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重难突破微专题(一) 三角函数及解三角形与其他知识的交汇问题
一、解三角形(或三角函数)与数列问题的交汇
【典例1】在△ABC中，若，，依次成等差数列，则(　　)
A．a，b，c依次成等差数列
B．，，依次成等比数列
C．a2，b2，c2依次成等差数列
D．a2，b2，c2依次成等比数列
【变式训练】设an＝sin ，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)
A．25　　　B．50　　　C．75　　　D．100
二、三角函数与方程的交汇
【典例2】已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝cos x，如果关于x的方程f(x)＝a有解，记所有解的和为S，则S不可能为(　　)
A．π B．π C．π D．3π
【变式训练】设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．[1，2] C．(0，1] D．(1，2)
三、解三角形与不等式的交汇
【典例3】(2021·柳州联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2c cos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为(　　)
A．2＋　　B．2＋　　C．3　　D．3＋
【变式训练】(2021·合肥二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
四、解三角形与平面向量的交汇
【典例4】(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝(a，cos )，n＝(b，cos )，p＝(c，cos )共线，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形　　　　　 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
(2)若△ABC的面积为，·＝2，则△ABC外接圆面积的最小值为(　　)
A．π　　　B．　　　C．2π　　　D．
【变式训练】在△ABC中，＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．3
五、解三角形与平面几何交汇
【典例5】(2021·拉萨二模)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin ∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
【变式训练】(2021·大连二模)如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，则四边形ABCD的面积为________．
参考答案
一、解三角形(或三角函数)与数列问题的交汇
【典例1】在△ABC中，若，，依次成等差数列，则(　　)
A．a，b，c依次成等差数列
B．，，依次成等比数列
C．a2，b2，c2依次成等差数列
D．a2，b2，c2依次成等比数列
【思维通关】
关键点 正弦定理及余弦定理的应用
障碍点 应用正弦定理及余弦定理把三角形中的角关系转化为边关系
易错点 三角形中的三角恒等变换容易出错
【解析】选C.由，，依次成等差数列可得＋＝，
即＋＝，
＝
＝＝，
所以sin2 B＝2cos B sin A sin C.
由正弦定理和余弦定理可得b2＝2ac·，
即2b2＝a2＋c2，所以a2，b2，c2依次成等差数列．
解三角形与数列问题的交汇问题，要充分利用三角形中的边角关系及正、余弦定理解题；三角函数与数列问题的交汇问题，要结合三角函数的有界性和周期性给予解答．
　
设an＝sin ，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)
A．25　　　B．50　　　C．75　　　D．100
【解析】选D.当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an>0；当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值．故当1≤n≤100时，均有Sn>0.
二、三角函数与方程的交汇
【典例2】已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝cos x，如果关于x的方程f(x)＝a有解，记所有解的和为S，则S不可能为(　　)
A．π B．π C．π D．3π
【思维通关】
关键点 正确画出函数y＝f(x)在区间上的图象
障碍点 根据数形结合的思想将方程f(x)＝a有解转化为两个函数图象的交点问题
易错点 画函数y＝f(x)在区间上的图象出现错误
【解析】选A.依题意作出函数f(x)在区间上的简图，当直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有交点时，方程f(x)＝a有解，所以－1≤a≤0.
①当－＜a≤0时，f(x)＝a有2个解，此时S＝.
②当a＝－时，f(x)＝a有3个解，此时S＝＋＝.
③当－1＜a＜－时，f(x)＝a有4个解，此时S＝2×＝3π.
④当a＝－1时，f(x)＝a有2个解，此时S＝.
