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4.2.1.2等差数列的性质
要点一　等差数列的性质
(1)在等差数列{an}中，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则 ．
(2)若{an}为公差为d的等差数列，则{can}是公差为cd的等差数列．
(3)若{an}为公差为d的等差数列，则{an＋an＋k}(k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
(5)若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋pbn}是以为公差的等差数列．
(6)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
(7)当d>0时，数列{an}为单调递增数列；当d<0时，数列{an}为单调递减数列；当d＝0时，数列{an}为常数列．
【重点小结】
若{an}是公差为d的等差数列，则还具有其他性质
(1)am＋n－an＝am＋k－ak＝md(m，n，k∈N*)
(2)下标成等差数列，则数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k…成等差数列，公差为kd(m，k∈N*)．
(3){an}是等差数列，则a1，a3，a5…仍成等差数列(首项不一定选a1)．
(4)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b为非零常数)也为等差数列．
(5){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列．
(6)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列．
(7)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．
要点二　等差数列的实际应用
具有等差特征的实际问题，可构造等差数列模型，用等差数列的知识求解．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．(　　)
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．(　　)
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an－1＝an＋an＋2.(　　)
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．(　　)
【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
【答案】A
【解析】由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.故选A.
3．在等差数列{an}中，a5＝6，a8＝15，则a14＝(　　)
A．21 B．32
C．33 D．42
【答案】C
【解析】设公差为d，∴a8＝a5＋(8－5)d，∴d＝＝3，∴a14＝a8＋6d＝15＋6×3＝33.故选C.
4．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
【答案】180
【解析】因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
题型一　等差数列的性质应用
【例1】在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求an.
【解析】∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，
a2＋a5＋a8＝9 ∴a5＝3，∴a3＋a7＝6①
又a3a5a7＝－21，∴a3·a7＝－7②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1
∴当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2.
∴an＝－1＋(n－3)×2或an＝7＋(n－3)×(－2)
即an＝2n－7或an＝－2n＋13.
【小结】
利用性质：ap＋aq＝as＋at，p，q，s，t∈N*且p＋q＝s＋t，再结合方程的两个根求解．
【方法归纳】
利用等差数列的性质“若p＋q＝s＋t，且p，q，s，t∈N＋，则ap＋aq＝as＋at”来求等差数列的某一项，可以简化解题过程，减少计算量．
【跟踪训练1】(1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　)
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C　
【解析】∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.故选C.
(2)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.
【答案】18
【解析】∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.
故d＝＝＝.
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18.
题型二　等差数列的综合问题
【例2】已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
【解析】(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为
an＝3－5(n－1)＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*.
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以数列{bn}也为等差数列，
且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)因为m＝4n－1，n∈N*，
所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
被4除余3的数可以表示为4n－1，故b1＝a3，b2＝a7，bn＝a4n－1.
【方法归纳】
(1)已知等差数列{an}的基本量后，求解由{an}的部分项构成的数列{bn}的通项公式，首先要搞清{bn}中的项是由{an}中的哪些项构成，从而确定数列{bn}的特性(公差)是解决本题的关键．
(2)有关两个等差数列公共项问题，处理办法有两种，一是将公共项组成等差数列；二是从通项公式入手，利用最小公倍数，建立am＝bn这样的方程，再求一定范围内的整数解．
【跟踪训练2】已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．
【解析】(1)设等差数列的公差为d.
因为a1＋a2＋a3＝12，
所以a2＝4，
因为a8＝a2＋(8－2)d，
所以16＝4＋6d，
所以d＝2，
所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.故an＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
故bn＝4n.
题型三　等差数列的实际应用
【例3】某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【解析】设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
【方法归纳】
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
【跟踪训练3】某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求需要支付的车费．
【解析】根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
【易错辨析】混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错
【例4】两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
【解析】设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11
又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1.
∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12.
∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302.
得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项．
【易错警示】
出错原因
混淆了两个等差数列中n的取值，误认为3n＋2＝4n－1，解得n＝3，致错.
纠错心得
解题时一定要理解好两个通项公式的n值的含义，否则会造成不必
一、单选题
1．已知数列是等差数列，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等差数列的性质计算即可判断作答.
【解析】
因数列是等差数列，又，则，解得，
所以.
故选：B
2．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（ ）
A．26 B．39 C．104 D．52
【答案】A
【分析】
根据等差数列的性质化简已知条件可得的值，再由等差数列前项和及等差数列的性质即可求解.
【解析】
由等差数列的性质可得：，，
所以由可得：，
解得：，
所以数列的前13项之和为
，
故选：A
3．已知为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算，再利用等差数列的求和公式结合等差数列性质解得答案.
【解析】
，故，化简得到，
.
