7t)百万元．
(1)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？
(2)现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x(1≤x≤5)百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大．
(注：收益＝销售额－投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入)
【变式训练】某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y(万只)与时间x(年)(其中x∈N*)的关系为y＝2ex.为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值M＝(其中a为常数，且a>0)来进行生态环境分析．
(1)当a＝1时，求比值M取最小值时x的值；
(2)经过调查，环保部门发现：当比值M不超过e4时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)
参考答案
【考点一】利用导数研究函数的零点(方程的根)　
【典例1】(12分)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有且只有一个零点．
①＜a≤，b＞2a；　　②0＜a＜，b≤2a.
【规范解答】(1)由函数的解析式可得：
f′(x)＝x(ex－2a).
当a≤0时，若x∈(－∞，0)，
则f′(x)＜0，f(x)单调递减，
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当0＜a＜时，若x∈，
则f′(x)＞0，f(x)单调递增，
若x∈，则f′(x)＜0，f(x)单调递减，
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当a＝时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
当a＞时，若x∈，则f′(x)＞0，f(x)单调递增，
若x∈，则f′(x)＜0，f(x)单调递减，
若x∈，则f′(x)＞0，f(x)单调递增．
(2)若选择条件①：由于＜a≤，
故1<2a≤e2，
则b＞2a＞1，f(0)＝b－1＞0，
由(1)可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增．
(0，ln (2a))上单调递减，(ln (2a)，＋∞)上单调递增，而f＝e－＜0，
所以f(x)在上有一个零点．
f(ln (2a))＝2a[ln (2a)－1]－a[ln (2a)]2＋b
＞2a[ln (2a)－1]－a[ln (2a)]2＋2a
＝2a ln (2a)－a[ln (2a)]2
＝a ln (2a)[2－ln (2a)]，
由于1＜2a≤e2，故a ln (2a)[2－ln (2a)]≥0，
结合函数的单调性可知，函数在区间(0，＋∞)上没有零点．综上可得，题中的结论成立．
若选择条件②：由于0＜a＜，故0＜2a＜1，
则f(0)＝b－1≤2a－1＜0.
当b≥0时，e2＞4，4a＜2，f(2)＝e2－4a＋b＞0，而函数在区间(0，＋∞)上单调递增，
故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点；当b＜0时，构造函数H(x)＝ex－x－1，
则H′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，H′(x)＜0，H(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，H′(x)＞0，H(x)单调递增，
注意到H(0)＝0，故H(x)≥0恒成立，
从而有ex≥x＋1，
此时，f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b≥(x－1)(x＋1)－ax2＋b＝(1－a)x2＋(b－1)，
当x＞时，(1－a)x2＋(b－1)＞0，
取x0＝＋1，则f(x0)＞0，
即f(0)＜0，f＞0，
而函数在区间(0，＋∞)上单调递增，
故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点． f＝2a[ln (2a)－1]－a[ln (2a)]2＋b
≤2a[ln (2a)－1]－a[ln (2a)]2＋2a
＝2a ln (2a)－a[ln (2a)]2＝a ln (2a)[2－ln (2a)]，
由于0＜2a＜1，
故a ln (2a)[2－ln (2a)]＜0，
结合函数的单调性可知，函数在区间(－∞，0)上没有零点．综上可得，题中的结论成立．
【变式训练】设函数f(x)＝e2x－a ln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln .
【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－(x＞0).
当a≤0时，f′(x)＞0，f′(x)没有零点．
当a＞0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，
因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(a)＞0，当b满足0＜b＜且b＜时，f′(b)＜0(讨论a≥1或a＜1来检验)，
①当a≥1时，则0②当0f′(b)＝2e2b－<－4<0.
故当a＞0时，f′(x)存在唯一零点．
(2)由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).
由于2e2x0－＝0，
所以f(x0)＝＋2ax0＋a ln ≥2a＋a ln .
当且仅当x0＝时取等号．
故当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln .
【考点二】根据函数零点存在情况求参数取值范围
【典例2】(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2).
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，
则f′(x)＝ex－1.
当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)若f(x)有两个零点，即ex－a(x＋2)＝0有两个解，从方程可知x＝－2不成立，故化为a＝有两个解．
令h(x)＝(x≠－2)，则有h′(x)＝，
由h′(x)>0，解得x>－1，
由h′(x)<0，解得x<－2或－2所以函数h(x)在(－∞，－2)和(－2，－1)上单调递减，
在(－1，＋∞)上单调递增且当x<－2时，h(x)<0，
而当x>－2且x→－2时，h(x)→＋∞，
当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以当a＝有两个解时，有a>h(－1)＝.
所以f(x)有两个零点时，a的取值范围是.
【变式训练】已知函数f(x)＝ex(ln x－ax＋a＋b)(e为自然对数的底数)，a，b∈R，直线y＝x是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线．
(1)求a，b的值．
(2)是否存在k∈Z，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)f′(x)＝ex，f(x)的定义域为(0，＋∞).
由已知，得即
解得a＝1，b＝.
(2)由(1)知，f(x)＝ex，
则f′(x)＝ex，
令g(x)＝ln x－x＋＋，
则g′(x)＝－<0恒成立，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又g(1)＝>0，g(2)＝ln 2－1<0，
所以存在唯一的x0∈(1，2)，使得g(x0)＝0，且当x∈(0，x0)时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(x0，＋∞)时，g(x)<0，即f′(x)<0.
所以f(x)在(0, x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．
又当x→0时，f(x)<0，f(1)＝>0，
f(2)＝e2>0，f(3)＝e3<0，
所以存在k＝0或2，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点．
【考点三】利用导数求解最优化问题
【典例3】某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为(－t2＋7t)百万元．
(1)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？
(2)现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x(1≤x≤5)百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大．
(注：收益＝销售额－投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入)
【解析】(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，
则f＝－t＝－t2＋6t＝－2＋9，
所以当t＝3时，f(t)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大．
(2)用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(5－x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元．则g(x)＝x2＋4ln x＋
－5＝－x2＋3x＋4ln x＋5.
g′(x)＝－x＋3＋＝－＝－，1≤x≤5.
则当1≤x<4时，g′(x)>0；当4即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大．
【变式训练】某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y(万只)与时间x(年)(其中x∈N*)的关系为y＝2ex.为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值M＝(其中a为常数，且a>0)来进行生态环境分析．
(1)当a＝1时，求比值M取最小值时x的值；
(2)经过调查，环保部门发现：当比值M不超过e4时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)
【解析】(1)当a＝1时，M＝(x≥1，x∈N*)，
所以M′＝
列表得：
x [1，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以M在上单调递减，在上单调递增，所以M在x＝2时取最小值．
(2)因为M′＝(a>0)，
根据(1)知：M在上单调递减，在上单调递增，因为确保恰好3年不需要进行保护，
所以解得答：实数a的取值范围为.

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