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4.3.1.1等比数列的概念和通项公式
知识点一　等比数列的概念
(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
(2)符号语言：＝q(q为常数，n∈N*)
【重点总结】
(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．
(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．
(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．
要点二　等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
【重点总结】
(1)若G是a与b的等比中项，则＝，所以G2＝ab，G＝±.
(2)与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项．
(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
要点三　等比数列的通项公式
设等比数列{an}的公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝ (a1，q≠0且n∈N*)．
【重点总结】
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．
(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列为{an}，且满足＝q(n≥2，q为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．(　　)
(2)在等比数列{an}中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．(　　)
(3)G为a，b的等比中项 G2＝ab.(　　)
(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．(　　)
【答案】（1）√（2）√（3）×（4）×
2．(多选题)下列数列不是等比数列的是(　　)
A．2,22,3×22，… B.，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，…
【答案】ACD
【解析】A中，≠，A不是等比数列；B中，＝＝…，B是等比数列；C中，当s＝1时，不是等比数列；当s≠1时，是等比数列，所以C不是等比数列；D显然不是等比数列．故选ACD.
3．已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3＝(　　)
A．±2 B．2
C．－2 D．4
【答案】B
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则有1×q3＝2＝()3，
∴q＝，∴a3＝＝2，故选B.
4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
【答案】－2n或(－2)n
【解析】∵a1＝－2，a3＝－8，∴＝q2＝＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n－1或an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n.
题型一　等比数列通项公式的求法及应用
探究1　基本量的计算
【例1】在等比数列{an}中
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
【解析】(1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
(2)方法一：由已知可得
由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.
方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
【重点小结】
(1)由＝q3便可求出q，再求出a1，则an＝a1·qn－1.
(2)两个条件列出关于a1，q的方程组，求出a1，q后再由an＝1求n；也可以直接先由q＝入手．
【方法归纳】
等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
探究2　等比数列的实际应用
【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为(　　)
A．300元 B．900元
C．2 400元 D．3 600元
【答案】C
【解析】降低后的价格构成以为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×3＝2 400(元)．
【方法技巧】
关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a1和q，然后用等比数列的知识求解．
【跟踪训练1】(1)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　　)
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
【答案】B　
【解析】a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，
即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2，故选B.
(2)在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．36
【答案】B
【解析】设公比为q，
由已知得6＋6q＋6q2＝78，
即q2＋q－12＝0
解得q＝3或q＝－4(舍去)．
∴a2＝6q＝6×3＝18.故选B.
(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍．
【答案】1.259
【解析】设这个林场今年的树木总量是m，第n年末的树木总量为an，则an＋1＝an＋an×25%＝1.25an.
则＝1.25，则数列{an}是公比q＝1.25的等比数列．
则a10＝a1q9＝1.259 m.
所以＝1.259.
题型二　等比中项
【例3】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
【解析】设该等比数列的公比为q，首项为a1，
因为a2－a5＝42，所以q≠1，
由已知，得，
所以
因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
所以由②除以①，得q(1－q)＝.所以q＝.
所以a1＝＝96.
若G是a5，a7的等比中项，
则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9.
所以a5，a7的等比中项是±3.
【方法归纳】
(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．
(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．
【跟踪训练2】如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
【答案】B
【解析】∵－1，a，b，c，－9成等比数列，
∴a2＝(－1)×b，b2＝(－1)×(－9)＝9
∴b<0，∴b＝－3.
又b2＝ac，∴ac＝9.故选B.
题型三　等比数列的判定与证明
【例4】已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
【解析】(1)当n＝1时，S1＝(a1－1)＝a1，解得：a1＝－，
当n＝2时，S2＝(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
【变式探究1】将本例中条件换为“数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1”，求证：{an＋1}成等比数列，并求an.
【解析】由an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴＝2，
∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2×2n－1＝2n，
∴an＝2n－1.
【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1”，求an.
【解析】令an＋1－A·n＋1＝，则an＋1＝an＋·n＋1.
由已知条件知＝1，得A＝3，
所以an＋1－3×n＋1＝.
又a1－3×1＝－≠0，
所以是首项为－，公比为的等比数列．
于是an－3×n＝－×n－1，故an＝3×n－2×n.
【方法归纳】
判定数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：＝q(q是常数)或＝q(q是常数，n≥2) {an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*) {an}为等比数列．
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*) {an}为等比数列．
【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错
【例5】在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　)
A．9或－9 B．9
C．27或－27 D．－27
【答案】B
【解析】由等比中项的性质得a＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a7＝9，故选B.
【易错警示】
出错原因
没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a7＝±9，错选A.
纠错心得
在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.