故选：C.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7=S12，则（ ）
A．S9最大 B．S10最大
C．S9与S10相等且最大 D．以上都不对
【答案】D
【分析】
先利用S7=S12，判断出，但是不能明确公差的符号，所以S9与S10相等可能是最大值也可能是最小值，对照四个选项一一验证.
【解析】
因为S7=S12，所以.
因为，所以.
由于不能明确公差的符号，所以S9与S10相等可能是最大值也可能是最小值.
故选：D
5．已知，，，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等差数列和等比数列的性质得到，，从而利用重要不等式即可求最大值.
【解析】
因为，，，成等差数列，所以，
因为，，，成等比数列，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是.
故选：D.
6．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝（ ）
A．5 B．6
C．8 D．9
【答案】A
【分析】
直接利用等差数列的性质求解即可
【解析】
因为a5是a1和a9的等差中项，所以2a5＝a1＋a9，即2a5＝10，a5＝5.
故选： A
7．在等差数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由等差数列的通项公式求得公差，由等差数列的性质以及等差数列的通项公式即可求解.
【解析】
因为，所以公差，
又因为，所以，
所以，
故选：D.
8．已知是等差数列的前项和，若，则使成立的正整数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可
【解析】
因为，
所以.
又因为，
所以，
所以.
所以，
.
故选：C.
二、多选题
9．已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法中正确的有（ ）
A．当时，
B．当时，取得最大值
C．当时，
D．当时，
【答案】AC
【分析】
依题意可得，即可得到，再根据等差数列前项和公式及通项公式计算可得；
【解析】
解：因为，所以，即，即，所以，
所以，故A正确；
当时，，故C正确；
，当时时，取得最小值，当时，时，取得最大值，故B错误；
，，当时，，故D错误；
故选：AC
10．已知等差数列的前n项和为，若且，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
根据题意和等差数列前n项和公式可得，结合和等差数列的性质依次判断选项即可.
【解析】
，
公差，A错，B正确．
对于C，，C正确．
对于D，，D错误，
故选：BC．
11．在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn（n∈N*），则下列命题正确的是（ ）
A．若S3=S11，则必有S14=0
B．若S3=S11，则S7是{Sn}中的最大项
C．若S7>S8，则必有S8>S9
D．若S7>S8，则必有S6>S9
【答案】ABCD
【分析】
对于A、B：根据等差数列的性质及是关于n的二次函数判断；
对于C、D：判断出公差d的正负及性质可以判断.
【解析】
根据等差数列的性质，若S3=S11，则S11-S3=4（a7+a8）=0，则a7+a8=0，S14==7（a7+a8）=0.故A正确；
是关于n的二次函数，根据Sn的图象，当S3=S11时，对称轴是=7，且d<0，那么S7是最大值.故B正确；
若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9-S8<0，即S8>S9.故C正确；
S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0，即S6>S9.故D正确；.
故选：ABCD
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．①在数列中，若是常数，，则数列是等差数列；②设数列是等差数列，若，则；③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；④若数列是等差数列，则，…也成等差数列，上述命题中，其中正确的命题的序号为________.
【答案】①②③④
【分析】
对于①：利用等差数列的定义直接判断；
对于②：利用通项公式分别计算出左、右两边，即可证明；
对于③：由等差中项的定义进行判断；
对于④：利用等差数列的定义直接证明.
【解析】
对于①：根据等差数列的定义，后一项与前一项的差为同一个常数，即是常数，，故①正确；
对于②：若数列是等差数列，则，所以，，，所以，.
因为，所以.故②正确；
对于③：由等差中项的定义可知：数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；故③正确；
对于④：若数列是等差数列，则.
令，则，，所以为同一个常数，
所以是等差数列，所以，…也成等差数列.故④正确.
故答案为：①②③④.
13．在等差数列中，若，则_______.
【答案】
【分析】
利用等差数列的性质求解即可.
【解析】
因为，所以，
所以.
故答案为：
14．设等差数列的前项和为，且，，则当______时，最大．
【答案】
【分析】
由，结合等差数列的前项公式与等差数列的性质即可求解．
【解析】
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴当时，最大．
故答案为：
四、解答题
15．设等差数列，且满足
（1）求；
（2）若是公差为18的等差数列，求通项公式．
【答案】
（1）3
（2）
【分析】
（1）直接利用等差数列的性质即可求解；
（2）利用等差数列基本量代换，即可求解.
（1）
因为等差数列，所以.
因为，所以，所以.
（2）
设等差数列的公差为d，由题意可得：
即，解得：，所以.
16．在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用等差数列的性质及等差数列的通项公式即得；
（2）由题可得，再利用裂项相消法即得.
（1）
法1：因为，所以，因为，所以，
所以，所以公差，所以．
法2：设等差数列的公差为，联立得解得
所以．
（2）
由（1）知，
所以， ，
所以
．
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