三角函数与方程的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质，利用数形结合思想求解．
　
设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．[1，2] C．(0，1] D．(1，2)
【解析】选A.画出函数f(x)在[0，2π]上的图象，如图所示：
若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即y＝f(x)和y＝m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，知0三、解三角形与不等式的交汇
【典例3】(2021·柳州联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2c cos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为(　　)
A．2＋　　B．2＋　　C．3　　D．3＋
【思维通关】
关键点 三角恒等变换、正弦定理的应用
障碍点 应用正弦定理把边关系化为角关系得tan A＝－3tan C，再由tan B＝－tan (A＋C)转化为关于tan C的式子，再利用基本不等式求解
易错点 不会利用cos A＝－<0判断tan C>0
【解析】选A.方法一：由题意可得，sin B＋2sin C cos A＝0，即sin (A＋C)＋
2sin C cos A＝0，
得sin A cos C＝－3sin C cos A，
即tan A＝－3tan C.
又cos A＝－<0，
所以A为钝角，于是tan C>0.
从而tan B＝－tan (A＋C)＝－＝＝，由基本不等式，得＋3tan C≥2＝2，当且仅当tan C＝时等号成立，此时角B取得最大值，且tan B＝tan C＝，tan A＝－，即b＝c，A＝120°，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周长为2＋.
方法二：由已知b＋2c cos A＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.
又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周长为2＋.
　解三角形与不等式的交汇问题，要充分利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的有关知识求解．
　
(2021·合肥二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
【解析】(1)已知＝，则由正弦定理可得＝，
即sin B cos A＝(2sin C－sin A)cos B，
即sin (A＋B)＝2sin C cos B，
即sin C＝2sin C cos B，
因为sin C≠0，所以cos B＝，
又0(2)由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即22＝a2＋c2－2ac cos ，
即4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，
当且仅当a＝c时，等号成立，ac≤＝4(2＋)，
所以△ABC的面积为S＝ac sin B
≤×4(2＋)×＝2＋.
所以△ABC的面积的最大值为2＋.
四、解三角形与平面向量的交汇
【典例4】(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝(a，cos )，n＝(b，cos )，p＝(c，cos )共线，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形　　　　　 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选A.因为向量m＝(a，cos )，
n＝(b，cos )共线，所以a cos ＝b cos .
由正弦定理得sin A cos ＝sin B cos .
所以2sin cos cos ＝2sin cos cos .
则sin ＝sin .
因为0<<，0<<，
所以＝，即A＝B.同理可得B＝C.
所以△ABC的形状为等边三角形．
(2)若△ABC的面积为，·＝2，则△ABC外接圆面积的最小值为(　　)
A．π　　　B．　　　C．2π　　　D．
【解析】选B.设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由题意可得bc sin A＝，bc cos A＝2，所以tan A＝.又A∈(0，π)，所以A＝.所以bc cos ＝2，即bc＝4.
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc≥bc＝4，即a≥2.
又由正弦定理得＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，所以2R sin A＝a≥2，即R≥2，所以R2≥，所以三角形外接圆面积的最小值为.
　平面向量的数量积运算涉及向量的模和夹角，其与三角形中的面积公式、余弦定理交汇，求解此类问题的关键是熟知其内在的联系，同时借助同角三角函数的关系这一媒介解题．
　
在△ABC中，＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．3
【解析】选B.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为＝3，
所以bc cos A＝a＝3.
又cos A＝≥1－＝1－，
所以cos A≥，所以0所以△ABC的面积S＝bc sin A＝tan A≤×＝，故△ABC面积的最大值为.
五、解三角形与平面几何交汇
【典例5】(2021·拉萨二模)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin ∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
【解析】(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，AB＝3k.又BD＝，∠DAB＝.
所以由余弦定理得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2k cos ，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin ∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos ∠DBC＝sin ∠ABD＝，所以sin ∠DBC＝，因为＝，所以CD＝＝.
求解与三角形相关的平面几何问题的策略
一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．
　
(2021·大连二模)如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，则四边形ABCD的面积为________．
【解析】如图所示，连接BD，因为ABCD为圆内接四边形，所以A＋C＝180°，则cos A＝－cos C，利用余弦定理得cos A＝，cos C＝，解得BD2＝，
所以cos C＝－.
由sin2C＋cos2C＝1，
得sin C＝，因为A＋C＝180°，
所以sin A＝sin C＝，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×5×6×＋×3×4×＝6.
答案：6

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