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4.2.2.1等差数列的前n项和
要点一　等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝
【重点总结】
(1)等差数列前n项和公式的推导：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，倒序得Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1.相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)．
由等差数列性质，得2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝.
我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法．
(2)在求等差数列前n项和时，若已知a1和an及项数n，则使用Sn＝；若已知首项a1和公差d及项数n，则采用公式Sn＝na1＋d来求．
要点二　等差数列前n项和的主要性质
1．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列．
2．若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝，＝.S2n－1＝（2n-1）an.
【重点总结】关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S偶的关系是不相同的．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　)
(2)数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，则S2，S4，S6成等差数列．(　　)
(3)在等差数列{an}中，Sn为前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.(　　)
(4)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于(　　)
A．45 B．52
C．108 D．54
【答案】D
【解析】S9＝＝＝54.故选D.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则S12＝(　　)
A．28 B．32
C．36 D．40
【答案】C
【解析】∵数列{an}为等差数列，
∴S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，
∴2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，解得：S12＝36.
4．已知数列{an}是等差数列，且a3＋a9＝4，那么数列{an}的前11项和等于________.
【答案】22
【解析】∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a9＝a1＋a11＝4.∴S11＝＝×4＝22.
题型一　等差数列前n项和的基本运算
【例1】在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
【解析】(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，∴解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.
【方法归纳】
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
【跟踪训练】在等差数列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；
(2)a6＝10，S5＝5，求a8和S10.
(3)已知a3＋a15＝40，求S17.
【解析】(1)∵Sm＝m×＋×＝－15，
整理得m2－7m－60＝0
解得m＝12或m＝－5(舍去)
∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(3)S17＝＝＝＝340.
题型二　等差数列前n项和性质的应用
【例2】(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　)
A．130 B．170
C．210 D．260
【答案】C
【解析】利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.
(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.
【答案】　
【解析】由等差数列的性质，知
＝＝＝＝＝.
(3)已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝________.
【答案】14
【解析】 Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40.
两式相加得4(a1＋an)＝120，
∴a1＋an＝30，又Sn＝＝15n＝210，∴n＝14.
【笔记小结】
(1)中S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列．
(2)中＝＝.
(3)中Sn－Sn－4为末4项和，S4为前4项和，倒序相加可得 4(a1＋an)．
【方法归纳】
等差数列前n项和的常用性质
(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列．
(2)数列是等差数列，公差为数列{an}的公差的.
(3)涉及两个等差数列的前n项和之比时，一般利用公式＝·进行转化，再利用其他知识解决问题．
(4)用公式Sn＝时常与等差数列的性质a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…相结合．
【跟踪训练2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14等于(　　)
A．18　B．17
C．16 D．15
【答案】A
【解析】设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.故选A.
(2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A　
【解析】＋＝＋＝＝＝＝＝.故选A.
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________.
【解析】(3)方法一：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设公差为d，前10项的和为：10×100＋d＝10，所以d＝－22，
所以前11项的和S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
则＝(n－1)＋a1，所以数列成等差数列．
所以＝，即＝，
所以S110＝－110.
方法三：设等差数列{an}的公差为d，
S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，
又S100－10S10＝d－d＝10－10×100，
即100d＝－22，所以S110＝－110.
题型三　求数列{|an|}的前n项和
【例3】在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
【解析】等差数列{an}的公差
d＝＝＝3，
∵an＝a1＋(n－1)d＝－60＋3(n－1)＝3n－63，
令an<0，即3n－63<0，则n<21.
∴等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数，设Sn和S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和．
当n≤20时，S′n＝－Sn＝－＝－n2＋n；
当n>20时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
＝－60n＋－2×＝n2－n＋1 260，
∴数列{|an|}的前n项和为
S′n＝
【方法归纳】
已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
【跟踪训练3】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
【解析】a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－
＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.
即当n≤34时，an>0；
当n≥35时，an<0.①当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n；
②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－＝n2－n＋3 502.
故Tn＝
【易错辨析】混淆等差数列的性质致误
【例4】已知等差数列{an}的前n项之和记为Sn，S10＝10，S30＝70，则S40＝________.
【答案】120
【解析】由题意知得
所以S40＝40×＋×＝120.
【易错警示】
出错原因
将等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列误认为Sm，S2m，S3m成等差数列.
纠错心得
本题可用等差数列的性质：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解；还可以由S10＝10，S30＝70联立方程组解得a1和d，再求S40.
