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3.1.2　用二分法求方程的近似解
一、基础过关
1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 011)<0，f(2 012)<0，f(2 013)>0，则下列叙述正确的是(　　)
A．函数f(x)在(2 011,2 012)内不存在零点
B．函数f(x)在(2 012,2 013)内不存在零点
C．函数f(x)在(2 012,2 013)内存在零点，并且仅有一个
D．函数f(x)在(2 011,2 012)内可能存在零点
4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
5．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1]　②[1,2]　③[2,3]　④[3,4]
⑤[4,5]　⑥[5,6]　⑦[6，＋∞)
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.123 15.542 －3.930 10.678 －50.667 －305.678
6．用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
7．用二分法求方程x3－x－1＝0在区间[1.0,1.5]内的实根．(精确到0.1)
8．已知函数f(x)＝x2＋x＋a (a<0)在区间(0,1)上有零点，求实数a的取值范围．
二、能力提升
9．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
10．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x y＝2x y＝x2 x y＝2x y＝x2
0.2 1.149 0.04 0.6 1.516 0.36
1.0 2.0 1.0 1.4 2.639 1.96
1.8 3.482 3.24 2.2 4.595 4.84
2.6 6.063 6.76 3.0 8.0 9.0
3.4 10.556 11.56 … … …
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内(　　)
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
11．函数f(x)的图象如下图所示，则该函数变号零点的个数是________．
12．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
答案
1．B　2.A 3．D　4．A
5．③④⑤
6．[2,2.5]
7．解　令f(x)＝x3－x－1，f(1.0)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0.
用二分法逐项计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(1.0,1.5) 1.25 －0.297
(1.25,1.5) 1.375 0.225
(1.25,1.375) 1.312 5 －0.052
(1.312 5,1.375) 1.343 75 0.083
∵区间[1.312 5,1.343 75]的左右端点精确到0.1时的近似值为1.3，
∴方程x3－x－1＝0在区间[1.0,1.5]内的实根的近似解为1.3.
8．解　由于函数f(x)的图象的对称轴是x＝－ (0,1)，所以区间(0,1)上的零点是变号零点，因此有f(0)f(1)<0，即a(2＋a)<0，所以－29．B　10．C　11．3
12．解　第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
13．证明　∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0，
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在[0,1]内选取二等分点，则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
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