资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
4.2.1.1等差数列的概念和通项公式
要点一　等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．
【重点概要】
(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．
(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关．
(3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．
注意公差是每一项与其前一项的差，且用an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N*.
要点二　等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是________．
【重点概要】
在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项．
反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N*均成立，则数列{an}是等差数列．
因此，数列{an}是等差数列 2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．
要点三　等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝
【重点总结】
从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　)
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　)
(4)一个无穷等差数列{an}中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．(　　)
【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×
2．(多选题)下列数列是等差数列的有(　　)
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2
【答案】ABC
3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　)
A．2 B．3
C．－2 D．－3
【答案】C
【解析】由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.故选C.
4．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．
【答案】60°
【解析】因为三内角A、B、C成等差数列，
所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，所以B＝60°.
题型一　等差数列的通项公式
探究1　基本量的计算
【例1】(1)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，则an＝________.
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________.
【答案】(1)2n　(2)－
【解析】(1)由题意得，∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)法一：(方程组法)由得解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.
法二：(利用am＝an＋(m－n)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－，
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
探究2　判断数列中的项
【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
【解析】∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15，
∴100是这个数列的第15项．
探究3　等差数列中的数学文化
【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得中间的那份为20个面包，
设最小的一份为a1，公差为d，
由题意可得[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝，故选D.
【方法归纳】
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量．
(2)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．
(3)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
【跟踪训练】(1)等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于(　　)
A．50 B．49 C．48 D．47
【答案】A
【解析】由题得2a1＋5d＝4，将a1＝代入得，d＝，则an＝＋(n－1)＝33，故n＝50.
(2)等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.
①求a20；
②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？
【解析】(2)①设数列{an}的公差为d.
因为a5＝10，a12＝31，
由an＝a1＋(n－1)d得，解得
即an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，则a20＝3×20－5＝55.
②令3n－5＝85，得n＝30，
所以85是该数列{an}的第30项．
题型二　等差数列的判定与证明
【例4】已知数列{an}满足a1＝4且an＝4－(n>1)，记bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)证明：∵bn＋1－bn＝－
＝－＝－
＝＝
又b1＝＝
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝n∵bn＝
∴an＝＋2＝＋2.
要证{bn}是等差数列，只需证bn ＋1－bn＝常数或bn－bn －1＝常数(n≥2)．
【变式探究1】将本例中的条件“a1＝4，an＝4－”改为“a1＝2，an＋1＝”，求an.
【解析】∵an＋1＝
∴取倒数得：＝＝＋∴－＝，
又＝，∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)×＝＋－＝，∴an＝.
【方法归纳】
定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤：
(1)作差an＋1－an，将差变形；
(2)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
【跟踪训练】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列．
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)证明：因为an＋1＝2an＋2n，
所以＝＝＋1，
所以－＝1，n∈N*.
又bn＝，所以bn＋1－bn＝1.
所以数列{bn}是等差数列，其首项b1＝a1＝1，公差为1.
(2)由(1)知bn＝1＋(n－1)×1＝n，
所以an＝2n－1bn＝n·2n－1，经检验，n＝1时a1＝1也满足上式．
题型三　等差中项
【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________．
【答案】3,5,7或7,5,3
【解析】设此三个数分别为x－d，x，x＋d，
则
解得x＝5，d＝±2.
∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.
【总结】三个数成等差数列可设为x-d,x,x+d
【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得
化简，得
解得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
化简，得解得
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
【小结】四个数成等差数列可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d
【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
【解析】设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有
整理得解得
当d＝时，这5个分数分别是－，，1，，.
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.
【方法归纳】
当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以d为公差向两边分别设项，即设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列的项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以2d为公差向两边分别设项，即设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误
【例6】已知{an}为等差数列，首项为，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是(　　)
A．d> B．d<
C.【答案】D
【解析】由题意可得a1＝，且即
解得【易错警示】
出错原因
(1)错选A，只看到了a10>1而忽视了a9≤1，是审题不仔细而致误；
(2)错选C，误认为a9<1，是由不会读题，马虎造成错误.
纠错心得
认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.
一、单选题
1．等差数列的公差为，若，，成等比数列，则的前项（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得.