一、单选题
1．已知等差数列的前n项和为18，若，，则n的值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
【答案】B
【分析】
由已知得，得，再由等差数列求和公式可求得答案.
【解析】
解：∵等差数列的前n项和为18，，，∴，
∴，解得，
又，∴，∴.
故选：B.
2．已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等比中项的性质可求得的值，即为的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值.
【解析】
因为在等比数列中，，可得，，解得，
又因为数列是等差数列，，则.
故选：B.
3．已知数列的各项均不为零，，它的前n项和为．且，，（）成等比数列，记，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】
结合等比性质处理得，再分和分类讨论，时较为简单，结合裂项法直接求解，当时，放缩后再采用裂项即可求解.
【解析】
由，，成等比数列可得，①，也即②，②-①得，因为，所以，，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，当时，，即，
对A、B，当时，，此时数列为等差数列，前项和为，，
故，
当时，，故A、B错误；
对C、D，当时，，
,当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
所以,,
此时
，故C正确，D错误.
故选：C
4．数列中，，且（），则数列前2021项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知可得，从而得，再由得，所以，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【解析】
因为（），
所以，整理得，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以数列前2021项和为
，
故选：B
5．有一个三人报数游戏：首先甲报数字1，然后乙报两个数字2、3，接下来丙报三个数字4、5、6，然后轮到甲报四个数字7、8、9、10，依次循环，则甲报出的第2028个数字为（ ）
A．5986 B．5987 C．5988 D．以上都不对
【答案】C
【分析】
首先分析出甲第次报数的个数，得到甲第次报完数后总共报数的个数，计算出甲是第次报数中会报到第2020个数字，再计算当甲第次报数时，3人总的报数次数，
再推算出此时报数的最后一个数，再推出甲报出的第2028个数字.
【解析】
由题可得甲第次报数的个数为，
则甲第次报完数后总共报数的个数为，
再代入正整数，使的最小值为37，得，
而甲第37次报时，3人总共报数为次，
当甲第次报完数3人总的报数个数为，
即甲报出的第2035个数字为，
所以甲报出的第2028个数字为5988.
故选：C.
6．已知数列满足，，则（ ）
A．32 B．50 C．72 D．90
【答案】B
【分析】
由递推关系式，求得，，，，，然后相加可得．
【解析】
由已知，，，，同理，，，
所以．
故选：B．
7．庑殿是古代传统建筑中的一种屋顶形式，其可近似看作由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成，如图所示.若在等腰梯形与等腰三角形侧面中需铺瓦层，等腰梯形中下一层铺的瓦数比上一层铺的瓦数多等腰三角形中下一层铺的瓦数是上一层铺的瓦数的倍.两个等腰梯形与两个等腰三角形侧面同一层全部铺上瓦，其瓦数视作同一层的总瓦数.若顶层需铺瓦块，整个屋顶需铺瓦块，则最底层需铺瓦块数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意得等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为的等差数列，等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为的等比数列，故得到，进而可求得两个数列的通项公式，再分别求每个数列的第6项，可得到最终结果.
【解析】
由题意等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为的等差数列，
等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为的等比数列，
由条件可知，解之得，
所以，
所以，故最底层需铺瓦块数为，
故选：C.
8．设数列和的前项和分别为，，已知数列的等差数列，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设等差数列的公差为，进而根据等差数列的通项公式计算得，故，，再根据等差数列前项和公式求解即可。
【解析】
解：由，得，设等差数列的公差为，
所以得解得
所以．则，
所以．所以数列的前项和，
数列的前项和，
则．
故选：D
二、多选题
9．已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是( )
A． B．
C．有最大值 D．当时，的最大值为21
【答案】BC
【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式，列出关于和方程组，化简求值即可.
【解析】
设，则，即，又是与的等比中项，所以，即，化简得.因为，所以.联立，解得，.
所以，故A错；
又，故B对；
由等差数列的前项和公式可得，所以当或时有最大值，故C对；
又，所以当时，，故的最大值为20，故D错.
故选：BC.
10．在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是( )
(参考公式：)
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
对于选项ABD：利用等差数列、等比数列的前项和公式以及参考公式求数列前项和，令，看是否有正整数解即可；对于选项C：通过分类讨论分别求出和，然后可得到，令，看是否有正整数解即可.