一、单选题
1．已知等比数列中，是，的等差中项，则数列的公比为（ ）
A．或 B． C． D．1
【答案】A
【分析】
首先根据题意得到，从而得到，再解方程即可.
【解析】
由题知：，
所以，即，解得或.
故选：A
2．已知等比数列满足，则公比（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由即可求出．
【解析】
，即，解得．
故选：B．
3．已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则（ ）
A．29 B．31 C．33 D．35
【答案】B
【分析】
设等比数列的公比为，由已知可得和，代入等比数列的求和公式即可
【解析】
因为 ，
，
，
所以，
，
故选：B.
4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个．
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】D
【分析】
设等比数列的首项为，公比，根据题意，由求解.
【解析】
设等比数列的首项为，公比，
由题意得：，
即，
解得，
所以，
故选：D
5．在等比数列中，若为定值，为数列的前项积，则下列各数为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等比数列的通项公式用表示出，然后再分别表示出各选项中的积进行判断．
【解析】
设公比为，则为定值，即为定值，
，
，不是定值，
，不是定值，
，是定值，
，不是定值．
故选：C．
6．在各项都为正数的数列中，首项为数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
当时，，故可以得到，因为，进而得到，所以是等比数列，进而求出
【解析】
由，得，得，
又数列各项均为正数，且，
∴，∴，即
∴数列是首项，公比的等比数列，其前项和，得，
故选：C.
7．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，根据与的关系，得出是首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【解析】
由数列的前项和，
当时，可得，所以；
当时，，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，，所以.
故选：B.
8．在等比数列中，，则数列的公比（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
用表示出已知等式后可得结论．
【解析】
由题意知，所以，所以或.
故选：.
二、多选题
9．(多选题)已知等比数列的前项和是，则下列说法一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【分析】
根据等比数列通项式，前项和代入即可得出答案.
【解析】
设数列的公比为，
当，则，A正确；
当，则，B正确.
又当时，，
当时，，
当时，，
当时，
当时，，故C正确，D不正确.
故选：ABC
10．(多选题)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（ ）
A．{can}(c为常数) B．{an＋an＋1}
C．{an·an＋1) D．
【答案】CD
【分析】
A. 由c＝0判断；B.q＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断.
【解析】
当c＝0时，{can}不是等比数列，故A错误；
当数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，{an＋an＋1}不是等比数列，故B错误；
由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列，故CD正确.
故选：CD
11．设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
设等比数列的公比为，求出的值，进而可求得数列的通项公式，解不等式，求出的取值范围，即可得解.
【解析】
设等比数列的公比为，则，可得，
，所以，，
令，解得，
故当最大时，或.
故选：AB.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．在等比数列中，是数列的前n项和，若，则________．
【答案】6
【分析】
由，解得求解.
【解析】
在等比数列中，设公比为q，
因为，所以，解得，
所以，解得，
故答案为：6
13．在正项等比数列中，若、、成等差数列，则________．
【答案】
【分析】
设正项等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.
【解析】
设正项等比数列的公比为，则，
因为、、成等差数列，则，即，
可得，，解得，
因此，.
故答案为：.
14．已知正项数列的前项和为，若，数列的通项公式为___________．
【答案】
【分析】
当时，求得，再由，得到，
相减可得，结合等比数列的通项公式，求得，进而求得数列的通项公式.
【解析】
由题意，正项数列满足，
当时，可得，则，
由，则，
两式相减可得，所以，
即数列为公比为的等比数列，
所以，所以，解得，
所以，所以数列的通项公式为.
故答案为：.
四、解答题
15．已知为数列的前项和，，，，为数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若对所有恒成立，求满足条件的最小整数值.
【答案】
（1）
（2）674
【分析】
（1）利用递推公式，结合前项和与第项的关系、等比数列的定义进行求解即可；
（2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.
（1）
由题意，
当时，，
两式相减得：，
即：，
所以时，为等比数列
又因为时，，
所以，
所以，对所有，是以2为首项，8为公比的等比数列，
所以；
（2）
由题知：
所以
所以
所以满足恒成立的最小值为674.
16．等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比.
（1）求与；
（2）求.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）由的公比及可解得，由则可求，又由可得，，，则可求；
（2）由（1）可得，则，故由裂项相消法可求.
（1）
等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比，，解得，.
各项均为正数，∴，.
由，得，，，∴.
（2）
，
，
.
17．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝2an－5，求证{an－5}是等比数列．
【答案】证明见解析
【分析】
由an＋1－5＝2(an－5)结合等比数列的定义证明即可.
【解析】
证明：由an＋1＝2an－5得an＋1－5＝2(an－5)．
又a1－5＝－1≠0，故数列{an－5}是首项为－1，公比为2的等比数列．
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