【解析】
等差数列的公差为，且，，成等比数列，
，
，解得，
，
的前项，
．
故选：B．
2．已知数列满足，下列结论正确的是（ ）
A．当时，的最大值258 B．当时，的最小值
C．当时，的最小值 D．当时，的最大值
【答案】C
【分析】
根据题干中的条件可得：或，即是等差数列或等比数列，A选项分别把两种情况下的算出来，比较大小，求出的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项
【解析】
则或
A选项，当时，是等差数列，公差为2，当时，
当时，，是等比数列，公比为-2，当时，，的最大值为19，故A选项错误；
B选项，当时，是等差数列，公差为2，当时，
当时，，是等比数列，公比为-2，当时，，的最小值为17，故B选项错误；
C选项，当时，是等差数列，公差为2，当时，即，解得：
当时，，是等比数列，公比为-2，当时，即，解得：，，故的最小值为，故选项C正确
D选项，当时，是等差数列，公差为2，当时，
，解得：
当时，，是等比数列，公比为-2，当时，即，解得：，此时的最大值为，D选项错误
故选：C
3．记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由等差数列性质，求得，根据项与项之间的关系代入条件求得公差.
【解析】
由题知，，则，
设数列公差为，则，
解得，
故选：C
4．在等差数列中，前项和，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据，，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解.
【解析】
解：，，
又，，
公差，，．
故选：C.
5．在中，“”是“角，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
若，则，若，，成等差数列，则，得到答案.
【解析】
在中，若，则，所以，，成等差数列，充分性成立.
反之，若，，成等差数列，则，因为，所以，必要性成立.
所以“”是“角，，成等差数列”的充要条件.
故选：C.
6．已知数列的前项和，且满足，，若，则（ ）
A．9 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】
根据判断出是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.
【解析】
由可知，是等差数列，设公差为，所以，
由，所以.
故选：B.
7．等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解.
【解析】
设等差数列的公差为，
由，得
解得
则
故选：D
8．已知等差数列的前项和为，，，若（，，且），则的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设公差为，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案.
【解析】
设公差为，由及，解得，，
所以数列为，，，，，，，，，，，…，故i取值的集合为.
故选:.
二、多选题
9．将个数排成行列的一个数阵，如下图：
……
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列(其中).已知，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果.
【解析】
由，
可得，所以，
解得或 (舍去)，所以选项A是正确的；
又由，所以选项B不正确；
又由，所以选项C是正确的；
又由这个数的和为S，
则
，所以选项D是正确的；
故选：ACD.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（ ）
A．Sn＝2n2－6n B．Sn＝n2－3n
C．an＝4n－8 D．an＝2n
【答案】AC
【分析】
根据已知条件求得，由此求得，从而确定正确选项，
【解析】
依题意，
，
所以.
故选：AC
11．已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2021是该数列的一项，则公差d不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】BCD
【分析】
由已知得2021＝3＋(n－1)d，即有n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3，4和5.由此可得选项.
【解析】
解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3，4和5.
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
12．设为正项数列{}的前n项和，若，则通项公式___________
【答案】
【分析】
当时，求得；当时，可得，则，
两式相减得到，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式.
【解析】
由为正项数列{}的前n项和，且，
当时，，可得，解得，
当时，可得，则，
两式相减，可得，
因为，所以，
所以数列{}是以为公差，以为首项的等差数列，
所以.
故答案为：.
13．在等差数列{an}中，a3＝0．如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________．
【答案】9
【分析】
根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.
【解析】
设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d．又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去)．
故答案为：
14．在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
【答案】32
【分析】
由a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，两式相减求得公差即可.
【解析】
因为a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，
所以(a3＋a7)－(a1＋a5)＝4d＝6，
解得d＝，
所以a11＋a15＝(a1＋a5)＋20d＝2＋20×＝32.
故答案为：32
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求；
（2）若+2 ，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）设公差为，根据，，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案；
（2）利用等差数列前项和的公式求得，再根据+2 ，即可的解.
（1）
解：设公差为，
由已知，
得：，解得：，
所以；
（2）
解：，
因为+2 ，即，得，
解得，或（舍去），
所以.
16．已知等差数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值及相应的的值.
【答案】
（1）
（2）当或时，有最大值是20
【分析】
（1）用等差数列的通项公式即可.
（2）用等差数列的求和公式即可.
（1）
在等差数列中，∵,
∴，
解得，
∴；
（2）
∵，
∴ ，
∴当或时，有最大值是20
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