【解析】
不妨设数列的前项和为，
对于选项A：由等差数列的前项和公式可知，，
则方程无正整数解，故A错误；
对于选项B：不妨令，，数列和的前项和分别为和，
故，，
由参考公式和等差数列的前项和公式可知，
，，
所以，解得，故B正确；
对于选项C：①当时，
，
故此时；
②当时，
令，解得，
即时，，故C正确；
对于选项D：由等比数列的前项和公式可知，
，解得，故D正确.
故选：BCD.
11．记为等差数列的前项和，公差为，若，，则以下结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．取得最大值时，
【答案】AB
【分析】
利用数列的通项式和前项和公式带入化简计算即可.
【解析】
因为数列是等差数列
所以.
对于A:因为,所以，故A对.
对于B: ，故B对.
对于C: ，因此，故C错误
对于D: ，当时取到最大值，因为,所以，故D错误.
故选：AB
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．已知，，则______.
【答案】##
【分析】
根据给定条件，利用累加法借助等差数列求和公式计算得解.
【解析】
数列中，，，
则当时，，
而满足上式，即，
所以.
故答案为：
13．已知数列满足，且，则的通项公式_______________________.
【答案】
【分析】
由已知条件可得，从而有是以为首项，为公差的等差数列，进而可得，最后利用累加法及等差数列的前n项和公式即可求解.
【解析】
解：由,得，则，
由得，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
当时，
，
所以，
当时，也适合上式，
所以，
故答案为：.
14．已知等差数列的前和为，若，，且，则_______
【答案】
【分析】
分析可知，再利用等差数列的求和公式可求得的值.
【解析】
因为，则，则，
所以，，因此，，故.
故答案为：.
四、解答题
15．政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款，一位大学毕业生想自主创业，经过市场调研，测算，有两个方案可供选择．方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年获得比上一年增加25%；方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加获利1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算（参考数据：1.259=7.45，1.2510=9.3，1.029=1.20，1.0210=1.22）
（1）10年后，方案1，方案2的总获利分别有多少万元？
（2）10年后，哪一种方案的利润较大？（利润=总获利－贷款－贷款总利息）
【答案】
（1）48.8万元，97.50万元
（2）方案1的利润较大
【分析】
（1）方案1是等比数列，方案2是等差数列，①方案1，利用等比数列前n项和公式求解；
方案2，利用等差数列前n项和公式求解；
（2）根据利润=总获利－贷款－贷款总利息求解比较.
（1）
解：方案1是等比数列，方案2是等差数列，
①方案1，一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，即4万元，
获利：4[1+（1+25%）+（1+25%）2+…+（1+25%）9]=4×=132.8（万元），
银行贷款本息：40（1+2%）10≈48.8（万元），
方案2，一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，即3万元，
获利：3+（3+1.5）+（3+2×1.5）+…+（3+9×1.5），
=10×3+×1.5=97.50（万元）；
（2）
方案1，银行贷款本息：40（1+2%）10≈12.2（万元），
故方案1纯利：132.8-48.8=84（万元）．
方案2，银行贷款本息：20（1+2%）10≈24.4（万元），
故方案2纯利：97.50-24.4=73.1（万元）．
∴方案1的利润较大．
16．已知正实数列满足，当时，记集合，且集合中的最大元素为.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）记数列前n项和为，证明：存在正实数，对于任意的正实数与整数n>1，都有.注：对于任意实数a，b，定义.
【答案】
（1）
（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用数学归纳法证明得到.
（2）先根据（1）的条件得到，然后证明，假设，得到，并利用放缩结合分析法得到结果.
（1）
归纳法进行证明：
当时，显然成立；
当时，若，下证
此时
所以
综上所述：对任意的
（2）
当时，有，于是
可设
下证满足条件，即对任意的有
当时，只需证
设，于是有
归纳易证,用表示不超过的最大整数.
所以，（因为）
所以
且，要证
只需证：
显然：当时，有
证毕.
【点睛】
思路点睛：第（1）问：采用数学归纳法直接证明；第（2）问：首先利用（1）的条件确定；然后进行证明，假设得到，最后根据放缩和分析法证明.
17．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，数列是等比数列，且，，，是与的等比中项..
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】
（1）；
（2）
【分析】
（1）先由条件求出数列的公比为，从而得出，得到的通项公式；再由等差数列的前项和公式结合条件求出的公差，得出的通项公式.
（2）由（1）可得，然后分组分别求，的前项和即可得到答案.
（1）
设的公差为，数列的公比为
由，，则，即
，则，所以
由，是与的等比中项，则
即，即
所以，由，则
所以
（2）
由（1）可得
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